2016中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)-一線三角三等角型

1、可編輯 “一線三等角”基本圖形解決問題三角形相似在整個(gè)初中數(shù)學(xué)中有著重要的地位，在學(xué)習(xí)三角形相似形時(shí)，我們從復(fù)雜圖形中分離出基本數(shù)學(xué)模型，對分析問題、解決問題有化繁為簡的效果。在近幾年的中考題中，經(jīng)常可以看到“一線三等角”的數(shù)學(xué)模型，所謂“一線三等角”是指在一條直線上出現(xiàn)了三個(gè)角相等。所以，只要見到一條直線上出現(xiàn)了三個(gè)等角，往往都存在這樣的模型，也會存在相似三角形，當(dāng)出現(xiàn)了有相等邊的條件之后，相似就轉(zhuǎn)化為全等了，綜合性題目往往就會把相似和全等的轉(zhuǎn)化，作為出題的一種形式，需要大家注意。本文將重點(diǎn)對這一基本圖形進(jìn)行探討。通過對題目的有效分解，打破同學(xué)們對綜合題的畏懼心理，讓同學(xué)們加深對于題目條件的

2、使用：條件用完，即使題目沒有求解完畢，也得到相應(yīng)的分?jǐn)?shù)，提高問題解決的能力，在這個(gè)師生共同探討的過程中鼓勵(lì)學(xué)生嘗試解題，并加強(qiáng)題后反思，培養(yǎng)他們解題的能力。一、知識梳理：（1）四邊形ABCD是矩形，三角板的直角頂點(diǎn)M在BC邊上運(yùn)動，直角邊分別與射線BA、射線CD交于E、F，在運(yùn)動過程中，EBMMCF. （2）如圖1：已知三角形ABC中，AB=AC,ADE=B,那么一定存在的相似三角形有ABDDEC.如圖2：已知三角形ABC中，AB=AC,DEF=B,那么一定存在的相似三角形有DBEECF.（圖1） （圖2）二、【例題解析】【例1】(2014四川自貢）閱讀理解：如圖1，在四邊形ABCD的邊AB上

3、任取一點(diǎn)E（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成三個(gè)三角形，如果其中有兩個(gè)三角形相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)；如果這三個(gè)三角形都相似，我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強(qiáng)相似點(diǎn)解決問題：（1）如圖1，A=B=DEC=55，試判斷點(diǎn)E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點(diǎn)，并說明理由；（2）如圖2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格（網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1）的格點(diǎn)（即每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)）上，試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)E；拓展探究：（3）如圖3，將矩形ABCD沿CM折

4、疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)E處若點(diǎn)E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個(gè)強(qiáng)相似點(diǎn)，試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系【練習(xí)】1、 已知矩形ABCD中， AB=3，AD=2=，點(diǎn)P是AB上的一個(gè)動點(diǎn)，且和點(diǎn)A,B 不重合，過點(diǎn)P作PE垂直DP，交邊BC于點(diǎn)E,設(shè),PA=x，BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍 .2、如圖，已知正方形ABCD，將一塊等腰直角三角尺的銳角頂點(diǎn)與A重合，并將三角尺繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)M點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到BC的垂直平分線PQ上時(shí)，連接ON，若ON=8，求MQ的長.3. 如圖，在矩形ABCD中，AB=m(m是大于0的常數(shù))，BC=8,E為線段BC上的動點(diǎn)（不與BC重合）.連接DE，

5、作EFDE，EF與射線BA交于點(diǎn)F，設(shè)CE=x,BF=y,(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（2）若m=8，求x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多少？（3）若，要使DEF為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？【例2】等邊ABC邊長為6，P為BC邊上一點(diǎn)，MPN=60，且PM、PN分別于邊AB、AC交于點(diǎn)E、F.（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P為BC的三等分點(diǎn)，且PEAB時(shí)，判斷EPF的形狀；（2）如圖2，若點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動，且保持PEAB，設(shè)BP=x，四邊形AEPF面積的y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（3）如圖3，若點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動，且MPN繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，當(dāng)CF=AE=2時(shí)，求PE的長.圖1 圖2

6、 圖3分析過程：（1）EPF為等邊三角形. （2）設(shè)BP=x，則CP6x.由題意可 BEP的面積為. CFP的面積為.ABC的面積為.設(shè)四邊形AEPF的面積為y. =.自變量x的取值范圍為3x6. （3）可證EBPPCF. .設(shè)BP=x，則 . 解得 . PE的長為4或. 【練習(xí)】.如圖，在ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，點(diǎn)P為BC邊上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），過點(diǎn)P作射線PM交AC于點(diǎn)M，使APM=B；（1）求證：ABPPCM；（2）設(shè)BP=x，CM=y求 y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍（3）當(dāng)APM為等腰三角形時(shí)，求PB的長ABPCM（4) 當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，試說明AD

7、E是什么三角形，并說明理由【例3】在中，是AB上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)P是AC上的一個(gè)動點(diǎn)，交線段BC于點(diǎn)Q，（不與點(diǎn)B,C重合），已知AP=2，求CQ 【練習(xí)】在直角三角形ABC中，是AB邊上的一點(diǎn)，E是在AC邊上的一個(gè)動點(diǎn)，（與A,C不重合），與射線BC相交于點(diǎn)F.(1)、當(dāng)點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)時(shí)，求證：(2)、當(dāng)，求的值 【例4】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(3，0)，B(1.0)，C(0，3)(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，DEx軸于點(diǎn)E，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得ADM是

8、直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由答案：(1)y=x2+2x3；(2)S有最大值，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）；(3)M的坐標(biāo)為（0，）或（0，）或（0，1）或（0，3）.課后作業(yè)：ABCDEF1. 已知：如圖，在ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，點(diǎn)E在邊BC上又點(diǎn)F在邊AC上，且(1) 求證：FCEEBD；(2) 當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動時(shí)，是否有可能使如果有可能，那么求出BD的長如果不可能請說明理由CPEABD2. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上一點(diǎn)，且BP=2，將一個(gè)大小與B相等的角的頂點(diǎn)放在P 點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞P點(diǎn)轉(zhuǎn)動，使角的兩邊始終分別與AB、AC相

9、交，交點(diǎn)為D、E。（1）求證BPDCEP（2）是否存在這樣的位置，PDE為直角三角形？若存在，求出BD的長；若不存在，說明理由。CPEABF3. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一個(gè)動點(diǎn)(與B、C不重合)，PEAB與E，PFBC交AC與F，設(shè)PC=x，記PE=，PF=（1）分別求、關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（2）PEF能為直角三角形嗎?若能，求出CP的長，若不能，請說明理由。CPEABF4. 如圖，在ABC中，AB=AC=5，BC=6，P是BC上的一個(gè)動點(diǎn)(與B、C不重合)，PEAB與E，PFBC交AC與F，設(shè)PC=x，PEF的面積為y（1）寫出圖中的相似三角形不必證明；（2）

10、求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；（3）若PEF為等腰三角形，求PC的長。5. 已知在等腰三角形中，是的中點(diǎn)， 是上的動點(diǎn)（不與、重合），連結(jié)，過點(diǎn)作射線，使，射線交射線于點(diǎn)，交射線于點(diǎn).（1）求證：；（2）設(shè).用含的代數(shù)式表示；求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出的定義域.6. 已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，且AD5，ABDC2（1）如圖8，P為AD上的一點(diǎn)，滿足BPCA求證；ABPDPC求AP的長（2）如果點(diǎn)P在AD邊上移動（點(diǎn)P與點(diǎn)A、D不重合），且滿足BPEA，PE交直線BC于點(diǎn)E，同時(shí)交直線DC于點(diǎn)Q，那么當(dāng)點(diǎn)Q在線段DC的延長線上時(shí)，設(shè)APx，CQy，求y關(guān)于x的函數(shù)解析

11、式，并寫出函數(shù)的定義域；當(dāng)CE1時(shí)，寫出AP的長（不必寫出解題過程）CDABP答案：1. 解：（1）AB=ACB=CBED+DEF=C+EFC=90又BED=EFCFCEEBD（2）BD=x，BE=，F(xiàn)CEEBD若BD不存在2. 解：（1）AB=ACB=CCPEABDHDPC=DPE+EPC=B+BDPEPC =BDP ABDDCE（2）DPE=B90若PDE=90，在RtABH和RtPDE中 cosABH=cosDPE=CPEABDHPC=4 若PED=90在RtABH和RtPDE中 cosABH=cosPED=PC=4 （舍去）CPEABFH綜上所述，BD的長為3. 解：（1）、 （2）FPE=B90若PFE=90，在RtABH和RtPFE中CPEABFH cosABH=cosFPE=若PEF=90，在RtABH和RtPFE中 cosABH=cosFPE=4. 解：（1）PEBEPCCPE