正方形的性質(zhì)與判定講義

1、正方形的性質(zhì)及判定1、 知識點歸納（1） 正方形的概念： 一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。（2） 正方形的性質(zhì)：1、 因為ABCD是正方形 正方形是軸對稱圖形，對稱軸有4條，也是中心對稱2、 例題講解 考點 正方形與等腰三角形（等邊三角形）結(jié)合1. 如圖，E是正方形ABCD的對角線BD上一點，且BEBC，則ACE 2. 如圖，四邊形ABCD是正方形，延長CD到E，使CE=CB，則DBE .3. 如圖，正方形ABCD中，點E在BC的延長線上，AE平分DAC,則下列結(jié)論：（1）E=22.5； (2) AFC=112.5； (3) ACE=135；（4）AC=CE；(5) ADCE=1. 其中正確的有

2、 （ ）A5個 B.4個 C.3個 D.2個4. 如圖，等邊EDC在正方形ABCD內(nèi)，連結(jié)EA、EB，則AEB ；ACE .5. 已知正方形ABCD，以CD為邊作等邊CDE，則AED的度數(shù)是 .考點正方形與旋轉(zhuǎn)結(jié)合1. 如圖1，四邊形ABCD是正方形，E是邊CD上一點，若AFB經(jīng)過逆時針旋轉(zhuǎn)角后與AED重合，則的取值可能為 （ ）A.90 B.60 C.45 D.302. 已知正方形ABCD中，點E在邊DC上，DE = 2，EC = 1（如圖2所示） 把線段AE繞點A旋轉(zhuǎn)，使點E落在直線BC上的點F處，則F、C兩點的距離為_.3. 如圖3，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點，

3、且滿足EAF=45，連接EF，求證：DE+BF=EF考點正方形對角線的對稱性1. 如圖：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一點，PEAC于E，PFBD于F，則PE+PF= .可以用一句話概括：正方形邊上的任意一點到兩對角線的距離之和等于 .思考：如若P在AB的延長線時，上述結(jié)論是否成立？若不成立，請寫出你的結(jié)論，并加以說明.2.如圖，點P是正方形ABCD的對角線BD上一點，PEBC于點E，PFCD于點F，連接EF給出下列五個結(jié)論：AP =EF；APEF；APD一定是等腰三角形；PFE=BAP；PD= EC其中正確結(jié)論的序號是 思考：當(dāng)點P在DB的長延長線上時，請將備用圖補充完整，并思

4、考（1）正確結(jié)論是否依舊成立？若成立，直接寫出結(jié)論；若不成立，請寫出相應(yīng)的結(jié)論.考點正方形的折疊1.如圖1，將邊長為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點D落在BC邊中點E處，點A落在點F處，折痕為MN，則線段CN的長是 .2. 如圖2，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點B落在CD邊上的處，點A對應(yīng)點為，且=3，則AM的長是 . 3如圖3，正方形ABCD中，AB6，點E在邊CD上，且CD3DE將ADE沿AE對折至AFE，延長EF交邊BC于點G，連結(jié)AG、CF下列結(jié)論：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC3其中正確結(jié)論的個數(shù)是 .課后練習(xí)1、已知：如圖，正方形ABCD

5、中，CM=CD，MNAC，連結(jié)CN，則DCN=_=_B，MND=_=_B.2. 在正方形ABCD中，AB=12 cm，對角線AC、BD相交于O，則ABO的周長是（ ） A.12+12 B.12+6 C.12+ D.24+63.正方形的面積是，則其對角線長是_.4. 如圖，在正方形ABCD中，PBC、QCD是兩個等邊三角形，PB與DQ交于M，BP與CQ交于E，CP與DQ交于F.求證：PM = QM.5. 如圖4，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，正方形ABCD的頂點A與點O重合，AB交BC于點E，AD交CD于點F，若正方形ABCD繞點O旋轉(zhuǎn)某個角度后，OE=OF嗎？兩正方形重合部分的面

6、積怎樣變化？為什么？6如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點E在射線BC上，且PE=PB.試判斷PE與PB的關(guān)系. 7. 如圖，正方形ABCD的面積為12，ADE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P，使PBPE的和最小，則這個最小值為 .8.如圖，將邊長為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點E、F分別在邊AB、CD上)，使點B落在AD邊上的點 M處，點C落在點N處，MN與CD交于點P， 連接EP (1)如圖，若M為AD邊的中點， AEM的周長=_cm； 求證：EP=AE+DP； (2)隨著落點M在AD邊上取遍所有的位置(點M不與

7、A、D重合)，PDM的周長是否發(fā)生變化?請說明理由（三）正方形的判定： 四邊形ABCD是正方形1、判斷:（1）四條邊都相等的四邊形是正方形。（）（2）兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形。（）（3）兩條對角線分別平分一組對角的四邊形是正方形。（）（4）兩條對角線互相垂直的矩形是正方形。（）2不能判定四邊形是正方形的是（）A對角線互相垂直且相等的四邊形 B對角線互相垂直的矩形C對角線相等的菱形 D對角線互相垂直平分且相等的四邊形3、四邊形ABCD的對角線相交于點O，能判定它是正方形的條件是（）AAB=BC=CD=DA BAO=CO，BO=DO，ACBDCAC=BD，ACBD且AC、BD互相平

8、分 DAB=BC，CD=DA4、如圖，已知四邊形ABCD是菱形，則只須補充條件： （用字母表示）就可以判定四邊形ABCD是正方形精講精練例1、已知中，CD平分,交AB于D，DF/BC,DE/AC，求證：四邊形DECF為正方形。例2、已知：如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足為點D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為點E，（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當(dāng)ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明ABCDMNE例3如圖，已知平行四邊形中，對角線交于點，是延長線上的點，且是等邊三角形（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求證：四邊形是正方形ECDBAO

9、例4、如圖，ABC中，點O是AC邊上一個動點，過點O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的平分線于E，交BCA的外角平分線于點F.(1)求證：EO=FO(2)當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論.(3) 當(dāng)點O運動到何處時，四邊形AECF是有可能是正方形？并證明你的結(jié)論.l 拓展探究（平行四邊形與特殊平行四邊形的綜合運用）1、如圖，正方形ABCD中，E、F、G分別是AD、AB、BC上的點，且AE=FB=GC。試判斷的形狀，并說明理由。2、如圖，在正方形ABCD中，P為BC上一點，Q為CD上一點，(1)若PQ=BP+DQ，求。（2）若,求證：PQ=BP+DQ. 3、如圖，菱形ABC

10、D的邊長為2，對角線BD=2，E、F分別是AD、CD上的動點，且滿足AE+CF=2.（1）求證：.(2)判斷的形狀。4以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個點，得四邊形EFGH（1）如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，請判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；（2）如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時，設(shè)ADC=（090）， 試用含的代數(shù)式表示HAE； 求證：HE=HG； 四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由 例1、在正方形ABCD的邊B

11、C的延長線上取一點E，使CE=CA,連接AE交CD于F，求的度數(shù)。變式：1、已知如下圖，正方形ABCD中，E是CD邊上的一點，F(xiàn)為BC延長線上一點，CE=CF. (1)求證：BECDFC；(2)若BEC=60，求EFD的度數(shù).例2：如圖，E為正方形ABCD的BC邊上的一點，CG平分DCF，連結(jié)AE，并在CG上取一點G，使EG=AE.求證：AEEG.例3、P為正方形ABCD內(nèi)一點，PA=1，PB=2，PC=3，求APB的度數(shù).例4如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對角線AC上一動點（P與A、C不重合），點E在射線BC上，且PE=PB.（1）求證： PE=PD ； PEPD；ABCPDE1、如圖，

12、四邊形ABCD為正方形，以AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE，CE與DB相交于點F，則= 。2、若正方形ABCD的邊長為4，E為BC邊上一點，BE=3，M為線段AE上一點，射線BM交正方形的一邊于點F，且BF=AE，則BM的長為 。4.E為正方形ABCD內(nèi)一點，且EBC是等邊三角形，求EAD的度數(shù).5、如圖，正方形ABCD與正方形OMNP的邊長均為10，點O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞O點旋轉(zhuǎn)，證明：無論正方形OMNP旋轉(zhuǎn)到何種位置，這兩個正方形重疊部分的面積總是一個定值，并求這個定值6、如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系： （1）猜想如圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形請你通過觀察、