高一求求函數(shù)值域的7類題型和15種方法講義

1、高一求求函數(shù)值域的7類題型和15種方法講義 高一求求函數(shù)值域的7類題型和15種方法講義 題型一：一次函數(shù)y?ax?b?a?0?的值域（最值） 1、一次函數(shù)：y?ax?b?a?0? 當(dāng)其定義域?yàn)閞，其值域?yàn)閞； 2、一次函數(shù)y?ax?b?a?0?在區(qū)間?m,n?上的最值，只需分別求出f?m?,f?n?，并比較它們的大小即可。若區(qū)間的形式為?,n?或?m,?等時(shí)，需結(jié)合函數(shù)圖像來(lái)確定函數(shù)的值域。 題型二：二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c(a?0)的值域（最值） ?4ac?b2y? ?a?0?4a1、二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c(a?0)， 當(dāng)其 定義域?yàn)閞時(shí)，其值域?yàn)? 2?y?4ac?b

2、 ?a?0?4a?2、二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c(a?0)在區(qū)間?m,n?上的值域(最值) 首先判定其對(duì)稱軸x?（1）若?b與區(qū)間?m,n?的位置關(guān)系 2abb最大值為f(m),f(n)中較大者；當(dāng)a?0?m,n?,則當(dāng)a?0時(shí)，f(?)是函數(shù)的最小值， 2a2ab時(shí)，f(?)是函數(shù)的最大值，最大值為f(m),f(n)中較小者。 2ab（2）若?m,n?,只需比較f(m),f(n)的大小即可決定函數(shù)的最大（?。┲?。 2a特別提醒： 若給定區(qū)間不是閉區(qū)間，則可能得不到最大（?。┲?； 若給定的區(qū)間形式是?a,?,?,b?,?a,?,?,b?等時(shí)，要結(jié)合圖像來(lái)確函數(shù)的值域； 當(dāng)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是字

3、母時(shí)，則應(yīng)根據(jù)其對(duì)應(yīng)區(qū)間特別是區(qū)間兩端點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論。 例1：已知 f?x2?2x的定義域?yàn)閘 d?by，然后利用x?m,n?（即x的有界性），便可求 ay?c 1 2x?3例3：函數(shù)y?的值域?yàn)?x32?1例4：當(dāng)x?3,?1?時(shí)，函數(shù)y?練習(xí)：已知f?x?1?1?,?3?11?3?,?,? 。 ；若時(shí)，其值域?yàn)?x?1,2?511?1?3x的值域 2x?13?4,? 。 ?2?6?,? 。 ?5?x?3，且x?3,2?，則f?x?的值域?yàn)?2?xdx2?ex?c題型四：l x?4?44?x?1例9：求函數(shù)y?2 x?1,?的值域 x?2x?1解：由原函數(shù)變形、整理可得：yx2?2y?

4、1?x?y?1?0 求原函數(shù)在區(qū)間?1,?上的值域，即求使上述方程在?1,?有實(shí)數(shù)解時(shí)系數(shù)y的取值范圍 當(dāng)y?0時(shí)，解得：x?1?1,? 也就是說(shuō)，y?0是原函數(shù)值域中的一個(gè)值 當(dāng)y?0時(shí)，上述方程要在區(qū)間?1,?上有解， ?01?即要滿足f?1?0或?2y?1 解得：0?y? 8?2y?1?1?綜合得：原函數(shù)的值域?yàn)椋?0,? ?8?題型五：形如y?ax?b?cx?d的值域 這類題型都可以通過(guò)換元轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在某區(qū)間上求值域問(wèn) 題，然后求其值域。 例10： 求函數(shù)y?2x?41?x在x?8,1?時(shí)的值域 ?4,4? 題型六：分段函數(shù)的值域： 一般分別求出每一分段上函數(shù)的值域，然后將各個(gè)分段

5、上的值域進(jìn)行合并即可。如果各個(gè)分段上的函數(shù)圖像都可以在同一坐標(biāo)系上畫出，從圖像上便可很容易地得到函數(shù)的值域。 例11： y?x?1?x?2 ?3,? 練習(xí)： y?x?4x?1 ?,5? 2題型七：復(fù)合函數(shù)的值域 對(duì)于求復(fù)合函數(shù)的值域的方法是：首先求出該函數(shù)的定義域，然后在定義域的范圍內(nèi)由內(nèi)層函數(shù)的值域逐層向外遞推。 2 例13： y?練習(xí)：y?x?1?1?x?1? ?0,2? 2?x?5?x2?3x?4 ?0,? ?2?函數(shù)值域求解的十五種求法 （1）直接法（俗名分析觀察法）： 通過(guò)基本函數(shù)的值域及不等式的性質(zhì)觀察出函數(shù)的值域。即從自變量x的范圍出發(fā)，推出y?f(x)的取值范圍?；蛴珊瘮?shù)的定義

6、域結(jié)合圖象，或直觀觀察，準(zhǔn)確判斷函數(shù)值域的方法。注意此法關(guān)鍵是定義域。 例1：已知函數(shù)y?x?1?1，x?1,0,1,2?，求函數(shù)的值域。 ?1,0,3? 2練習(xí)：求函數(shù)y?例3：求函數(shù)y?練習(xí)：求函數(shù)y?x?1的值域。 1,?) x?1?x?1,?x1?的值域。 ?2,? x2?6x?10的值域。 ?1,? ?（2）配方法： 二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的函數(shù)常用此方法來(lái)還求解，但在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中要注意等價(jià)性，特別是不能改變定義域。對(duì)于形如y?ax?bx?c?a?0?或f?x?a?f?x?bf?x?c?a?0?類的函數(shù)的值域 22問(wèn)題，均可使用配方法。 例1求函數(shù)y?2x?x2?3的值域。 ?(

7、x?1)2?4，于是： 分析與解答：因?yàn)?2x?x2?3?0，即?3?x?1，y?0?(x?1)2?4?4，0?y?2。 x2?2x?41例2求函數(shù)y?在區(qū)間x?,4的值域。 x4?x2?2x?442?分析與解答：由y?配方得：y?x?2?x?6， ?xxx?141?x?2時(shí)，函數(shù)y?x?2是單調(diào)減函數(shù)，所以6?y?18； 4x44當(dāng)2?x?4時(shí)，函數(shù)y?x?2是單調(diào)增函數(shù)，所以6?y?7。 x11所以函數(shù)在區(qū)間x?,4的值域是6?y?18。 44當(dāng) （3）最值法： 對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，利用函數(shù)的最大值、最小值，求函數(shù)的值域的方法。 例1 求函數(shù)y=3-2x-x2當(dāng)定義域?yàn)?3，1的值域。

8、 3 2解：由3-2x-x20，解出。 函數(shù)y在-3，1內(nèi)是連續(xù)的，在定義域內(nèi)由3-2x-x2 的最大值為4，最小值為0。 函數(shù)的值域是0,2 練習(xí)：求函數(shù)y?2，x?2,2?的值域。 ?,4? ?4? x?1? （4）反函數(shù)法（逆求或反求法）： 利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過(guò)求反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域。即通過(guò)反解，用y來(lái)表示x，再由x的取值范圍，通過(guò)解不等式，得出y的取值范圍。對(duì)于形如y?cx?d(a?0)ax?b的值域，用函數(shù)和它的反函數(shù)定義域和值域關(guān)系，通過(guò)求反函數(shù)的定義域從而得到原函數(shù)的值域。 1?2x例1：求函數(shù)y?的值域。 x1?21?y1?y1?2xx

9、x2?0，?1?y?1 2?0解：由y?解得， 1?y1?y1?2x1?2x函數(shù)y?的值域?yàn)閥?(?1,1)。 1?2x（5）分離常數(shù)法： 分子、分母是一次函數(shù)得有理函數(shù)，可用分離常數(shù)法，此類問(wèn)題一般也可以利用反函數(shù)法。小結(jié)：已知分式函數(shù)y?ax?b(c?0)，如果在其自然定義域（代數(shù)式自身對(duì)變量的要求）內(nèi)，值域?yàn)?yy?cx?d?b?a?；c?adc(ad?bc)，用復(fù)合函如果是條件定義域（對(duì)自變量有附加條件），采用部分分式法將原函數(shù)化為y?a?ccx?d數(shù)法來(lái)求值域。 1?x的值域。 2x?5177?(2x?5)?1?x2?1?2， 解：y?22x?52x?522x?5711?x12?0，

10、y?，函數(shù)y?的值域?yàn)閥|y?。 22x?522x?5例1：求函數(shù)y?（6）換元法（代數(shù)/三角）： 對(duì)于解析式中含有根式或者函數(shù)解析式較復(fù)雜的這類函數(shù)，可以考慮運(yùn)用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)化成值域簡(jiǎn)單的熟悉的容易確定的基本函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域。當(dāng)根式里是一次式時(shí)，用代數(shù)換元；當(dāng)根式里是二次式時(shí)，用三角換元。 對(duì)形如y?1的函數(shù)，令f?x?t；形如y?ax?b?cx?d(a,b,c,d均為常數(shù),ac?0)的函數(shù)，f?x?令cx?d?t； 4 例1：求函數(shù)y?2x?1?2x的值域。 1?t215解：令t?1?2x（t?0），則x?，y?t2?t?1?(t?)2? 224當(dāng)t?1355，即x

11、?時(shí)，ymax?，無(wú)最小值。函數(shù)y?2x?1?2x的值域?yàn)??,。 284422練習(xí)：求函數(shù)y?(x?5x?12)(x?5x?4)?21的值域。?y|y?8（7）判別式法： ?1? 16?把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程f(x,y)?0；通過(guò)方程有實(shí)數(shù)根，判別式?0，從而求得原函數(shù)的值 a1x2?b1x?c1域。對(duì)形如y?（a1、a2不同時(shí)為零）的函數(shù)的值域，通常轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程，由于2a2x?b2x?c2方程有實(shí)根，即?0從而求得y的范圍，即值域。值得注意的是，要對(duì)方程的二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論。 注意：主要適用于定義在r上的分式函數(shù)，但定義在某區(qū)間上時(shí)，則需要另行討論。 x2?x?3例1：求函數(shù)y?2的值域。 x?x?1x2?x?32解：由y?2變形得(y?1)x?(y?1)x?y?3?0，當(dāng)y?1時(shí)，此方程無(wú)解； x?x?1當(dāng)y?1時(shí)，x?r，?(y?1)?4(y?1)(y?3)?0解得1?y?21111，又y?1，1?y? 33x2?x?311函數(shù)y?2的值域?yàn)閥|1?y? x?x?13（8）函數(shù)單調(diào)性法： 確定函數(shù)在定義域（或某個(gè)定義域的子集）上的單調(diào)性，可考慮利用函