計算方法之計算矩陣的特征值和特征量

1、1,定義設A為 n 階方陣，若存在常數(shù) 與 n 維非零向量X 使 AX=X成立，則稱 為方陣A的特征值，非零向量 X 為A的對應于 的特征向量。,由AX=X (A- E)X=0 此方程有非零解的充要條件是: |A- E|=0 , 即：, 特征多項式方程。,2,在線性代數(shù)中按如下三步計算： 1、計算出A的特征多項式A- E； 2、求出特征方程A-E=0的全部根i 3、將i代入(A-iE)X=0 求出基礎解系，即得A的對應于i的特征向量，而基礎解系的線性組合即為A的對應于i 的全部特征向量。,3,解：計算特征多項式方程，即,解得A的兩個特征值：1=4， 2=2。,（1）1=4將1=4代入 (A-E

2、)X=0得(A-4E)X=0,4,取對應于1=4的基礎解向量,則對應于1=4的全部特征向量為：,（2）2=2將1=2代入(A-E)X=0得(A-2E)X=0,取對應于2=2的基礎解向量,5,方法局限性：當矩陣階數(shù)較高（如階數(shù)n4）時，將面臨兩方面的難題： （1）多項式的計算對舍入誤差非常敏感； （2）求高次方程的根尤其是重根存在困難。,則對應于2=2的全部特征向量為：,特,征,值,的,數(shù),值,計,算,方,法,1、冪法：求按模最大特征值，即,2、反冪法：求按模最小特征值，即,3、Jacobi法：求實對稱矩陣所有特征值和特征向量。,6,冪法是一種迭代法。 基本思想：把矩陣的特征值和特征向量作為一個

3、無限序列的極限來求得。 如對于n階方陣A，任取一個初始向量X(0) ，作迭代計算X(k+1) =AX(k) 則可得迭代序列X(0) , X(1) , , X(k) ,， 序列的收斂情況與A的按模最大特征值有密切關系，分析序列的極限，即可得到A的按模最大特征值及特征向量的近似值。,7,下面介紹兩種簡單情況： （一）按模最大特征值只有一個，且是單實根 （二）按模最大特征值是互為反號的實根,8,定理設n 階方陣A有 n 個線性無關的特征向量 Xi ，其對應的特征值為i （i=1,2,.,n)，且滿足： |1|2| |n| 則對任何非零初始向量V(0)（至少第1個分量不為0）所構成的迭代序列 V(k+

4、1)=AV(k)（k=0,1,2,） 有：,其中,表示,中的第j個分量。,（一）按模最大特征值只有一個，且是單實根,9,證明： 因為A具有 n 個線性無關的特征向量 Xi （i=1,2,.,n） 而任一 n 維的非零向量，如V(0)：,總可以用 Xi 的線性組合來表示： V(0)=1X1+ 2X2+.+ nXn（其中10） 取V(1)=AV(0) V(2)=AV(1)=A2V(0) ,10,V(k+1)=AV(k) =Ak+1V(0) 以構成向量迭代序列。,由矩陣特征值的定義有： AXi=iXi （i=1,2,.,n） 則有,11,同理可得：,V(k+1)的第j個分量：,V(k)的第j個分量：

5、,那么,12,由已知條件：,故有：,所以：,定理的證明已給出求矩陣最大特征值的方法：,（1）取一非零初始向量V(0) ，如V(0)=(1,1,.,1)T （2）作迭代計算：V(k+1)=AV(k) （3）當k充分大時?。?13,或者用各個分量比的平均值作為最大特征值：,（4）求1所對應的特征向量：,由：,可得：,而：,故：,則V(k)即為所求對應1的特征向量。,14,例用冪法求下面的按模最大特征 值及對應的特征向量。,（1）即初始非零向量V(0),（2）作迭代計算V(k+1)= AV(k)：,15,最大特征值的計算：,特征向量：V(11),16,設n 階方陣A有 n 個線性無關的特征向量 Xi

6、 ，其對應的特征值為i （i=1,2,.,n)，且滿足： |1| = |2|3| |n|，設其中10, 1=- 2,（二）按模最大特征值是互為反號的實根,由迭代變換：,17,迭代計算中V(k)呈規(guī)律性擺動，當k充分大時有,則有：,同理：,（k充分大時）,再由：,可得：,取,18,規(guī)范化冪法運算,由,（1）當|1|1時，V(k)與V(k+1)的各個不等于0的分量將隨k的增大而過快地增大，而可能“溢出”； （2）當|1|1時， V(k)與V(k+1)的各個分量將隨k的增大而過快地減小而趨于0； 上述兩種情況都會導致計算結果不準確。,19,解決措施：在計算V(k+1)之前，先將V(k)規(guī)范化，具體操

7、作如下： （1）取U(0)=V(0)=1X1+ 2X2+.+ nXn（非零向量），計算V(1) ： V(1)=AU(0)=AV(0) （2）取U(1)：,即用V(1)中絕對值最大的分量去除V(1)中的所有分量。其次計算V(2) ：,20,（3）取U(2) ：,即用V(2)中絕對值最大的分量去除V(2)中的所有分量。其次計算V(3) ：, （k+1）取U(k) ：,21,即用V(k)中絕對值最大的分量去除V(k)中的所有分量。其次計算V(k+1) ：,計算過程總結如下:,22,由,規(guī)范化冪法運算中的幾種情況,（一）按模最大特征值1是單實根，且10,此時迭代向量序列 V(k) 將正常收斂。,23,

8、由向量知識：X1是對應1的特征向量，那么,也是對應1的特征向量。 即可用 U(k) 作為所求對應于 1 的特征向量。,由,那么：,24,即：當k充分大時可用V(k+1)中的最大分量作為所求最大特征值1,25,解：取初始向量V(0)=U(0)=(1,1,1)T，結果如下：,由表可知，最大特征值為： 1=44.99953 對應特征向量為：( 1 , 0.33333 , -0.66667 )T,26,此種情形下，按模最大特征值為,（二）按模最大特征值1是單實根，但10,此時迭代向量序列V(2k)和V(2k+1)將分別收斂于互為反號的向量。,當k充分大時，,的符號會交替變號。,而對應于1的特征向量仍為

9、U(k) 。,27,|1| = |2|3| |n|，設其中10, 1=-2,（三）按模最大特征值是互為反號的實根，即,此時迭代向量序列V(2k)和V(2k+1)將分別收斂于兩個互不相同的向量。 當規(guī)范化運算到k充分大時停止，再作一次非規(guī)范化運算：,則按模最大特征值：,而特征向量仍為：,28,驗證：當k充分大時,29,故有：,30,規(guī)范化冪法算法描述（1是單實根，且10） 一、數(shù)據(jù)說明 ann存放方陣A中各元素； V0n表示迭代式中的V(k); V1n表示迭代式中的V(k+1); Un規(guī)范化向量 lamda按模最大特征值 EPS精度控制量 二、操作步驟 Step1 輸入A中元素,31,Step2

10、V0n(0,0,.,0)T； V1n (1,1,.,1)T Step3While |V1-V0|EPS DO Step4V0 V1; Step5計算V(k+1)=AV(k): Ui V0i/max(V0i) 計算V(k+1)=AU(k) Step6計算|V1-V0| EndWhile Step7Output( lamda= max(V1n) , Un ),32,設待求n階矩陣A可逆，且其特征值為 i（i =1,2,n） 對應的特征向量為Xi，二者滿足關系式 AXi=iXi 等式兩邊同時乘以A-1，得Xi=iA-1Xi ，即,由特征值與特征向量的定義，知,為A-1的特征值，而Xi為對應的特征向量

11、。,33,顯然，如果 i 是A的按模最小特征值，那么其倒數(shù)則是A-1的按模最大特征值。 問題的解決：求規(guī)范化冪法求出A-1的按模最大特征值，取其倒數(shù)即A的按模最小特征值。 即,考慮A-1的計算煩瑣，將上式變換為：,反冪法。,34,計算步驟： （1）將A進行LU分解； （2）取初始向量U(0)=V(0) 計算V(1)=AU(0) U(1)=V(1)/|V(1)|，代入AV(2)=U(1) , 求V(2) U(2)=V(2)/|V(2)|，代入AV(3)=U(3) , 求V(3) 當| V(k+1) V(k) |EPS 時停止。 （3）取1/max(V(k+1) 為按模最小特征值 U(k)為對應特

12、征向量。,35,實例-用反冪法求,的按模最小特征值,解法用先對A進行LU分解,取初始向量 V(0) =U(0)=( 1 , 1 )T,按,計算出V(1)，再計算U(1)，,36,編程作業(yè)： 編制反冪法求方陣按模最小特征值的程序。,1、什么是實對稱矩陣？ 對實矩陣A，若有A=AT，即aij=aji，則A為實對稱矩陣。,2、Jacobi法的基本思想 （1）對實矩陣A，其所有特征值均為實數(shù)，而且一定存在一個正交矩陣P，使,37,其中 i （i=1,2,n）即A的全部特征值，而正交矩陣P 的第i列是對應于i 的特征向量。,（2）直接找到正交矩陣P非常困難，但可用一系列一系列的正交矩陣P1、P2、，Pk

13、反復作用于A，即作如下正交變換：,38,使變換后的矩陣A(k+1)在非主對角線上的元素趨近于0，而主對角線上的元素即為A的各個特征值的近似值，以矩陣P=P1P2Pk-1Pk的第i列作為對應于i 的特征向量。,3、正交矩陣系列P1，P2，Pk如何構成？ 以2階實對稱矩陣A為例來考慮：,，其中,如何通過正交矩陣變換，將A轉換為對角矩陣以求出其全部特征值呢？,39,（1）由實對稱矩陣與二次型存在一一對應的關系，則A對應的二次型為,（2）如何轉化為標準型？坐標旋轉：,相當于如下矩陣變換：,或者：,40,其中,則可得標準二次型：,（3）再由：,因：,故有,41,令,因 PPT=E，故P為正交矩陣。,結論

14、：對2階的實對稱矩陣A，選取適當旋轉角，作正交變換PTAPB，而b11和b22即A的兩個特征值，P 的兩個列向量即對應的特征向量。,解取正交矩陣,42,對A作正交變換：,選取旋轉角=45，使sin2 -cos2 =0，則有,43,則對應于特征值1=4 的特征向量為,對應于特征值2=2 的特征向量為,上述方法即為Jacobi法。,44,Jacobi法應用于n階實對稱矩陣A： 取如下正交矩陣,45,該矩陣的特點： （1）主對角線元素vpp=vqq=cos，其余為1； （2）兩個非對角線元素-vpq=vqp=sin ； （3）剩余的其它元素均為0。,現(xiàn)以V對A（其中aij=aji，ij）作正交變換得

15、A(1),通過直接計算可知，除p、q兩行和p、q兩列以外，其余元素不變。 A(1)中各元素的計算公式：,46,選取旋轉角使?jié)M足,則可使一對非主對角線元素,47,一般地，取不同參數(shù)p、q和，得不同正交矩陣V(p,q,)，逐次作用于A(1)、A(2)、A(k) ，每變換一次都將使A的一對非主對角線元素化為0。,不難證明：,可知，隨正交變換的逐次進行，主對角線元素所占的比重越來越大，而非主對角線元素所占比重越來越小，最后將趨近于0。,48,若給定0，當變換次數(shù)k充分大時，使?jié)M足,此時，矩陣A(k)的主對角線元素即所求特征值。,另外：在每次選取正交矩陣V(p,q,)時，若使,即選取旋轉主元，則可加快正交變換的效率。,如,取,49,雅可比方法的算法描述 先對下式做簡化處理：,令,則有,求出此方程的根，即確定了正交矩陣V(p,q, )的旋轉角度 ，分兩種情形考慮： （1）若app=aqq，則t=1，取=45 （2）若appaqq，則t取絕對值較小的根,50,確定了旋轉角度后即可計算,一、數(shù)據(jù)說明 ann初值為n階實對稱A，結果為對角矩陣，其主對角線元素為所