2019數(shù)學(xué)(理)二輪教案：專題四第一講空間幾何體Word版含解析

1、第一講空間幾何體年份卷別考查角度及命題位置2018卷圓柱的三視圖的應(yīng)用 T7卷 與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的三視圖判斷 T 3卷三視圖與表面積問(wèn)題 T72017卷三視圖與體積問(wèn)題 T4卷圓柱與球的結(jié)合體問(wèn)題T8卷 有關(guān)球的三視圖及表面積T6空間幾何體的三視圖及組合體表面積的計(jì)2016卷算T6卷空間幾何體三視圖及表面積的計(jì)算T9直三棱柱的體積最值問(wèn)題T10空間幾何體的三視圖授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第34 頁(yè) 悟通 方法結(jié)論 命題分析立體幾何問(wèn)題既是高考的必考點(diǎn)，也是考查的難點(diǎn)，其在高考中的命題形式較為穩(wěn)定，保持“一小一大”或“兩小一大”的格局多以選擇題或者填空題的形式考查空間幾何體三視圖的識(shí)別，空間幾何體的體

2、積或表面積的計(jì)算 .一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正視圖的下面， 長(zhǎng)度與正視圖的長(zhǎng)度一樣， 側(cè)視圖放在正視圖的右面， 高度與正視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣，即“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等” 全練 快速解答 1(2018 考全國(guó)卷高 )中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()1解析：由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選 A.故選 A.答案： A2(2017 考全國(guó)卷高)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視

3、圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形 該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為 ()A 10B 12C14D 16解析：由三視圖可知該多面體是一個(gè)組合體，下面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長(zhǎng)為2，直三棱柱的高為 2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2 個(gè)面是梯形，且這兩個(gè)梯形全等，這些梯形的面積之和為 2 4 2 212，故選 B.2答案： B3(2018 山西八校聯(lián)考 )將正方體 (如圖 1)截去三個(gè)三棱錐后， 得到如圖 2所示的幾何體，側(cè)視圖的視線方向如圖2 所示，則

4、該幾何體的側(cè)視圖為()解析：將圖 2 中的幾何體放到正方體中如圖所示，從側(cè)視圖的視線方向觀察，易知該幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)D 中的圖形，故選D.答案： D明確三視圖問(wèn)題的常見(jiàn)類型及解題策略(1) 由幾何體的直觀圖求三視圖注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實(shí)線，看不到的部分用虛線表示(2) 由幾何體的部分視圖畫出剩余的視圖先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測(cè)直觀圖的可能形式， 然后再找其剩下部分視圖的可能形式 當(dāng)然作為選擇題， 也可將選項(xiàng)逐項(xiàng)代入，再看看給出的部分三視圖是否符合2(3) 由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想

5、象將三視圖還原為實(shí)物圖空間幾何體的表面積與體積授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第35 頁(yè) 悟通 方法結(jié)論 求解幾何體的表面積或體積(1)對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算(2) 對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解(3) 求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用 全練 快速解答 1 (2017 考全國(guó)卷高)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A 90B 63C42D 36解析： 法一：由題意知，該幾何體由

6、底面半徑為3，高為 10 的圓柱截去底面半徑為3，高為 6 的圓柱的一半所得，故其體積V 32 10 12 32 6 63.法二：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為 10 的圓柱截去底面半徑為3，高為 6的圓柱的一半所得，其體積等價(jià)于底面半徑為3，高為 7 的圓柱的體積，所以它的體積V 32 7 63.答案： B2(2018 州四校聯(lián)考福)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()327A 2B 27C272D 273解析： 在長(zhǎng)、寬、高分別為33，3,33的長(zhǎng)方體中，由幾何體的三視圖得幾何體為如圖所示的三棱錐C-BAP ，其中底面 BAP 是 BAP 90?的直角三角形，AB

7、 3，AP 33，所以 BP 6，又棱 CB平面 BAP 且 CB 33，所以 AC 6，所以該幾何體的表面積是1 3 33 1 3 33 1 6 33 1 6 332222273，故選 D.答案： D3.(2018 西安八校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 ()4A. 35B. 32C2 32D 4 3解析： 由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)半徑為1 的半球與一個(gè)底面半徑為1，高為 2 的半圓柱組合而成的組合體，故其體積23125，故選 B.V 1 1 2323答案： B4(2018 高考全國(guó)卷 )在長(zhǎng)方體 ABCD -A1B1C1D1 中， AB BC 2，AC1 與平面 B

8、B1C1C所成的角為 30，則該長(zhǎng)方體的體積為()A 8B 62C82D 83解析： 如圖，連接 AC 1， BC1， AC. AB平面 BB1C1C， AC 1B 為直線 AC1 與平面BB1C1C 所成的角， AC1B30.又 AB BC 2，在 Rt ABC 1 中， AC12 4，在sin 30 4Rt ACC1 中， CC1 AC12 AC242 22 22 22， V 長(zhǎng)方體 AB BC CC1 2 2 2 2 8 2.故選 C.答案： C1 活用求幾何體的表面積的方法(1) 求表面積問(wèn)題的基本思路是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn)(

9、2) 求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過(guò)求和或作差得幾何體的表面積2 活用求空間幾何體體積的常用方法(1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算(2)等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過(guò)轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等(3) 割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)分割或補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為易計(jì)算體積的幾何體空間幾何體與球的切、接問(wèn)題授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第36 頁(yè) 悟通 方法結(jié)論 1解決與球有關(guān)的“切”“接”問(wèn)題，一般要過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或過(guò)線作截面，把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，從而尋找?guī)缀误w各元素

10、之間的關(guān)系2記住幾個(gè)常用的結(jié)論：(1)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R.正方體的外接球，則2R3a；正方體的內(nèi)切球，則2R a；球與正方體的各棱相切，則2R2a.5(2) 在長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為a ， b， c，外接球的半徑為R，則2Ra2 b2 c2.(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3 1.(1)(2017 高考全國(guó)卷 )已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2 的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為()A 3C.D. B. 424解析： 設(shè)圓柱的底面半徑為2212333r，則 r 12 ，所以，圓柱的體積V 1，444故選 B.答案： B(2)(2017 高考全國(guó)卷

11、 )已知三棱錐SABC 的所有頂點(diǎn)都在球O 的球面上， SC 是球 O的直徑若平面SCA平面 SCB， SA AC， SB BC，三棱錐 SABC 的體積為9，則球 O的表面積為 _解析： 如圖，連接AO， OB， SC 為球 O 的直徑，點(diǎn) O 為 SC 的中點(diǎn)， SA AC， SB BC， AO SC， BO SC，平面 SCA平面 SCB，平面 SCA平面 SCB SC， AO平面 SCB，設(shè)球 O 的半徑為 R，則 OA OBR， SC 2R. VS-ABC VA -SBC 1S SBC AO3 13 12 SC OB AO，即 91 1 2R R R，解得 R3， 3 222球 O

12、的表面積為S4R 4 3 36.6掌握 “ 切 ”“ 接 ” 問(wèn)題的處理方法(1)“ 切 ” 的處理：解決與球有關(guān)的內(nèi)切問(wèn)題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時(shí)要先找準(zhǔn)切點(diǎn)， 通過(guò)作截面來(lái)解決如果內(nèi)切的是多面體，則多通過(guò)多面體過(guò)球心的對(duì)角面來(lái)作截面 .(2)“ 接 ” 的處理：把一個(gè)多面體的幾個(gè)頂點(diǎn)放在球面上即球的外接問(wèn)題解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離等于球的半徑. 練通 即學(xué)即用 1(2018 湘東五校聯(lián)考 )已知等腰直角三角形ABC 中，AB AC 2，D，E 分別為 AB，AC 的中點(diǎn)，沿 DE 將 ABC 折成直二面角 (如圖 )，則四棱錐 A-DECB

13、 的外接球的表面積為 _解析： 取 DE 的中點(diǎn) M， BC 的中點(diǎn) N，連接 MN (圖略 )，由題意知， MN平面 ADE ，因?yàn)?ADE 是等腰直角三角形，所以ADE 的外接圓的圓心是點(diǎn)M，四棱錐 A-DECB 的外接球的球心在直線MN 上，又等腰梯形DECB 的外接圓的圓心在MN上，所以四棱錐A-DECB 的外接球的球心就是等腰梯形DECB 的外接圓的圓心連接BE，易知 BEC 是鈍角三角形，所以等腰梯形DECB 的外接圓的圓心在等腰梯形DECB 的外部 設(shè) 四 棱 錐 A-DECB的 外 接 球 的 半 徑 為R ， 球 心 到 BC 的 距 離 為 d ， 則R2 d2 2 2，解

14、得 R25，故四棱錐 A-DECB 的外接球的表面積R2 d 2 22 2，S4R2 10.222答案： 102 (2018 合肥模擬 )如圖，已知平面四邊形ABCD 滿足 AB AD 2， A 60?， C90?，將 ABD 沿對(duì)角線BD 翻折， 使平面 ABD 平面 CBD ，則四面體 ABCD 外接球的體積為 _解析：在四面體ABCD 中， ABAD 2， BAD 60?， ABD 為正三角形， 設(shè) BD的中點(diǎn)為M，連接 AM，則 AM BD ，又平面 ABD 平面 CBD ，平面 ABD 平面 CBD BD，AM 平面CBD. CBD 為直角三角形，其外接圓的圓心是斜邊BD 的中點(diǎn)M，

15、由球7的性質(zhì)知，四面體ABCD 外接球的球心必在線段AM上，又 ABD 為正三角形，球心是23234 ABD的中心，則外接球的半徑為3223，四面體 ABCD 外接球的體積為323 3323 (3) 27.答案： 32327授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第135 頁(yè)一、選擇題1 (2018 州模擬廣 )如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖 (等腰直角三角形)和側(cè)視圖， 且該幾何體的體積為8，則該幾何體的俯視圖可以是()3解析： 由題意可得該幾何體可能為四棱錐，如圖所示，其高為2，底面為正方形，面積為 2 2 4，因?yàn)樵搸缀误w的體積為14 2 8，滿足條件，33所以俯視圖可以為

16、一個(gè)直角三角形故選D.答案： D2 (2018 高考全國(guó)卷 )已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1、 O2，過(guò)直線 O1O2 的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A 12 2B 12C8 2D 10解析： 設(shè)圓柱的軸截面的邊長(zhǎng)為x，則由 x2 8，得 x 22， S 圓柱表 2S 底 S 側(cè) 2 ( 2) 2 2 2 2 2 12.故選 B.答案： B3 (2018 肥模擬合 )如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三8視圖，則該幾何體的表面積為()A 5 18B 6 18C8 6D 10 6解析： 由三視圖可知，該幾何體由一個(gè)半圓柱與兩個(gè)半球構(gòu)

17、成，故其表面積為4 121 2 1 3 21 12 3 2 86.故選 C.22答案： C4 (2018 陽(yáng)模擬沈 )某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積是()A 4 4 2B 4 228C8 4 2D 3解析： 由三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱錐，記為四棱錐P-ABCD ，如圖所示，其中PA底面 ABCD ，四邊形 ABCD 是正方形，且PA 2，AB 2，PB 22，所以該四棱錐的側(cè)面積S 是四個(gè)直角三角形的面積和，即 S 2 (12 2 12 2 2) 4 42，故選 A.22答案： A5 (2018 聊城模擬 )在三棱錐 P-ABC 中，已知 PA底面 ABC， BAC 120?

18、， PA ABAC 2，若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A 10 3B 18C20D 9 3解析：該三棱錐為圖中正六棱柱內(nèi)的三棱錐P-ABC，PA ABAC 2，所以該三棱錐的外接球即該六棱柱的外接球，所以外接球9的直徑 2R42 22 25? R5，所以該球的表面積為4R2 20.答案： C6 (2018 考全國(guó)卷高 )某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖所示圓柱表面上的點(diǎn)M 在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N 在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M 到 N 的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()A 2 17B 25C3D 2解析： 先畫出圓柱的直觀圖，根

19、據(jù)題圖的三視圖可知點(diǎn)M， N 的位置如圖所示圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖及M， N 的位置 (N 為 OP 的四等分點(diǎn) )如圖所示，連接MN，則圖中 MN 即為 M 到 N 的最短路徑1ON 416 4，OM 2， |MN |OM 2ON222 42 25.故選 B.答案： B7在正三棱柱ABC-A1B1C1 中，AB 2，AA1 3，點(diǎn) M 是 BB1 的中點(diǎn)，則三棱錐C1-AMC的體積為 ()A.3B.2C22D 23解析：取 BC 的中點(diǎn) D ，連接 AD.在正三棱柱ABC -A1B1C1 中， ABC為正三角形，所以AD BC，又 BB1平面 ABC，AD? 平面 ABC，所以BB1 AD ，又

20、BB1 BC B，所以 AD 平面 BCC 1B1，即 AD 平面 MCC 1，所以點(diǎn) A 到平面 MCC 1 的距離就是AD.在正三角形ABC 中， AB 2，所以 AD3，又 AA1 3，點(diǎn) M 是 BB1 的中點(diǎn)，所以S MCC 11S 矩形 BCC1 B1 1 232213，所以 VC1 AMC VA-MCC 1 3 333.答案： A108如圖，四棱錐P-ABCD 的底面 ABCD 為平行四邊形，NB 2PN，則三棱錐N-PAC 與三棱錐 D-PAC 的體積比為 ()A 1 2B 1 8C1 6D 1 3PN1解析： 由 NB 2PN 可得 PB3.設(shè)三棱錐 N-PAC 的高為 h1

21、，三棱錐 B-PAC的高為 h，則h1 PN1.又四邊形 ABCD 為平行四邊形，所以點(diǎn)B 到平面 PAC 的距離與點(diǎn) D 到平面 PACh PB 31S PAC h1N-PAC 與三棱錐 D-PAC 的體積比為 V1 31.的距離相等，所以三棱錐V 1S PAC h33答案： D9已知球的直徑SC4，A，B 是該球球面上的兩點(diǎn)， ASC BSC 30?，則棱錐 S-ABC的體積最大為 ()8A 2B 3C 3D 2 3解析： 如圖，因?yàn)榍虻闹睆綖镾C，且 SC 4， ASC BSC 30?，所以 SAC SBC 90?， AC BC 2 ， SA SB 23，所以S SBC 12 2 2 3 2 3，則當(dāng)點(diǎn) A 到平面 SBC 的距離最大時(shí)， 棱錐 A-SBC即 S-ABC的體積最大，此時(shí)平面SAC平面 SBC，點(diǎn) A 到平面 SBC 的距離為23sin 30?3，所以棱錐 S-ABC 的體積最大為 1 233 2，故選 A.3答案： A二、填空題10 (2018 陽(yáng)統(tǒng)考洛 )已知點(diǎn) A， B， C， D 均在球 O 上， AB BC6， AC 23.若三棱錐