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1、一、 (10分)用組合意義證明恒等式:n+3k=nk+3nk-1+3nk-2+nk-3證明:考慮對(duì)集合a1,a2,an,b1,b2,b3的k-組合計(jì)數(shù)可以表示為n+3k,同時(shí)該K-組合可以分成如下四類(lèi):第一類(lèi):從 a1,a2,an 中取k個(gè),再?gòu)?b1,b2,b3中取0個(gè);計(jì)數(shù)為nk 第二類(lèi):從 a1,a2,an 中取k-1個(gè),再?gòu)?b1,b2,b3中取1個(gè);計(jì)數(shù)為3nk-1第三類(lèi):從 a1,a2,an 中取k-2個(gè),再?gòu)?b1,b2,b3中取2個(gè);計(jì)數(shù)為3nk-2第四類(lèi):從 a1,a2,an 中取k-3個(gè),再?gòu)?b1,b2,b3中取3個(gè);計(jì)數(shù)為nk-3 因此,根據(jù)加法原則該恒等式成立。二、(
2、10分)由2n個(gè)人圍成一個(gè)圓圈,問(wèn)有多少種圍法?若從中抽出n個(gè)人圍成一圓圈有多少種圍法?(1) (2n-1)!(2) 2n!/n n! 或 2n (2n-1) (n+1)/n三、(10分)設(shè)計(jì)從格路平面(0,0)走到(10,5)點(diǎn),只能沿格路走水平或垂直方向,不可回退,且途徑道路上會(huì)有若干蘿卜坑(如圖所示),請(qǐng)問(wèn)恰巧只經(jīng)過(guò)2個(gè)坑的格路數(shù)是多少? 從左到右依次編號(hào)為1,2, 3, 4。分類(lèi)考慮如下: 經(jīng)過(guò)1、2的:C(4,2)*(C(7,2)+C(5,2)=186; 經(jīng)過(guò)2、3的:(C(6,2)-C(4,2)*C(6,2)=135; 經(jīng)過(guò)2、4的:(C(6,2)-C(4,2)*C(5,2)=90
3、; 共有:186+135+90=411四、(10分)有5對(duì)父子(共10人)參加“爸爸去哪兒”節(jié)目。一期節(jié)目是“交換爸爸”,即每位父親在節(jié)目中的孩子不是自己的孩子。請(qǐng)問(wèn)一共有多少種不同的安排方法?解:此題為n=5的錯(cuò)排問(wèn)題,也可看做是n=5的有限制排列問(wèn)題,棋盤(pán)多項(xiàng)式如下: RC=1+x5=n=055nxn所以,排列方法數(shù) :D5=r05!-r14!+r23!-r32!+r4.1!-r5 =5!-54!+103!-102!+5.1!-1 =44五、(10分)設(shè)有兩個(gè)隊(duì)Q1和Q2,每隊(duì)都是30人,其中Q1隊(duì)有15名男孩和15名女孩組成,Q2隊(duì)男、女孩的人數(shù)不限。這兩隊(duì)按序號(hào)面對(duì)面地站好,如圖所示,
4、然后,Q1隊(duì)不動(dòng),Q2隊(duì)迂回往右錯(cuò)動(dòng),每次依序錯(cuò)動(dòng)一個(gè)位置。試證明當(dāng)Q2錯(cuò)動(dòng)到某一位置上時(shí),Q1和Q2在對(duì)應(yīng)位置上的兩個(gè)小孩至少有15對(duì)是性別相同的。a 1a2a 3a 29a 30b1b2b 3b 29b 30a 1a2a 3a 29a 30b30b1b 2b 28b 29證明:Q2隊(duì)迂回錯(cuò)動(dòng)一圈再回到初始狀態(tài)時(shí),每個(gè)小孩無(wú)論是男孩還是女孩,在對(duì)應(yīng)位置上都與Q1隊(duì)的15個(gè)小孩同性別。故同性別的總對(duì)數(shù)為15*30=450。因此,每個(gè)錯(cuò)動(dòng)位置上同性別的平均對(duì)數(shù)為450/30=15。根據(jù)鴿巢原理,必存在某一位置,當(dāng)Q2錯(cuò)動(dòng)到這個(gè)位置上時(shí),則性別相同的小孩至少有15對(duì)。六(10分)設(shè)有N條封閉曲線畫(huà)
5、在平面上,而任何兩條封閉曲線恰好相交于兩點(diǎn),且任何三條封閉曲線不相交于同一點(diǎn),問(wèn)這些封閉曲線把平面分割成的區(qū)域個(gè)數(shù)。解:令an為n條封閉曲線把平面分割成的區(qū)域個(gè)數(shù)。若n-1條封閉曲線把平面分割成的區(qū)域個(gè)數(shù)為an-1,則第n條封閉曲線與這n-1條封閉曲線相交于2(n-1)個(gè)點(diǎn),這2(n-1)個(gè)點(diǎn)把第n條封閉曲線截成2(n-1)段弧,這些弧把原來(lái)的2(n-1)個(gè)區(qū)域中的每個(gè)區(qū)域一分為二,故新增加的區(qū)域個(gè)數(shù)為2(n-1)。所以,滿足如下的遞歸關(guān)系: an=an-1+2n-1,a1=2, 解該遞歸關(guān)系得:an=n2-n+2七(10分)面包店出售豆沙餡、椰蓉餡,果醬餡三種面包,小紅到面包店時(shí)剛好有3個(gè)豆
6、沙餡,2個(gè)椰蓉餡,2個(gè)果醬餡面包出爐,小紅帶的食品袋正好可以裝下5個(gè)面包,那么小紅購(gòu)買(mǎi)5個(gè)面包共有多少種不同的購(gòu)買(mǎi)方案呢?解:該組合問(wèn)題的母函數(shù)為Gx=1+x+x2+x3.(1+x+x2)2對(duì)上述母函數(shù)進(jìn)行展開(kāi)合并,得到x5的系數(shù)為6故,共有6種購(gòu)買(mǎi)方案。八(10分)今安排5位女士和17位男士圍圓桌而坐(22個(gè)座位均已編號(hào)),使得任何兩位女士之間至少有3位男士,求有多少種不同的安排座位的方案?解:先任選一位女士,記為,則可依如下步驟安排座位:1 安排入座,有22種方法; 2 安排其他4位女士入座,使得任何兩位女士之間至少有3個(gè)空座位。設(shè)由開(kāi)始按逆時(shí)針順序,5位女士依次為,且與之間有個(gè)空位,與之
7、間有個(gè)空位,則且 ,設(shè)為該式中滿足條件的整數(shù)解個(gè)數(shù),則完成本步驟的方法共有種。 因?yàn)槭?展開(kāi)式中的系數(shù),而 所以完成本步驟的方法有:種。3 安排17位男士入座共有17!種方法; 綜合上述三個(gè)步驟,由乘法法則得:不同的安排座位的方法數(shù)共有: 九(10分)用紅、白、藍(lán)三色珠子穿成一條長(zhǎng)度為n的珠串,要求藍(lán)色珠子的個(gè)數(shù)為偶數(shù),問(wèn)滿足條件的長(zhǎng)度為n的珠串有多少種穿法?(用母函數(shù)法)解:該排列問(wèn)題的母函數(shù)為:Gx=(1+x+x22!+x33!+)2.1+x22!+x44!+ =e2xex+e-x2=e3x+ex2=123n+1xnn! 所以方法數(shù)為:an=(3n+1)/2十.(10分)設(shè)用三種顏色對(duì)一個(gè)五角星的五個(gè)區(qū)域著色,求在允許旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)的情況下,有多少種不同的染色方案?解:該問(wèn)題可以用波利亞定理求解,共
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