初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié)[谷風(fēng)教育]

1、初三數(shù)學(xué) 二次函數(shù) 知識點總結(jié)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項二、二次函數(shù)的基本形式二次函數(shù)的基本形式的性質(zhì)：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移

2、步驟：方法一： 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式，確定其頂點坐標(biāo)； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎(chǔ)上“值正右移，負(fù)左移；值正上移，負(fù)下移”概括成八個字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或）四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五、二次函數(shù)圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關(guān)于

3、對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.六、二次函數(shù)的性質(zhì) 1. 當(dāng)時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為當(dāng)時，隨的增大而減??；當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，有最小值 2. 當(dāng)時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為當(dāng)時，隨的增大而增大；當(dāng)時，隨的增大而減??；當(dāng)時，有最大值七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數(shù)，）；2. 頂點式：（，為常數(shù)，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標(biāo)）.注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成

4、交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系 1. 二次項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然決定了拋物線開口的大小和方向，的正負(fù)決定開口方向，的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù) 在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側(cè)則，概括的說就是“左同右異” 3. 常數(shù)項 決定了拋物線與軸交點的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數(shù)解析式的確定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目

5、的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點，常選用頂點式九、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數(shù)： 當(dāng)時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根這兩點間的距離. 當(dāng)時，圖象與軸只有一個交點； 當(dāng)時，圖象與軸沒有交點. 當(dāng)時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有；

6、當(dāng)時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標(biāo)為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（?。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮?shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點對稱的點坐標(biāo)，或已知與軸的一個交點坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo).二次函數(shù)考查重點與常見題型1 考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以為自變量的二次函數(shù)的圖像經(jīng)過原點，

7、 則的值是 2 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)的圖像大致是（ ） y y y y 1 1 0 x -1 o x 0 x 0 1 x A B C D3 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為，求這條拋物線的解析式。4 考查用配方法求拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：已知拋物線（a0）與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)是1

8、、3，與y軸交點的縱坐標(biāo)是（1）確定拋物線的解析式；（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo). 5考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題。由拋物線的位置確定系數(shù)的符號例1 （1）二次函數(shù)的圖像如圖1，則點在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 （2）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：a、b同號；當(dāng)x=1和x=3時，函數(shù)值相等；4a+b=0；當(dāng)y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（ ）A1個 B2個 C3個 D4個 (1) (2)【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵例2.已知二次函數(shù)

9、y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(-2，O)、(x1，0)，且1x12，與y軸的正半軸的交點在點(O，2)的下方下列結(jié)論：abO；4a+cO，其中正確結(jié)論的個數(shù)為( ) A 1個 B. 2個 C. 3個 D4個答案：D會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式例3.已知：關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=3的一個根為x=2，且二次函數(shù)y=ax2+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點坐標(biāo)為( ) A(2，-3) B.(2，1) C(2，3) D(3，2)答案：C例4、已知拋物線y=x2+x-（1）用配方法求它的頂點坐標(biāo)和對稱軸（2）若該拋物線與x軸的兩個交點為A、B，求線段AB的長【點評】

10、本題（1）是對二次函數(shù)的“基本方法”的考查，第（2）問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑（圖象、解析式等）了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù)；將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系”的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題一、選擇題1. 二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)是( )A.(2,11) B.（2，7） C.（2，11） D. （2，3）2. 把拋物線向上平移1個單位，得到的拋物線是（ ）A. B. C. D. 3.函數(shù)和在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的( ) 4.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論: a,b同號;當(dāng)和時,函數(shù)

11、值相等;當(dāng)時, 的值只能取0.其中正確的個數(shù)是( ) A.1個 B.2個 C. 3個 D. 4個5.已知二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)（-1，-3.2）及部分圖象(如圖),由圖象可知關(guān)于的一元二次方程的兩個根分別是（）. B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則點在（ ）A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限7.方程的正根的個數(shù)為（ ）A.0個 B.1個 C.2個. 3 個8.已知拋物線過點A(2,0),B(-1,0),與軸交于點C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為A. B. C. 或 D. 或二、填空題9二次函數(shù)的對稱軸是，則_。10已知拋物線y=-2（x+3）

12、+5，如果y隨x的增大而減小，那么x的取值范圍是_.11一個函數(shù)具有下列性質(zhì)：圖象過點（1，2），當(dāng)0時，函數(shù)值隨自變量的增大而增大；滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 （只寫一個即可）。12拋物線的頂點為C，已知直線過點C，則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 。13. 二次函數(shù)的圖象是由的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到的,則b= ,c= 。14如圖，一橋拱呈拋物線狀，橋的最大高度是16米，跨度是40米，在線段AB上離中心M處5米的地方，橋的高度是 (取3.14).三、解答題：第15題圖15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是,圖象經(jīng)過(1,-6),且與軸的交點為(0,).(1)求這

13、個二次函數(shù)的解析式;(2)當(dāng)x為何值時,這個函數(shù)的函數(shù)值為0?(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時,這個函數(shù)的函數(shù)值隨x的增大而增大?16.某種爆竹點燃后，其上升高度h（米）和時間t（秒）符合關(guān)系式 （0t2），其中重力加速度g以10米/秒2計算這種爆竹點燃后以v0=20米/秒的初速度上升，（1）這種爆竹在地面上點燃后，經(jīng)過多少時間離地15米？（2）在爆竹點燃后的1.5秒至1.8秒這段時間內(nèi)，判斷爆竹是上升，或是下降，并說明理由. 17.如圖，拋物線經(jīng)過直線與坐標(biāo)軸的兩個交點A、B，此拋物線與軸的另一個交點為C，拋物線頂點為D.（1）求此拋物線的解析式；（2）點P為拋物線上的一個動點，求使：5 ：4的

14、點P的坐標(biāo)。18. 紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料（這里的代銷是指廠家先免費提供貨源，待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算，未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理）當(dāng)每噸售價為260元時，月銷售量為45噸該建材店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價的方式進(jìn)行促銷經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每噸售價每下降10元時，月銷售量就會增加7.5噸綜合考慮各種因素，每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費用100元設(shè)每噸材料售價為x（元），該經(jīng)銷店的月利潤為y（元）（1）當(dāng)每噸售價是240元時，計算此時的月銷售量；（2）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出x的取值范圍）；（3）該建材店要獲得最大月利潤，售價應(yīng)定為每噸多少元？（4）小靜說：“當(dāng)月利潤最大

15、時，月銷售額也最大”你認(rèn)為對嗎？請說明理由練習(xí)試題答案一，選擇題、1A 2C 3A 4B 5D 6B 7C 8C 二、填空題、 9 10-3 11如等（答案不唯一） 121 13-8 7 1415三、解答題15(1)設(shè)拋物線的解析式為,由題意可得解得 所以(2)或-5 (2)16（1）由已知得，解得當(dāng)時不合題意，舍去。所以當(dāng)爆竹點燃后1秒離地15米（2）由題意得，可知頂點的橫坐標(biāo)，又拋物線開口向下，所以在爆竹點燃后的1.5秒至108秒這段時間內(nèi)，爆竹在上升17（1）直線與坐標(biāo)軸的交點A（3，0），B（0，3）則解得所以此拋物線解析式為（2）拋物線的頂點D（1，4），與軸的另一個交點C（1，0）.設(shè)P，則.化簡得當(dāng)0時，得 P（4，5）或P（2，5）當(dāng)0時，即，此方程無解綜上所述，滿足條件的點的坐標(biāo)為（4，5）或（2，5