上海九年級(jí)數(shù)學(xué)-圓復(fù)習(xí)課(一)

1、圓復(fù)習(xí)課（一）【教學(xué)目標(biāo)】1、詳細(xì)復(fù)習(xí)圓的基本性質(zhì)、垂徑定理和直線與圓的位置關(guān)系；2、熟練掌握相關(guān)方法，能做到快速解題；【教學(xué)內(nèi)容】一、圓的有關(guān)概念（1）圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合，經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，直徑是圓中最大的弦。（2）圓既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形。（3）圓心相等、半徑不同的兩個(gè)圓是同心圓，半徑相同、圓心不同的兩個(gè)圓是等圓。（4）一個(gè)圓的半徑長(zhǎng)為，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則點(diǎn)P在圓外，；點(diǎn)P在圓上，；點(diǎn)P在圓內(nèi)，。（5）圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。（6）圓內(nèi)接三角形與三角形的外接圓：三角形外接圓圓心是三邊中垂線的交點(diǎn)。例題分析例1：P

2、是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，到圓上的最大距離是8，最小距離是2，求該圓的半徑。例2：判斷正誤：（1）經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，以定長(zhǎng)為半徑只能作一個(gè)圓；（2）經(jīng)過兩個(gè)定點(diǎn)，以定長(zhǎng)為半徑只能作一個(gè)圓；（3）經(jīng)過三個(gè)定點(diǎn)，只能作一個(gè)圓；（4）經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)，只能作一個(gè)圓。（5）任何一個(gè)三角形有且僅有一個(gè)外接圓；（6）任何一個(gè)四邊形都有一個(gè)外接圓；（7）等腰三角形的外心一定在它的內(nèi)部；（8）一個(gè)圓的內(nèi)接三角形且只有一個(gè)，三角形只有一個(gè)外接圓；（9）等腰三角形的外接圓的圓心必在其頂角的平分線上；（10）圓內(nèi)接梯形是等腰三角形，圓內(nèi)接平行四邊形是菱形，圓內(nèi)接菱形是正方形；例3：已知一個(gè)圓形紙片被撕破了，只剩下一部分，請(qǐng)你

3、用尺規(guī)把這個(gè)圓補(bǔ)完整。例4：已知ABC，AC=3，BC=4，C=90，以點(diǎn)C為圓心作C，半徑為r。（1）當(dāng)r取什么值時(shí)，點(diǎn)A、B在C外。（2）當(dāng)r在什么范圍時(shí)，點(diǎn)A在C內(nèi)，點(diǎn)B在C外。ACB鞏固練習(xí)1、在ABC中，如果O是ABC的外心，且A=73，那么BOC=_。2、銳角三角形外心的位置在_；直角三角形外心的位置在_；鈍角三角形外心的位置在_。3、直角三角形兩條直角邊分別為8cm、15cm，則其外接圓半徑長(zhǎng)為_。4、經(jīng)過不共線三點(diǎn)A、B、C的圓的圓心是_，半徑是_；可以畫_個(gè)圓。5、經(jīng)過M、N兩點(diǎn)的圓的圓心在 ，這樣的圓有 個(gè)。6、圓的半徑為R，則其內(nèi)接直角三角形斜邊長(zhǎng)為 ，內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)為

4、，內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)為 。7、已知O的半徑為4cm，A為線段OP的中點(diǎn)，當(dāng)OP=7cm時(shí)，點(diǎn)A與O的位置關(guān)系是 。8、直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為a、b，則直角三角形的外接圓半徑是_。9、已知O的半徑為5，點(diǎn)O到弦AB的距離為3，則O上到弦AB所在直線的距離為2的點(diǎn)有 個(gè)。10、 到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡是_11、到直線l的距離等于2cm的點(diǎn)的軌跡是_12、O的半徑r = 10 cm，圓心到直線l的距離OM = 8 cm，在直線l上有一點(diǎn)N，且MN = 6 cm。則點(diǎn)N與圓O 的位置關(guān)系是 。 二、圓心角、弧、弦、弦心距（1）圓上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，聯(lián)結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做

5、弦，過圓心的弦就是直徑。以圓心為頂點(diǎn)的角叫做圓心角。（2）圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)將圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧。圓心到弦的距離叫做弦心距。能夠重合的兩條弧稱為等??；半徑長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓一定能夠重合，把半徑長(zhǎng)相等的兩個(gè)圓稱為等圓。（3）定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條劣弧（或優(yōu)?。?、兩條弦、兩條弦的弦心距得到的四組量中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余三組量也分別相等。（4）圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)應(yīng)弧的度數(shù)。例題分析例1：（1）如果兩個(gè)圓心角相等，那么（

6、 ）A這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦相等； B這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弧相等C這兩個(gè)圓心角所對(duì)的弦的弦心距相等； D以上說法都不對(duì)（2）在同圓中，圓心角AOB=2COD，則兩條弧AB與CD關(guān)系是（ ）A=2 B C2 D不能確定（3）O中，如果=2，那么（ ）AAB=AC BAB=AC CAB2AC例2：如圖，D、E分別是O 的半徑OA、OB上的點(diǎn)，CDOA，CEOB，CD=CE，則AC與BC弧長(zhǎng)的大小關(guān)系是 。例3：AOB=90，C、D是AB三等分點(diǎn)，AB分別交OC、OD于點(diǎn)E、F，求證：AE=BF=CD。鞏固練習(xí)1、在中，以BC為直徑的圓O與AB、AC分別相交于點(diǎn)D、E，試判斷的形狀。2、在圓O中，OA、

7、OB是兩條互相垂直的半徑，M是弦AB的中點(diǎn)，過M作MC平行于OA且交于C，求的度數(shù)。3、已知點(diǎn)是O上的點(diǎn)，、分別是劣弧的三等分點(diǎn)，則AED的度數(shù)為_4、請(qǐng)用尺規(guī)作圖：四等分弧AB（保留痕跡，不寫作法）。5、如圖O是是等腰三角形ABC的外接圓,AB=AC,D是弧AC的中點(diǎn)，已知EAD=114O，求CAD在度數(shù)。6、如圖，已知AB是O的直徑， ，BOC=400，那么AOE = 。7、如圖，O是ABC的外接圓，已知B=60，則CAO的度數(shù)是 。8、O的半徑為1，AB是O 的一條弦，且AB=，則弦AB所對(duì)圓心角的度數(shù)為 。三、垂徑定理以及它的推論（1）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)

8、的弧。推論： （2）在同圓或等圓中，如果圓心角、弧、弦、弦心距四組兩種有一組量相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其余的量也相等。例題分析例1：判斷：（1）垂直于弦的直線必平分這條弦。（2）平分弦的直徑必垂直于這條弦。（3）一個(gè)圓的圓心必在一條弦的垂直平分線上。（4）如果圓的兩條弦互相平行，那么這兩條弦所夾的弧相等。（5）（6）如圖，如果AE=BF，那么。（7）圓O與圓是等圓，則AB=CD。例2：計(jì)算。（1）如圖，已知圓O中，求圓的直徑長(zhǎng)和弦BC的長(zhǎng)。（2）已知AB、CD是O中互相垂直的弦，并且AB把CD分成3cm和7cm的兩部分，則兩條弦和圓心的距離分別為 cm。（3）已知O的半徑為10cm，弦MNEF，且

9、MN=12cm，EF=16cm，則弦MN和EF之間的距離為 。（4）已知O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為 。（5）在半徑為25cm的O中，弦AB=40cm，則此弦和弦所對(duì)的弧的中點(diǎn)的距離是 。例3：應(yīng)用。1、在1300多年前，我國(guó)隋朝建造了趙州石拱橋，它的橋拱是圓弧形，跨度AB（即弧所對(duì)的弦長(zhǎng)）為37.4m，拱高CD（即弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.2m，求橋拱所在圓的半徑。例4：綜合應(yīng)用1、在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)C在半圓周上，其他兩邊分別為6和8?，F(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi)接于三角形ABC的矩形水池DEFN其中，DE在AB上，如圖所

10、示的設(shè)計(jì)方案是使AC=8，BC=6。（1）求ABC中AB邊上的高h(yuǎn)；（2）設(shè)DN=x，當(dāng)x取何值時(shí)，水池DEFN的面積最大？（3）實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)AB上距B點(diǎn)1.85的M處有一棵大樹，問：這棵大樹是否位于最大矩形水池的邊上？如果在，為保護(hù)大樹，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開大樹。2、如圖，直角梯形ABCD中，A=B=90，AB = 7，BCAD = 1。以CD為直徑的圓與AB有兩個(gè)不同的交點(diǎn)E，F(xiàn)，且AE = 1。問線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似？若不存在，說明理由；若存在，這樣的P點(diǎn)有幾個(gè)？并求A

11、P的長(zhǎng)。鞏固練習(xí)1、過O內(nèi)一點(diǎn)M的最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為4 cm，最短的弦長(zhǎng)為2 cm，則OM的長(zhǎng)等于 。2、如圖所示，AB是O的直徑，弦CDAB于點(diǎn)P，CD=10cm，AP：PB=1：5，那么O的半徑等于 。3、如果O中弦AB與直徑CD垂直，垂足為E，AE=4，CE=2，那么O的半徑等于 。4、如圖所示，同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)，且AC=CD，AB的弦心距等于CD的一半。則這兩個(gè)同心圓的大小圓的半徑之比 。5、如圖，用一塊直徑為的圓桌布平鋪在對(duì)角線長(zhǎng)為的正方形桌面上，若四周下垂的最大長(zhǎng)度相等，則桌布下垂的最大長(zhǎng)度為 。 第2題圖 第3題圖 第4題圖 第5題圖6、如圖，已知為圓的弦（非直

12、徑），為的中點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交圓于點(diǎn)，且交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，求圓的半徑。ABCDOE7、某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下面是水平放置的破裂管道有水部分的截面。若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬，水面最深地方的高度為4cm，求這個(gè)圓形截面的半徑。BA8、已知圓O的半徑為10，弦AB=16，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OP的取值范圍是 。9、是的直徑，弦于點(diǎn)，連結(jié)，若，則=10、如圖，弦CD垂直于O的直徑AB，垂足為H，且CD，BD，則AB的長(zhǎng)為。四、直線和圓的位置關(guān)系（1）相離、相切、相交：當(dāng)直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相離；當(dāng)直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，

13、叫做直線與圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。當(dāng)直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線與圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線。（2）如果圓O的半徑長(zhǎng)為R，圓心O到直線L的距離為d，那么直線L與圓O相交，；直線L與圓O相切，d=R；直線L與圓O相交，；（3）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；例題分析例1：在中，以A為圓心，當(dāng)半徑為多長(zhǎng)時(shí)，圓A與BC相切？相交？相離？例2：（1）矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，AE=AD，以點(diǎn)E為圓心，EC長(zhǎng)為半徑作圓E，圓E與AE交于點(diǎn)F，連接DF。求證：DF是圓E的切線。（2）在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC為直徑作圓O

14、，與BC交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)D。求證：DE為圓O的切線； 例3：等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為厘米，圓O的半徑為r厘米，圓心O從點(diǎn)A出發(fā)，沿著線路AB、BC、CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A。圓O隨著點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng)。若r為3厘米，求圓O首次與BC邊相切時(shí)，AO的長(zhǎng)。鞏固練習(xí)1、在中，若OA=OB=2，圓O半徑為1，當(dāng) 時(shí)，直線AB與圓O相切；當(dāng)滿足 時(shí)，直線AB與圓O相交；當(dāng)滿足時(shí)，直線AB與圓O相離。 2、OA平分，P是OA上任一點(diǎn)（O點(diǎn)除外），如要以P為圓心的圓與OC相離，那么圓P與OB的位置關(guān)系是 。 3、在中，點(diǎn)O為AB上的一點(diǎn)，O的半徑r為，當(dāng)m取 時(shí)，BC與O相離，當(dāng)m取 時(shí)，BC與O相切；

15、當(dāng)m取 時(shí)，直線BC與O相交。4、已知，點(diǎn)D是AC邊上的一點(diǎn)，AD=5，則以點(diǎn)D為圓心，且與射線AB相交兩點(diǎn)的圓半徑R的取值范圍 。 5、在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，半徑是5的圓P與直線y=x的位置關(guān)系是 。6、在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑作圓，下列直線與圓O有交點(diǎn)的是（ ）。A、；B、；C、；D、； 7、平面直角坐標(biāo)系中，圓M的圓心坐標(biāo)為，半徑是2，如果圓M與y軸所在直線相切，則m= ，如果圓M與y軸所在直線相交，則m的取值范圍是 。8、菱形對(duì)角線交于O點(diǎn)，以O(shè)圓心，O到菱形一邊的距離為半徑的圓O與菱形各邊的位置關(guān)系是 。9、在中，如果圓C與斜邊AB有公共點(diǎn)，則圓C的

16、半徑r的取值范圍是 。 10、過正方形ABCD頂點(diǎn)A作一條直線，分別交BD、CD、BC的延長(zhǎng)線于E、F、G。求證：（1）；（2）CE與的外接圓O相切；11、在中，若以A為圓心，2cm為半徑的圓與BC相切，求。 12、如圖，AB為O的直徑，弦CDAB于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作BECD，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)BC。（1）求證：BE為O的切線；（2）如果CD=6，tanBCD=，求O的直徑。課后作業(yè)：1、某地有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度為7.2米，拱頂高出水面2.4米，現(xiàn)有一艘寬為3米，船艙頂端為方形并高出水面2米的貨船要經(jīng)過這里，問此貨船能否順利通過這座拱橋？為什么？2、P是半徑為2cm的O內(nèi)的一點(diǎn)，OP=1cm，那么過P點(diǎn)的弦與圓弧組成弓形，其中面積最小的弓形面積為 cm2。3、已知一條弧的長(zhǎng)是3cm，弧的半徑是6cm，則這條弧所對(duì)的圓心角是 度。4、已知AB是半圓O的直徑，弦AD和BC相交于點(diǎn)P，那么等于 。5、如圖，O是的外接圓