第9章《振動》習題解答

1、精選文庫第9章振動習題解答9.2.1 一剛體可繞水平軸擺動.已知剛體質量為m，其重心C和軸O間的距離為h，剛體對轉動軸線的轉動慣量為I.問剛體圍繞平衡位置的微小擺動是否是簡諧運動？如果是，求固有頻率，不計一切阻力.【解】剛體受力如圖所示，規(guī)定逆時針為轉動正方向，為與鉛垂線（為平衡位置）的夾角，由對的轉動定理；因很小故9.2.2 輕彈簧與物體的連接如圖所示，物體質量為m，輕彈簧的勁度系數(shù)為和，支承面是理想光滑面，求系統(tǒng)振動的固有頻率.【解】以物體m為隔離體,水平方向受的彈性力以平衡位置為原點建立坐標系，水平向右為x軸正方向。設m處于點對兩彈簧的伸長量為0，即兩個彈簧都處于原長狀態(tài)。m發(fā)生一小位移

2、x之后，彈簧的伸長量為x，彈簧被壓縮長也為x。故物體受力為： （線性恢復力）m相當于受到剛度系數(shù)為的單一彈簧的作用由牛頓第二定律：9.2.3 一垂直懸掛的彈簧振子，振子質量為m，彈簧的勁度系數(shù)為.若在振子和彈簧之間串聯(lián)另一彈簧，使系統(tǒng)的頻率減少一半.串聯(lián)上的彈簧的勁度系數(shù)應是的多少倍？【解】未串時：平衡位置 串聯(lián)另一剛度系數(shù)為的彈簧：此時彈簧組的勁度系數(shù)為已知：解得：9.2.4 單擺周期的研究.（1）單擺懸掛于以加速度a沿水平方向直線行駛的車廂內.（2）單擺懸掛于以加速度a上升的電梯內.（3）單擺懸掛于以加速度a(g)下降的電梯內.求此三種情況下單擺的周期.擺長為.【解】（1）以車為參照系，擺

3、錘為隔離體，受重力，擺線張力，慣性力。平衡位置處有：由此可得平衡位置時擺線鉛直夾角 (1)由平衡位置發(fā)生小角位移由牛頓第二定律:在切線方向的分量式即 角很小,故.于是得:利用(1)式,則 即 因為 所以 (2)以電梯為參照系,慣性力與重力沿鉛垂方向,同于的分析擺線為鉛垂位置時為平衡態(tài).(3) 同(2)的分析得:9.2.5 在通常溫度下，固體內原子振動的頻率數(shù)量級為.設想各原子之間彼此以彈簧連結.一摩爾銀的質量為108g且包含個原子.現(xiàn)僅考慮一列原子，且假設只有一個原子以上述頻率振動，其它原子皆處于靜止，計算一根彈簧的勁度系數(shù).【解】由9.2.2知這里 9.2.6 一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為，

4、物體質量為20g現(xiàn)將彈簧自平衡位置拉長并給物體一遠離平衡位置的速度，其大小為7.0m/s，求該振子的運動學方程(SI).【解】以平衡位置為原點建立坐標系O-x,水平向右為正方向。彈簧振子的運動方程為:故時，時，彈簧振子的運動方程：9.2.7 質量為的物體懸掛在勁度系數(shù)為的彈簧下面.（1）求其振動的周期.（2）在時，物體距平衡位置的位移為，速度為，求其運動學方程.【解】以平衡位置為原點，建立坐標系O-x，豎直向下為正方向。（1）（2）設運動方程為：即 故 所以運動學方程為：9.2.8 （1）一簡諧振動的運動規(guī)律為，若計時起點提前0.5s，其運動學方程如何表示？欲使其初相為零，計時起點應提前或推遲

5、若干？ （2）一簡諧振動的運動學方程為.若計時起點推遲1s，它的初相是多少？欲使其初相為零，應怎樣調整計時起點？ （3）畫出上面兩種簡諧振動在計時起點改變前后時旋轉矢量的位置.【解】（1） （1）計時起點提前0.5，則，代入（1）式，運動方程為： 設計時起點提前秒，可使初相為零，即，代入（1）式得：有 ，即提前秒時計時可使其初相為零。（2） （2） 計時起點提前秒時代入 若計時起點推遲一秒，則，此時初相為若要 ，需，即推遲秒計時時，可使初相為零。（3） 見圖a,b (a) (b)9.2.9 畫出某簡諧振動的位移時間曲線，其運動規(guī)律為 （SI制）【解】（制）令 則有為周期引的余弦曲線。畫出 曲線

6、，再根據(jù)的關系。將軸右移周期。9.2.10 半徑為R的薄圓環(huán)靜止于刀口O上，令其在自身平面內作微小擺動.（1）求其振動的周期.（2）求與其振動周期相等的單擺的長度.（3）將圓環(huán)去掉而刀口支于剩余圓弧的中央，求其周期與整圓環(huán)擺動周期之比.【解】（1）該裝置為物理擺，利用9.2.1對一般剛體得到的公式為薄圓球質量。 根據(jù)平行軸定理：（2）根據(jù)單擺公式由 可得 （3）該裝置為物理擺，仍利用公式由對稱性可知，質心位于上。為剩余圓弧的質量，。根據(jù)平衡軸定理。故 即可知不管圓環(huán)去掉多少，只要刀口高于剩余圓弧中央，其振動周期均不變。9.2.11 1m長的桿繞過其一端的水平軸作微小擺動而成為物理擺.另一線度極

7、小的物體與桿的質量相等.固定于桿上離轉軸為h的地方.用表示未加小物體時桿子的周期，用表示加上小物體以后的周期.（1）求當和時的比值.（2）是否存在某一h值，可令，若有可能，求出h值并解釋為什么h取此值時周期不變.【解】（1）利用9.2.1得到的物理擺公式設為桿質量，為桿長，未加小物體時，加小物體后，（2）由，即可得：討論：由，此物理擺的等效單擺長度為。在處加另一物體，相當于使等效單擺的擺錘質量增加而擺長不變，故周期不變。，即小物體置于轉動軸上，對運動無影響。故周期不變。9.2.12 天花板下以0.9m長的輕線懸掛一個質量為0.9kg的小球.最初小球靜止，后另有一質量為0.1kg的小球沿水平方向

8、以1.0m/s的速度與它發(fā)生完全非彈性碰撞。求兩小球碰撞后的運動學方程.【解】以小球為物體系。碰撞前后的過程始末，在過程中認為仍在原小球靜止處。水平方向動量守恒： 碰撞后成為一個單擺作簡諧運動，設其運動方程為 以碰后小球獲得速度0.1(m/s)，而時為計時起點，即由，故運動方程在很小的條件下，所以用線量描述的運動方程為。9.2.13 求第四章習題4.6.5題中鉛塊落入框架后的運動學方程.【解】以物體為隔離體，根據(jù)自由落體的運動規(guī)律可知：落至盤上的速度為在以框架，物體為物體系。完全非彈性碰撞前后為過程始末，因外力（彈簧彈性力，重力）內力，故可用動量守恒定律求近似解：設彈簧自由伸展的位置為a，掛框

9、架后平衡位置為b,碰后平衡位置為O，O即為坐標系O-x之原點.依題意因碰撞后系統(tǒng)為一數(shù)值懸掛的彈簧振子，舍棄運動方程為以碰撞之后，的共同速度運動，而處于b處時為計時起點，即：由運動方程為：可選擇適當?shù)挠嫊r起點使初項為零，則運動方程可表示為9.2.14 第四章習題4.6.5題中的框架若與一個由框架下方沿鉛垂方向飛來的小球發(fā)生完全彈性碰撞，碰后框架的運動學方程是怎樣的？已知小球20g，碰框架前的速度為10m/s.【解】以框架，小球為物體系。以框架平衡位置為原點建立坐標系O-x，豎直向下為正方向：以完全彈性碰撞前后為過程始末，設小球的碰撞前速度為，小球框架碰后速度為，因外力內力，故可用動量守恒定律近

10、似求解。又因碰撞為完全彈性碰撞，碰撞前后總動能相等?？梢郧蟮茫涸谝豢蚣転楦綦x體。碰撞之后平衡位置不變，仍未O點。系統(tǒng)為一豎直懸掛的彈簧振子，設其運動方程為：以碰撞后，框架獲得速度，而處于O點時為計時起點，即：根據(jù)題意，彈簧剛性系數(shù)故由知所以運動方程為9.2.15 質量為m的物體自傾角為的光滑斜面頂點處由靜止而滑下，滑行了遠后與一質量為的物體發(fā)生完全非彈性碰撞.與勁度系數(shù)為k的彈簧相連.碰撞前靜止于斜面上，如圖所示.問兩物體碰撞后作何種運動，并解出其運動方程.已知.【解】a為彈簧自由伸展位置,b為加后平衡位置，O為發(fā)生完全非彈性碰撞后的平衡位置，以O為原點建立坐標系O-x如圖：故以物體m為隔離體

11、，物體m由斜面頂滑下，做勻加速運動滑行遠后速度為再以為物體系。以完全非彈性碰撞前后為過程始末，且近似認為碰撞過程中位置不變。當發(fā)生完全非彈性碰撞之后，沿ox方向的動力學方程為受線性恢復力，做簡諧運動。根據(jù)定義的運動方程為若以碰撞后彈簧壓縮最甚時為計時起點，設此時坐標為則現(xiàn)在求。以彈簧自由伸長位置a為重力勢能、彈性勢能零點。在由碰撞后到達壓縮最甚的過程中機械能守恒，有代數(shù)，運動方程9.3.1 1851年佛科做證明地球自轉的實驗，擺長69m，下懸重球28kg.設其振幅為，求其周期和振動的總能量，重球最低處勢能為零.【解】根據(jù)單擺周期公式以懸線鉛直時為勢能零點，則振動的總能量即等于擺錘在最高點時的勢

12、能9.3.2 彈簧下面懸掛質量為50g的物體，物體沿豎直方向的運動學方程為，平衡位置為勢能零點（單位時間：s，長度單位：cm）. （1）求彈簧的勁度系數(shù)，（2）求最大動能，（3）總能量. 【解】（1）根據(jù)彈簧振子（2）由則速度最大值故最大動能（3）總能即等于最大動能或9.3.3 若單擺的振幅為，試證明懸線所受最大拉力等于.【解】設擺錘質量為m,擺長為，為最大擺角。以擺錘為隔離體。受重力，張力單擺的運動方程為當擺角為時，沿法向方向的動力學方程為 單擺很小，故則 而 故 又 又由 機械能守恒 故 9.4.1 在電子示波器中，由于互相垂直的電場的作用，使電子在熒光屏上的位移為 求出時的軌跡方程并畫圖表示.【解】由 當 當 由垂直與水平方向簡諧振動合成公式得令 （坐標軸轉動，的關系式）則上式可得：是一個長半軸為，短半軸為的橢圓。 當 時，則是一個半徑為的圓。9.6.1 某阻尼振動的振幅經(jīng)過一周期后減為原來的，問振動頻率比振動系統(tǒng)的固有頻率少幾分之幾？（弱阻