14.2空間直線與直線的位置關(guān)系

1、,14.2空間直線與直線的位置關(guān)系,復習引入：,1、同一平面內(nèi)不重合兩條直線有幾種位置關(guān)系？,2、在同一平面內(nèi)，同平行于一條直線的兩條直線有什么位置關(guān)系？,(1)、相交：有且僅有一個公共點。,(2)、平行：在同一平面內(nèi)沒有公共點。,互相平行,提出問題：空間中的如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線之間的位置關(guān)系呢？,復習,公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。,公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。,公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。,ab cb,ac,符號表示：設(shè)空間中的三條直線分別為a, b, c,若,想一想:空間中,如果兩條直線都與第三條直線垂直

2、,是否也有類似的規(guī)律?,例題講解,例1：如圖，已知p是正方體abcd-a1b1c1d1 的面abcd上一點，經(jīng)過點p作棱ab的平行 線，應該怎樣作，并說明理由。,例題講解,例2：如圖，在長方體abcd-a1b1c1d1中 已知e,f分別是b1c1,ad的中點，求證： a1f/ec。,例3： 在空間四邊形abcd中，e，f，g，h分別是ab，bc，cd，da的中點。 求證：四邊形efgh是平行四邊形。,例題講解,e,h,f,g,分析： 在例題2的基礎(chǔ)上我們只需要證明平行四邊形的兩條鄰邊相等。,菱形,變式練習,在例3中，如果再加上條件ac=bd， 那么四邊形efgh是什么圖形?,空間四面體a-bc

3、d中,e,h分別是ab,ad的中點,f,g分別是cb,cd上的點,且 ， 求證:四邊形abcd為梯形.,a,b,c,d,e,h,f,g,分析：需要證明四邊形abcd有 一組對邊平行，但不相等。,變式練習,提出問題:在平面上,我們?nèi)菀鬃C明“如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補”。在空間中,結(jié)論是否仍然成立呢?,觀察思考：如圖,adc與adc、adc與bad的兩邊分別對應平行，這兩組角的大小關(guān)系如何？,復習,2.等角定理,定理1：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。,新課講授,定理：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補

4、。,定理的推論:如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩條直線所成的銳角(或直角)相等.,新課講授,3.空間中兩條直線的位置關(guān)系,觀察：,觀察教室內(nèi)的日光燈管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在的直線,想一想:它們相交嗎?平行嗎?共面嗎?,觀察長方體的棱所在 直線,回答類似的問題.,思考：我們把具有上述特征的兩條直線取個怎樣的名字才好呢？,要用數(shù)學的眼光看世界,異面直線的定義：,不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線,為了表示異面直線a，b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托。如下圖:,1、相交,2、平行,只有一個公共點,沒有公共點,在同一平面,空間中兩直線的三種位置關(guān)系,3、

5、異面,沒有公共點,不同在任一平面,按平面基本性質(zhì)分,共面,相交直線,平行直線,不共面,異面直線,有一個公共點:,按公共點個數(shù)分,相交直線,無 公 共 點,平行直線,異面直線,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,發(fā)揮你的想象力:,練習1 ：下列說法是否正確 （1） ,則 與 是異面直線 （2） 不同在平面 內(nèi)，則 與 是異面直線,a與b是相交直線,a與b是平行直線,a與b是異面直線,答：不一定：它們可能異面，可能相交，也可能平行。,不同在平面 內(nèi),答：不一定：它們可能異面，可能相交，也可能平行。,異面直線的定義:,我們把不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線（skewlines）。,想一想:怎樣

6、通過圖形來表示異面直線?,為了表示異面直線a，b不共面的特點，作圖時，通常用一個或兩個平面襯托。如下圖:,想一想,做一做：,1.已知m、n分別是長方體的棱c1d1與cc1上的點，那么mn與ab所在的直線是異面直線嗎？,例題：,2.已知：直線l與平面a相交于點a，直線m 在平面a上，且不經(jīng)過點a，求證：直線l與 m是異面直線。,注：常用反證法證明兩條直線是異面直線。,空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種,沒有,只有一個,沒有,共面,不共面,共面,空間中兩條直線的位置關(guān)系,練習提升,“a，b是異面直線”是指ab=,且a不平行于b；a 平面 ，b 平面 且ab= a 平面 ，b 平面 不存在平面 ，能

7、使a 且b 成立,1、,上述結(jié)論中，正確的是 （） （a） （b） （c） （d） 2、長方體的一條體對角線與長方體的棱所組成的異面直線有（） （a）2對 （b）3對 （c）6對 （d）12對,c,c,3、兩條直線a,b分別和異面直線c,d都相交，則直線a，b的位置關(guān)系是（） （a）一定是異面直線（b）一定是相交直線 （c）可能是平行直線 （d）可能是異面直線，也可能是相交直線 4、一條直線和兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條的位置關(guān)系是( ) （a）平行（b）相交（c）異面（d）相交或異面,d,d,4.異面直線所成的角,如圖，已知兩條異面直線a，b，,怎樣求兩條異面直線所成的角呢？,解決

8、設(shè)想,o,概念形成,異面直線所成角的定義: 如圖,已知兩條異面直線 a , b , 經(jīng)過空間任一點o作 直線 aa , b b 則把 a 與 b 所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角,o,思想方法 : 平移轉(zhuǎn)化成相交直線所成的角,即化空間圖形問題為平面圖形問題,思考 : 這個角的大小與o點的位置有關(guān)嗎 ? 即o點位置不同時, 這一角的大小是否改變?,答 : 這個角的大小與o點的位置無關(guān).,理論支持:定理,1,結(jié)論:,兩異面直線所成角的范圍為：,空間兩直線所成角的范圍：,當異面直線 和 所成角為直角時， 記為,角的大小由異面直線的相對位置決定，與點 的選取無關(guān),例 1.如圖,在正方體

9、中,棱長為1,求下列異面直線所成角的大小,(1) 與,(2) 與,(3) 與,4.異面直線所成的角,如圖，已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點o作直線aa，bb，我們把a與b所成的銳角（或直角）叫做異面直線a，b所成的角（或夾角）。,為了簡便，點o通常取在兩條異面直線中的一條上，例如，取在直線b上，然后經(jīng)過點o作直線aa，a和b所成的銳角（或直角）就是異面直線a與b所成的角。,想一想:a與b所成角的大小與點o的位置有關(guān)嗎?,4.異面直線所成的角,如果兩條異面直線所成的角為直角，就說兩條直線互相垂直，記作ab。,5.異面直線的判定定理,異面直線定理：連結(jié)平面內(nèi)一點與平面外一點的直線，和這個平面

10、內(nèi)不經(jīng)過此點的直線是異面直線,與 是異面直線,求異面直線所成角的步驟 一找(作)：作（或找）平行線 二證：證明所作的角為所求的 異面直線所成的角。 三求：在一恰當?shù)娜切沃星蟪鼋?例2：如圖所示，空間四邊形 中對角線 ， 分別為 中點， ，問： 與 是異面直線嗎？若是，求它們所成的角。,例題示范,例2、如圖，已知正方體abcdabcd中。 （1）哪些棱所在直線與直線ba是異面直線？ （2）直線ba和cc的夾角是多少？ （3）哪些棱所在的直線與直線aa垂直？,解：（1）由異面直線的判定方法可知，與直線,成異面直線的有直線,，,例題示范,例2、如圖，已知正方體abcdabcd中。 （1）哪些棱所在

11、直線與直線ba是異面直線？ （2）直線ba和cc的夾角是多少？ （3）哪些棱所在的直線與直線aa垂直？,解：（2）由 可知， 等于異面直線 與 的夾角,所以異面直線 與 的夾角為450 。,(3) 直線,與直線 都垂直.,練一練,鞏固新知：p48頁練習1,2題。,例3:如圖， 是平面 外的一點 分別是 的重心， 求證： 。,證明：連結(jié) 分別交 于 ,連結(jié) , g,h分別是abc,acd的重心,m,n分別是bc,cd的中點, mn/bd, 又 gh/mn,由公理4知gh/bd.,練習反饋：,1. 判斷: （1）平行于同一直線的兩條直線平行.（ ） （2）垂直于同一直線的兩條直線平行.（ ） （3

12、）過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行.（ ） （4）與已知直線平行且距離等于定長的直線只有兩條.（ ） （5）若一個角的兩邊分別與另一個角的兩邊平行，那么這兩個角相等（ ） （6）若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等.（）,練習反饋：,2選擇題 （1）“a，b是異面直線”是指ab=,且a不平行于b；a 平面a，b平面b且ab= a平面a，b平面a不存在平面a，能使aa且ba成立 上述結(jié)論中，正確的是（） （a） （b） （c） （d）,（2）長方體的一條對角線與長方體的棱所組成的異面直線有（） （a）2對 （b）3對（c）6對（d）12對,c

13、,c,（3）兩條直線a,b分別和異面直線c,d都相交，則直線a，b的位置關(guān)系是（） （a）一定是異面直線（b）一定是相交直線 （c）可能是平行直線 （d）可能是異面直線，也可能是相交直線 （4）一條直線和兩條異面直線中的一條平行,則它和另一條的位置關(guān)系是( ) （a）平行（b）相交 （c）異面（d）相交或異面,3兩條直線互相垂直，它們一定相交嗎？,答：不一定，還可能異面,d,d,4.垂直于同一直線的兩條直線,有幾種位置關(guān)系？,答：三種：相交，平行，異面,5畫兩個相交平面，在這兩個平面內(nèi)各畫一條直線使它們成為（1）平行直線；（2）相交直線；（3）異面直線,6選擇題 （1）分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線間的位置關(guān)系是（ ） （a）異面（b）平行 （c）相交（d）以上都有可能 （2）異面直線a,b滿足aa,bb,ab=l, 則l與a,b的位置關(guān)系一定是（ ）,(a)l至多與a，b中的一條相交; (b)l至少與a，b中的一條相交; (c)l與a,b都相交; (d)l至少與a，b中的一條平行.,d,b,（3）兩異面直線所成的角的范圍是（ ） （a）（0,90） （b）0,90) （c）（0,90（d）0,90,7判斷下列命題的真假，真的打“”，假的打“” （1）兩條直線和第三條直線