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1、第七章 正則方程 力學體系的哈密頓形式 (vs. 拉式形式 理論框架),40.哈密頓方程,回顧拉氏量描述的理論形式 需要廣義坐標、廣義速度相應(yīng)方程是2階微分 now: 直接使用廣義坐標、廣義動量作為獨立的變量 來表達運動方程:一階! (數(shù)學上,任意高階的方程通過引入中間變量總可以變?yōu)?一階,代價是獨立變量增多,但是更統(tǒng)一!) 哈密度形式正是這樣的思路 now: 具體如何實現(xiàn)(實現(xiàn)方式自然不唯一,我們需要一種統(tǒng)一的方式.),重要性質(zhì):,原則上,從廣義動量定義出,可以反求出 代入上面!,注意:這三者是一代數(shù)關(guān)系(不保護額外微分關(guān)系), 故它們之間的關(guān)系在運動過程中不變,也與初始條件無關(guān)!,用新變量

2、表示,正則方程,運動方程!,對比,既可得上面結(jié)果!,性質(zhì)2,拉氏量時間平移不變,h守恒,性質(zhì)or現(xiàn)在運動方程的表示,完全用羅斯函數(shù)表達的運動方程 (剩余那一個),體系的能量,羅斯函數(shù)的作用: 存在循環(huán)坐標時(即某些廣義坐標相應(yīng)的廣義動量是常數(shù)!),如果q是循環(huán)坐標,l不顯含q, 羅斯函數(shù)也不顯含q, r只是 的函數(shù).,此時,關(guān)于 的運動方程表達為,其中p為固定常數(shù),和體系的初始狀態(tài)有關(guān),該方程與q無關(guān)! 退耦。另外一個可以直接求!,42. 泊松括號,已知函數(shù),其中已定義,有,代入哈密頓方程,上面括號稱為 泊松括號。,運動積分條件,不顯含時間時,即要求,算符,對易,。,泊松括號的重要性質(zhì),任意兩

3、個函數(shù)之間的泊松括號,特殊情況,如果f, g之一是廣義坐標或廣義動量,則,雅克比恒等式,證明:,1:直接代入:麻煩計算可得,2:方便技巧方法,左邊,對f ,第一項只包含f的一階微分,第二、三項包含 f的二階微分,現(xiàn)在來看第二、三項對f的二階貢獻,設(shè),則,d1,d2的一般形式(不包含2次微分形式),其中系數(shù)任意。由此,二、三項對f的2階微分貢獻為0,左邊只有二階微分貢獻?,0,重要性質(zhì): 如果f, g是運動積分,則它們的泊松括號也是運動積分。 (注:表達成函數(shù)關(guān)系) 泊松定律,證明: 不顯含時間,直接由雅克比恒等式可得,取h=h。,顯含時間,由前面,0,43. 作為坐標函數(shù)的作用量,作用量,回顧

4、,最小作用量原理,2端點固定,求物理路徑! now: 固定初始位置,t2時刻通過不同位置q,這種 情況下相應(yīng)的物理路徑的作用量。函數(shù)關(guān)系,無窮?。郝窂胶吐窂街g的作用量差,一個自由度,回顧最小作用量原理:是t1,t2時刻,q1,q2固定,作用量應(yīng)取極值 now: q2變,路徑為真實物理路徑,則可得(多自由度),可得,這種情況下,同樣可以研究t1時刻位置固定,不同時刻t經(jīng)過不同位置q2 這樣的 物理情況下,作用量關(guān)于時間t,q2函數(shù)的性質(zhì):,又,可得,再進一步:可以假設(shè),初始時刻也變,初始點也變, 4個變量,真實物理路徑相應(yīng)的作用量,物理意義: 運動過程中,無論外部作用對體系如何,終點運動狀態(tài)都

5、 不可能是初始狀態(tài)的任意函數(shù)! 只有右端表達式構(gòu)成全微分的那些運動才有可能(注:任意 作用下),于是,不管拉格朗日函數(shù)具體形式,最小作用量原理 給出了可能的運動集合的一定限制!,直接由最小作用量原理到哈密頓方程: 把坐標和動量作為獨立變分的變量,1個自由度情況,(分部積分),0,真實的路徑即滿足,44.莫培督原理: (略) 僅確定運動軌跡,不確定軌跡關(guān)于時間的函數(shù)! 對比:2體中心力時,第一個只確定r關(guān)于角度的關(guān)系 給出軌跡方程!,45. 正則變換,在廣義坐標、廣義動量 這2s個變量做變換下, 如果運動方程保持正則形式,這樣的變換稱為 正則變換!,設(shè),要求,由此要求,則,要求被積核僅相差一時間

6、全微分,即,正則變換可由函數(shù)f描述,稱為母函數(shù),母函數(shù)是新、老廣義坐標的給定函數(shù),給出了新、老變量之間的關(guān)系,也給出哈密頓量之間關(guān)系,也可以用廣義坐標、動量來表示母函數(shù),改寫,(新的母函數(shù)),其他2種變量表示情況,母函數(shù)不顯含時時,此時,新老哈密頓量相等! 注意:這里在變換下,為保持方程形式不變, 新哈密頓量并不是直接由老哈密頓直接用新變量代換而來 只在母函數(shù)不顯含時間下,如此!,正則變量的廣泛性,p, q正則共軛變量,重要性質(zhì),證明思路,46.劉維爾定理(略),相空間的概念: 即狀態(tài)空間2s維,注:沒時間軸,劉維爾定律內(nèi)容 物理運動過程中,相空間某區(qū)域體積不隨時間變化。 該體積在正則變換下也

7、不變!,47.哈密頓-雅可比方程,回憶:作用量作為坐標和時間的函數(shù)時,有,代入,有,稱為哈密頓雅可比方程,作用目的: 給定h關(guān)于廣義坐標動量的關(guān)系,可求出物理路徑 所相應(yīng)的作用量s, 等價于運動方程! 這點容易想象:因為前面的關(guān)系都來自于最小作用量原理, 或物理路徑所相應(yīng)的作用量。 差別在于:表述的自變量不同,待求解的量也不同! 但是之間都有等價關(guān)系。,哈密頓雅克比方程(一階偏微分方程)的性質(zhì),解的普遍形式:,來源:方程中只含有s的微分形式,now: start playing game,problem: how from such solved s to q(t),自變量采用老坐標、新動量,

8、聯(lián)系前面的正則變換,選取下列母函數(shù),回憶,則有,f滿足哈密頓-雅克比方程(因為就是解),則有,由此,新坐標,新動量:,又由正則變換關(guān)系,可用時間和2s個常數(shù)來求出s個坐標,于是求得解!,達到目的:知道s的解后,就可求出q(t).,應(yīng)用哈密頓雅克比方程的思路:,1:根據(jù)哈密頓量形式寫出哈密頓雅克比方程 2:求解哈密頓雅克比方程(即求出全積分,不是一般積分.) 3: 求解 代數(shù)方程組 得到坐標、動量關(guān)于 常數(shù)以及t 的關(guān)系。,注意:常數(shù)的數(shù)目和初始狀態(tài)。,特例: 保守系統(tǒng),哈密度量不顯含時間時,可求得,代入,也有,48.分離變量,求解哈密頓雅克比方程的方法 回憶數(shù)學物理中的分離變量思想:一致!,情

9、況:假如一個坐標q和其相應(yīng)的d/dq在方程中只以某種 組合出現(xiàn),該組合不包含其他坐標和時間,即假如方程如: (其實即是:和其他變量脫離耦合,退耦),其中 qi不包含q1,則方程的解可寫成如下,(和的形式分離 對比數(shù)學物理里面乘積的形式分離),代入,不包含q1,只包含q1,并且q1,qi獨立變量!,只能,新的偏微分方程獨立變量下降了!,1:完全變量分離: 所有的變量都可以分離的情況,全積分形式,2:體系有循環(huán)坐標時(h不顯含某些變量),則也不顯含在哈密頓雅克比方程中,此時,可求得,例子:,1:球坐標下的h形式:單粒子,problem:正則方程形式,哈密頓雅克比方程形式,注:這里面已經(jīng)應(yīng)用了h守恒

10、!,注意:上面形式不同變量之間脫離耦合,problem: why 球坐標?勢能的形式相關(guān),代入有,積分可得,對這幾個常數(shù)求導結(jié)果,等于新的常數(shù),既得到坐標、動量 關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系! 常數(shù)由初始狀態(tài)決定,求導結(jié)果,2:拋物線坐標,柱坐標到拋物線坐標的變換公式,引入,可得,拉氏量形式(柱坐標與拋物線坐標),廣義動量:,哈密頓量,物理上感興趣的勢能形式,哈密頓雅克比方程,代入,積分可得,任意積分常數(shù):,3:橢圓坐標,拉氏量形式 哈密頓量形式 哈密頓雅克比方程 分離變量、通解形式,解:粒子在中心勢場中運動的特點、自由 度、廣義坐標如何?,粒子的拉格朗日函數(shù)為,(1),廣義動量,(2),哈密頓函數(shù),例

11、題,于是得正則方程,(3),(4),例2 寫出粒子在等角速度轉(zhuǎn)動參考系中的h函數(shù)和正則方程。,解:(取圖7.3所示的轉(zhuǎn)動參考系)。粒 子的l函數(shù)為,(1),所以,回憶拉式量,則哈密頓函數(shù),(4),(3)式代入(4)式,得,(5),正則方程為,(6),將,代入上式中的第二式,可得粒子的動力學方程,例3 用正則變換法求平面諧振子的運動,,振,解:設(shè)振子沿x,y方向的動量為,動頻率為,,哈密頓函數(shù)為,設(shè)母函數(shù),由(7.19)式,得,(2),將(3)式中的,及,表示代入(1)中,得,(4),(5),由(7.15)式,得,(6),積分得,(7),由(3)式得振子運動方程,(8),7.5 解題指導,(1)

12、習題類型及基本解法,哈密頓理論的三個重力學方程(正則方程、哈密頓原理、雅可比方程),主要用于建立體系的動力學方程,這是本章習題內(nèi)容和類型。,基本解法:將體系的拉格朗日函數(shù)l或哈密頓函數(shù)h代入相應(yīng)的方程即得,體系的運動微分方程。解起的要點和步驟是:,補充, 分析體系約束類型,主動力性質(zhì); 確定自由度,選擇適當?shù)膹V義坐標; 正確寫出體系的l函數(shù)和h函數(shù); 將l或h代入相應(yīng)的哈密頓理論的動力學方程,并進行運算,可 得出體系的運動微分方程; 方程,出要求的量。, 范例,例1 用哈密頓原理建立開普問題的動力學方程。,解:用極坐標描述開普勒問題較方便。自由度為2,以r,q為,廣義坐標,拉格朗日函數(shù)為,代入哈密頓原理表達式,得,例2 用哈密頓雅可比方程解開普勒問題。,解:開普勒問題能量守恒,其哈密頓-雅可比方程形式為,(1),哈密頓函數(shù),(2),由,,代入(2)和(1)得哈密頓雅可比方程為,(3),求出方程(3)的解,代入,(4),可得,用,乘(3)式兩邊,并移項得,(5),用分離變量法求解,令,(6),將(6)代入(5)得,(7),上式左邊只是r的函數(shù),右邊只是的函數(shù),要使其對任意的r、都成立,,只有當它們都等于同一個常量時才有可能。這個常量必為正值,因此把它用,來表示,由此可得,(8),(9),積分

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