第七章 正則方程

1、第七章 正則方程 力學(xué)體系的哈密頓形式 （vs. 拉式形式 理論框架）,40.哈密頓方程,回顧拉氏量描述的理論形式 需要廣義坐標(biāo)、廣義速度相應(yīng)方程是2階微分 now: 直接使用廣義坐標(biāo)、廣義動量作為獨(dú)立的變量 來表達(dá)運(yùn)動方程：一階！ (數(shù)學(xué)上，任意高階的方程通過引入中間變量總可以變?yōu)?一階，代價是獨(dú)立變量增多，但是更統(tǒng)一！) 哈密度形式正是這樣的思路 now： 具體如何實(shí)現(xiàn)(實(shí)現(xiàn)方式自然不唯一，我們需要一種統(tǒng)一的方式.),重要性質(zhì)：,原則上，從廣義動量定義出，可以反求出 代入上面！,注意：這三者是一代數(shù)關(guān)系(不保護(hù)額外微分關(guān)系)， 故它們之間的關(guān)系在運(yùn)動過程中不變，也與初始條件無關(guān)！,用新變量

2、表示,正則方程，運(yùn)動方程！,對比，既可得上面結(jié)果！,性質(zhì)2,拉氏量時間平移不變，h守恒,性質(zhì)or現(xiàn)在運(yùn)動方程的表示,完全用羅斯函數(shù)表達(dá)的運(yùn)動方程 (剩余那一個),體系的能量,羅斯函數(shù)的作用： 存在循環(huán)坐標(biāo)時(即某些廣義坐標(biāo)相應(yīng)的廣義動量是常數(shù)!),如果q是循環(huán)坐標(biāo)，l不顯含q, 羅斯函數(shù)也不顯含q, r只是 的函數(shù).,此時，關(guān)于 的運(yùn)動方程表達(dá)為,其中p為固定常數(shù)，和體系的初始狀態(tài)有關(guān)，該方程與q無關(guān)! 退耦。另外一個可以直接求!,42. 泊松括號,已知函數(shù),其中已定義,有,代入哈密頓方程,上面括號稱為 泊松括號。,運(yùn)動積分條件,不顯含時間時，即要求,算符，對易，。,泊松括號的重要性質(zhì),任意兩

3、個函數(shù)之間的泊松括號,特殊情況，如果f, g之一是廣義坐標(biāo)或廣義動量，則,雅克比恒等式,證明：,1：直接代入：麻煩計算可得,2：方便技巧方法,左邊，對f ,第一項(xiàng)只包含f的一階微分，第二、三項(xiàng)包含 f的二階微分，現(xiàn)在來看第二、三項(xiàng)對f的二階貢獻(xiàn),設(shè),則,d1，d2的一般形式(不包含2次微分形式),其中系數(shù)任意。由此,二、三項(xiàng)對f的2階微分貢獻(xiàn)為0,左邊只有二階微分貢獻(xiàn)？,0,重要性質(zhì)： 如果f, g是運(yùn)動積分，則它們的泊松括號也是運(yùn)動積分。 （注：表達(dá)成函數(shù)關(guān)系） 泊松定律,證明： 不顯含時間，直接由雅克比恒等式可得，取h=h。,顯含時間,由前面,0,43. 作為坐標(biāo)函數(shù)的作用量,作用量,回顧

4、，最小作用量原理，2端點(diǎn)固定，求物理路徑！ now: 固定初始位置，t2時刻通過不同位置q，這種 情況下相應(yīng)的物理路徑的作用量。函數(shù)關(guān)系,無窮?。郝窂胶吐窂街g的作用量差，一個自由度,回顧最小作用量原理:是t1,t2時刻，q1,q2固定，作用量應(yīng)取極值 now: q2變，路徑為真實(shí)物理路徑，則可得(多自由度),可得，這種情況下,同樣可以研究t1時刻位置固定，不同時刻t經(jīng)過不同位置q2 這樣的 物理情況下，作用量關(guān)于時間t,q2函數(shù)的性質(zhì)：,又,可得,再進(jìn)一步：可以假設(shè)，初始時刻也變，初始點(diǎn)也變， 4個變量，真實(shí)物理路徑相應(yīng)的作用量,物理意義： 運(yùn)動過程中，無論外部作用對體系如何，終點(diǎn)運(yùn)動狀態(tài)都

5、 不可能是初始狀態(tài)的任意函數(shù)！ 只有右端表達(dá)式構(gòu)成全微分的那些運(yùn)動才有可能(注：任意 作用下)，于是，不管拉格朗日函數(shù)具體形式，最小作用量原理 給出了可能的運(yùn)動集合的一定限制！,直接由最小作用量原理到哈密頓方程： 把坐標(biāo)和動量作為獨(dú)立變分的變量,1個自由度情況,(分部積分),0,真實(shí)的路徑即滿足,44.莫培督原理： (略) 僅確定運(yùn)動軌跡，不確定軌跡關(guān)于時間的函數(shù)！ 對比：2體中心力時，第一個只確定r關(guān)于角度的關(guān)系 給出軌跡方程！,45. 正則變換,在廣義坐標(biāo)、廣義動量 這2s個變量做變換下， 如果運(yùn)動方程保持正則形式，這樣的變換稱為 正則變換！,設(shè),要求,由此要求，則,要求被積核僅相差一時間

6、全微分，即,正則變換可由函數(shù)f描述，稱為母函數(shù),母函數(shù)是新、老廣義坐標(biāo)的給定函數(shù),給出了新、老變量之間的關(guān)系，也給出哈密頓量之間關(guān)系,也可以用廣義坐標(biāo)、動量來表示母函數(shù),改寫,(新的母函數(shù)),其他2種變量表示情況,母函數(shù)不顯含時時，此時，新老哈密頓量相等！ 注意：這里在變換下，為保持方程形式不變， 新哈密頓量并不是直接由老哈密頓直接用新變量代換而來 只在母函數(shù)不顯含時間下，如此！,正則變量的廣泛性,p, q正則共軛變量,重要性質(zhì),證明思路,46.劉維爾定理(略),相空間的概念: 即狀態(tài)空間2s維,注：沒時間軸,劉維爾定律內(nèi)容 物理運(yùn)動過程中，相空間某區(qū)域體積不隨時間變化。 該體積在正則變換下也

7、不變！,47.哈密頓-雅可比方程,回憶：作用量作為坐標(biāo)和時間的函數(shù)時，有,代入，有,稱為哈密頓雅可比方程,作用目的: 給定h關(guān)于廣義坐標(biāo)動量的關(guān)系，可求出物理路徑 所相應(yīng)的作用量s, 等價于運(yùn)動方程！ 這點(diǎn)容易想象：因?yàn)榍懊娴年P(guān)系都來自于最小作用量原理， 或物理路徑所相應(yīng)的作用量。 差別在于：表述的自變量不同，待求解的量也不同！ 但是之間都有等價關(guān)系。,哈密頓雅克比方程(一階偏微分方程)的性質(zhì),解的普遍形式：,來源:方程中只含有s的微分形式,now: start playing game,problem: how from such solved s to q(t),自變量采用老坐標(biāo)、新動量,

8、聯(lián)系前面的正則變換，選取下列母函數(shù),回憶,則有,f滿足哈密頓-雅克比方程(因?yàn)榫褪墙?,則有,由此，新坐標(biāo)，新動量：,又由正則變換關(guān)系,可用時間和2s個常數(shù)來求出s個坐標(biāo)，于是求得解！,達(dá)到目的：知道s的解后，就可求出q(t).,應(yīng)用哈密頓雅克比方程的思路:,1:根據(jù)哈密頓量形式寫出哈密頓雅克比方程 2:求解哈密頓雅克比方程(即求出全積分,不是一般積分.) 3: 求解 代數(shù)方程組 得到坐標(biāo)、動量關(guān)于 常數(shù)以及t 的關(guān)系。,注意：常數(shù)的數(shù)目和初始狀態(tài)。,特例： 保守系統(tǒng)，哈密度量不顯含時間時，可求得,代入，也有,48.分離變量,求解哈密頓雅克比方程的方法 回憶數(shù)學(xué)物理中的分離變量思想：一致！,情

9、況：假如一個坐標(biāo)q和其相應(yīng)的d/dq在方程中只以某種 組合出現(xiàn)，該組合不包含其他坐標(biāo)和時間，即假如方程如： (其實(shí)即是：和其他變量脫離耦合，退耦),其中 qi不包含q1,則方程的解可寫成如下,(和的形式分離 對比數(shù)學(xué)物理里面乘積的形式分離),代入,不包含q1,只包含q1,并且q1,qi獨(dú)立變量！,只能,新的偏微分方程獨(dú)立變量下降了！,1：完全變量分離： 所有的變量都可以分離的情況，全積分形式,2:體系有循環(huán)坐標(biāo)時(h不顯含某些變量),則也不顯含在哈密頓雅克比方程中，此時,可求得,例子：,1：球坐標(biāo)下的h形式：單粒子,problem：正則方程形式,哈密頓雅克比方程形式,注：這里面已經(jīng)應(yīng)用了h守恒

10、！,注意：上面形式不同變量之間脫離耦合,problem: why 球坐標(biāo)？勢能的形式相關(guān),代入有,積分可得,對這幾個常數(shù)求導(dǎo)結(jié)果，等于新的常數(shù)，既得到坐標(biāo)、動量 關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系！ 常數(shù)由初始狀態(tài)決定,求導(dǎo)結(jié)果,2：拋物線坐標(biāo),柱坐標(biāo)到拋物線坐標(biāo)的變換公式,引入,可得,拉氏量形式(柱坐標(biāo)與拋物線坐標(biāo)),廣義動量：,哈密頓量,物理上感興趣的勢能形式,哈密頓雅克比方程,代入,積分可得,任意積分常數(shù)：,3：橢圓坐標(biāo),拉氏量形式 哈密頓量形式 哈密頓雅克比方程 分離變量、通解形式,解：粒子在中心勢場中運(yùn)動的特點(diǎn)、自由 度、廣義坐標(biāo)如何？,粒子的拉格朗日函數(shù)為,（1）,廣義動量,（2）,哈密頓函數(shù),例

11、題,于是得正則方程,（3）,（4）,例2 寫出粒子在等角速度轉(zhuǎn)動參考系中的h函數(shù)和正則方程。,解：(取圖7.3所示的轉(zhuǎn)動參考系)。粒 子的l函數(shù)為,（1）,所以,回憶拉式量,則哈密頓函數(shù),（4）,（3）式代入（4）式，得,（5）,正則方程為,（6）,將,代入上式中的第二式，可得粒子的動力學(xué)方程,例3 用正則變換法求平面諧振子的運(yùn)動,，振,解：設(shè)振子沿x，y方向的動量為,動頻率為,，哈密頓函數(shù)為,設(shè)母函數(shù),由（7.19）式，得,（2）,將（3）式中的,及,表示代入（1）中，得,（4）,（5）,由（7.15）式，得,（6）,積分得,（7）,由（3）式得振子運(yùn)動方程,（8）,7.5 解題指導(dǎo),（1）

12、習(xí)題類型及基本解法,哈密頓理論的三個重力學(xué)方程（正則方程、哈密頓原理、雅可比方程）,主要用于建立體系的動力學(xué)方程，這是本章習(xí)題內(nèi)容和類型。,基本解法：將體系的拉格朗日函數(shù)l或哈密頓函數(shù)h代入相應(yīng)的方程即得,體系的運(yùn)動微分方程。解起的要點(diǎn)和步驟是：,補(bǔ)充, 分析體系約束類型，主動力性質(zhì)； 確定自由度，選擇適當(dāng)?shù)膹V義坐標(biāo)； 正確寫出體系的l函數(shù)和h函數(shù)； 將l或h代入相應(yīng)的哈密頓理論的動力學(xué)方程，并進(jìn)行運(yùn)算，可 得出體系的運(yùn)動微分方程； 方程，出要求的量。, 范例,例1 用哈密頓原理建立開普問題的動力學(xué)方程。,解：用極坐標(biāo)描述開普勒問題較方便。自由度為2，以r，q為,廣義坐標(biāo)，拉格朗日函數(shù)為,代入哈密頓原理表達(dá)式，得,例2 用哈密頓雅可比方程解開普勒問題。,解：開普勒問題能量守恒，其哈密頓-雅可比方程形式為,（1）,哈密頓函數(shù),（2）,由,，代入（2）和（1）得哈密頓雅可比方程為,（3）,求出方程（3）的解，代入,（4）,可得,用,乘（3）式兩邊，并移項(xiàng)得,（5）,用分離變量法求解，令,（6）,將（6）代入（5）得,（7）,上式左邊只是r的函數(shù)，右邊只是的函數(shù)，要使其對任意的r、都成立，,只有當(dāng)它們都等于同一個常量時才有可能。這個常量必為正值，因此把它用,來表示，由此可得,（8）,（9）,積分