北京市海淀區(qū)上莊第二中學(xué)2015年高三上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試卷(理)

1、北 京 市 海 淀 區(qū) 上 莊 第 二 中 學(xué) 2015年 高 三 上 學(xué) 期 期 末 模 擬 數(shù) 學(xué) 試 卷 （ 理 ）本試卷共4 頁， 150 分?？荚嚂r長120 分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題共8 小題，每小題5 分，共 40 分 。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項 。（ 1）拋物線 x22 y 的焦點坐標是（）（ A ） ( 1,0)（ B ） (1,0)（C） (0,1)（ D） (0, 1 )22（ 2）如圖所示，在復(fù)平面內(nèi)，點A 對應(yīng)的復(fù)數(shù)為yAz ，則復(fù)數(shù) z21（）-2Ox（ A ） 3 4

2、i（ B ） 5 4i（C） 5 4i（ D） 3 4i（ 3）當向量 ac ( 2,2) ， b(1,0) 時，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的i 值為（）（ A ） 5（ B ） 4（ C） 3（ D ） 2（ 4）已知直線 l1 : ax(a 2) y 1 0 ，l2 : xay 2 0 . 若 l1l 2 ，則實數(shù) a 的值是（）（ A ） 0（ B ） 2 或 1（C） 0 或 3（ D ） 32xy20,（ 5）設(shè)不等式組 xy1 0, 表示的平面區(qū)域為D . 則區(qū)域 D 上的點到坐標原點的距離的xy1 0最小值是（）（ A ） 12（C）1（ B ）（D ） 522（ 6）某三棱錐

3、的三視圖如圖所示，該三棱錐四個面的面積中最大的是（）4正（主）視圖側(cè)（左）視圖34俯視圖（ A ） 234（ B ） 12（C） 83（ D） 62（ 7）某堆雪在融化過程中，其體積V （單位：Vm3 ）與融化時間 t（單位： h ）近似滿足函數(shù)關(guān)系： V (t)H (101 t )3 （ H 為常數(shù)），其10圖象如圖所示 . 記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為 v(m3/ h) . 那么瞬時融化速度等于 v(m 3/ h) 的時刻是圖中的（）Ot1 t2t3 t4100 t（ A ） t1（ B） t2（ C） t3（ D） t4（ 8）已知點A 在曲線 P : y x2 ( x0)

4、上，A 過原點 O ，且與 y 軸的另一個交點為M .若線段OM,A和曲線P上分別存在點B、點C和點D，使得四邊形ABCDA, B,C , D（點順時針排列） 是正方形， 則稱點 A 為曲線 P 的“完美點” . 那么下列結(jié)論中正確的是（）（ A ）曲線 P 上不存在“完美點”（ B）曲線 P 上只存在一個“完美點”，其橫坐標大于1（ C）曲線 P 上只存在一個“完美點”，其橫坐標大于1 且小于 121（ D）曲線 P 上存在兩個“完美點” ，其橫坐標均大于2二、填空題共6 小題，每小題 5 分，共30 分。（ 9）在 (1x )6 的展開式中，常數(shù)項是.（用數(shù)字作答）x（ 10）在極坐標系中

5、，直線sin3被圓4sin截得的弦長為 _（ 11）若雙曲線 x2 y21的一條漸近線的傾斜角為60 ，則 m.m（ 12 ） 如 圖 所 示 ， AD 是O 的 切 線 ，A B2 , A C3，ACB， 那么B4CAD_.CO8D（ 13）在等比數(shù)列 a 中，若 a24 ，a4，則n19A公比 q_；當 n _時， an 的前 n項積最大 .（ 14）如圖所示， 在正方體 ABCDA1 B1C1D1中，點 ED1C1是邊 BC 的中點 . 動點 P 在直線 BD1 （除 B, D1A1B1兩點）上運動的過程中，平面DEP 可能經(jīng)過的該正方體的頂點是. （寫出滿足條件的所有頂點）DCEAB三

6、、解答題共6 小題，共80 分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。（ 15）（本小題滿分13 分）函數(shù) f ( x)cos( x)(0) 的部分圖象如圖所示 .2（）寫出及圖中 x0 的值；y（）設(shè) g(x)f ( x)f ( x1) ，求函數(shù) g( x) 在區(qū)332間 1 ,1 上的最大值和最小值 .23Ox0 x（ 16）（本小題滿分13 分）某中學(xué)在高二年級開設(shè)大學(xué)先修課程線性代數(shù)，共有 50 名同學(xué)選修， 其中男同學(xué) 30名，女同學(xué) 20 名 . 為了對這門課程的教學(xué)效果進行評估，學(xué)校按性別采用分層抽樣的方法抽取5 人進行考核 .（）求抽取的 5 人中男、女同學(xué)的人數(shù)；（）考核的

7、第一輪是答辯，順序由已抽取的甲、乙等5 位同學(xué)按抽簽方式?jīng)Q定. 設(shè)甲、乙兩位同學(xué)間隔的人數(shù)為X ， X 的分布列為X3210Pab32105求數(shù)學(xué)期望 EX ；（）考核的第二輪是筆試：5 位同學(xué)的筆試成績分別為115， 122， 105， 111， 109；結(jié)合第一輪的答辯情況，他們的考核成績分別為125， 132， 115， 121， 119. 這 5 位同學(xué)筆試成績與考核成績的方差分別記為s12 ， s22 ，試比較 s12 與 s22 的大小 . （只需寫出結(jié)論）（ 17）（本小題滿分14 分）如圖所示，在三棱柱 ABCA1 B1C1 中， AA1B1B 為正方形， BB1C1C 為菱形

8、，BB1C1 =60 ，平面 AA1B1B平面 BB1C1C .（）求證： B CAC ；CC111（）設(shè)點 E, F 分別是 BC,1 AA1 的中點，試判斷直線EEF 與平面 ABC 的位置關(guān)系，并說明理由；（）求二面角 BAC1 C 的余弦值 .BB1AFA1（ 18）（本小題滿分 13 分）已知橢圓 M : x2y21，點 F1 ， C 分別是橢圓 M 的左焦點、左頂點，過點F1 的直4 3線 l （不與 x 軸重合）交 M 于 A, B 兩點 .（）求 M 的離心率及短軸長；（）是否存在直線l ，使得點程；若不存在，說明理由.B 在以線段AC為直徑的圓上，若存在，求出直線l 的方（

9、19）（本小題滿分13 分）已知函數(shù) f (x) a cos x x sin x ， x , .22（）判斷函數(shù)f (x) 的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（）求集合A x | f (x)0 中元素的個數(shù)；（）當 1a2時，問函數(shù)f ( x) 有多少個極值點？（只需寫出結(jié)論）（ 20）（本小題滿分14 分）已知集合 S a1 , a2 , a3 , an( n3) ，集合 T( x, y) | xS, yS, xy 且滿足：,a j(,j1,2,3, ,j),(ai ,a j )T 與 (a j , ai ) T 恰有一個成立 . 對于 T 定aiS in i義dT ( a, b)1,(a,b)T,

10、0,(b, a)T ,lT (ai ) dT (ai , a1) dT (ai ,a2 )dT (ai , ai 1) dT ( ai , ai 1)dT (ai , an )（ i1,2,3, n ） .（）若 n4 ， (a1, a2 ),( a3 , a2 ),( a2 , a4 )T ，求 lT (a2 ) 的值及 lT (a4 ) 的最大值；（）從 lT (a1), lT ( a2 ), lT (an ) 中任意刪去兩個數(shù)，記剩下的n2 個數(shù)的和為 M . 求證： M1 n(n5)3 ；2（）對于滿足 lT(a )n 1（ i1,2,3, n ）的每一個集合T，集合S中是否都存在i三

11、個不同的元素e, f , g ，使得 dT ( e,f )dT ( f , g) dT ( g,e) 3 恒成立，并說明理由 .北 京 市 海 淀 區(qū) 上 莊 第 二 中 學(xué)2015 年 高 三 上 學(xué) 期 期 末 模 擬 數(shù) 學(xué) 試 卷 （ 理 ） 答 案一、 （共8 小 ，每小 5 分，共40 分）（ 1） C（ 2）D（ 3）B（ 4） C（ 5） B（ 6）A（ 7）C（ 8）B二、填空 （共6 小 ，每小 5 分，共30 分。有兩空的小 ，第一空2 分，第二空 3 分）（ 9） 15（ 10） 2 3（ 11） 3（ 12） 2（13） 1 ； 4（ 14） A1, B1 , D33

12、三、解答 （共6 小 ，共 80 分）（ 15）（共 13 分）解：（）的 是 2 分.65 5x0 的 是 .3分（）由 意可得：11sin x .f (x) cos( (x ) cos(x)33627 分所以1xf ( x) f (x ) cos(x) sin36sin x sincos x cossin x668 分3 cos x1 sin xsin x22333 cos(x 10 分cos xsin x) .223因 x 1 , 1 ，23 2所以.6x331所以 當 x0，即 x ， g( x) 取得最大 3 ；33當 x 213. 13 分33，即 x3 ， g( x) 取得最小

13、2（ 16）（共 13 分）解：（）抽取的5 人中男同學(xué)的人數(shù) 5303，女同學(xué)的人數(shù) 55020 2 .50 4 分（）由 意可得：P( X 3)A22 A331 6A55.10分因 a b32101，5所以1. 8 分b5所以EX312 113021. 10 分105105（） s12s22. 13 分（ 17）（共 14 分）CC1 明：（） 接 BC1 .在正方形 ABB1A1 中， AB BB1 .B1B因 為 平 面 AA1B1B平 面 BB1C1C ， 平 面AA1AA1 B1B平 面B B C C B B AB平 面11，1ABB1 A1 ，所以AB 平面 BB1C1C . 1

14、 分因 B1C 平面 BB1C1C ，所以AB B1C . 2 分在菱形 BB1C1C 中， BC1 B1C .因 BC1 平面 ABC1， AB 平面 ABC1 ， BC1AB = B ，所以B1C 平面 ABC1. 4 分因 AC1 平面 ABC1，所以B1CAC1 . 5 分（ ） EF 平面 ABC ，理由如下： 6 分取 BC 的中點 G ， 接 GE ,GA .因 E 是 B1C 的中點，CC 1所以GE BB1 ，且 GE = 1 BB1 .GE2因 F 是 AA1 的中點，所以AF = 1 AA1 .BB12AFA1在正方形 ABB1 A1 中， AA1 BB1 ， AA1 =

15、 BB1 .所以GE AF ，且 GE = AF .所以四 形 GEFA 平行四 形 .所以EF GA . 8 分因 EF ?平面ABC，GA ABC，平面所以EF 平面 ABC . 9 分（）在平面BB1C1C 內(nèi) 點 B 作 Bz BB1 .由（）可知： AB 平面 BB1C1C . 以點 B 坐 原點， 分 以 BA, BB1 所在的直 x, y ，建立如 所示的空 直角坐 系B xyz， A(2,0,0) ， B1(0,2,0) .在菱形 BB1C1C 中，BB1C1=60，所以C(0, 1, 3) ， C1 (0,1,3) . 平面 ACC1 的一個法向量 n(x, y,1) .zn

16、 AC0, 即 ( x, y,1)CC1因 (2, 1,3) 0,n CC10( x, y,1)(0, 2,0)0,E3所以x2 ,即y0,n ( 3 ,0,1) . 2BB1yAFA1x 11 分由（）可知： CB1 是平面 ABC1 的一個法向量 . 12 分(3 ,0,1)(0,3,3)所以 cos n,CB1n CB127n CB1.397134所以 二面角 B AC17 14C 的余弦 .7分（ 18）（共 13分）解：（）由 x2y21得： a 2, b3 .43所以 橢圓 M 的短 2 3 . 2 分因 ca2b21 ，所以c11 4 分e2，即 M 的離心率 .a2（）由 意知

17、： C(2,0), F1 ( 1,0) ， B(x0 , y0 )( 2 x02)x02y02， 1 .43 7 分因 BF1 BC ( 1 x0 , y0 ) ( 2 x0 , y0 )2 3x0 x02y02 9 分1 x023x05 0 ， 114分所以B(0,) .2所以點 B 不在以 AC 直徑的 上，即：不存在直 l ，使得點 B 在以 AC 直徑的 上 . 13分另解：由 意可 直 l 的方程 xmy1， A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) .x2y21,可得： (3m24) y26my90 .由43xmy1所以 y1 y26m9 7 分3m2，y1 y23m2.

18、44所以 CA CB( x12, y1) (x22, y2 )( m2 1)y1 y2m( y1y2 ) 1( m21)9m6m413m243m25. 9 分3m204因 cosCA CB( 1,0)，CCACB所以C) . 11( ,2分所以B(0,) .2所以 點 B 不在以 AC 直徑的 上，即：不存在直 l ，使得點 B 在以 AC 直徑的 上 . 13 分（ 19）（共 13 分）解：（）函數(shù) f ( x) 是偶函數(shù)， 明如下： 1 分 于x x 2 分, ， , .2222因 f (x)a cos( x)x sin(x) a cos x xsin xf ( x) ，所以f ( x)

19、 是偶函數(shù) . 4 分（）當 a0 ，因 f ( x)a cos xx sin x 0， x , 恒成立，22所以 集合 A x | f ( x)0 中元素的個數(shù) 0. 5 分當 a0 ，令 f ( x) x sin x0 ，由 x 2, ，2得 x0.所以 集合 A x | f ( x)0 中元素的個數(shù) 1. 6 分當 a0 ，因 f ( x)a sin xsin xx cos x(1a)sin xx cos x 0, x (0, ) ，2 8 分所以 函數(shù) f ( x) 是 0, 上的增函數(shù) .2因 f (0)a0 ，0, f ( )22所以f (x) 在 (0,) 上只有一個零點 .2由

20、 f ( x) 是偶函數(shù)可知， 集合 A x | f ( x)0 中元素的個數(shù) 2. 10 分 上所述，當a0 ，集合A x | f ( x)0 中元素的個數(shù) 0 ；當 a 0 ，集合A x | f ( x)0 中元素的個數(shù) 1；當 a0 ，集合 A x | f ( x)0 中元素的個數(shù) 2.（）函數(shù) f ( x) 有 3 個極 點 .13 分（ 20）（共 14 分）解：（）因 (a1, a2 ),( a3 , a2 ),( a2 , a4 )T ，所以dT ( a2 , a1 )0 ， dT (a2 ,a3 )0 ， dT ( a2 , a4 )1，故 lT (a2 )1.1 分因 (a2 ,a4)T，所以dT(a4 , a2 )0 .所以lT (a4 )dT (a4, a1 )dT(a4, a2 )dT(a4 , a3 )1012 .所以 當 ( a2 ,a4 ),( a4 , a1 ),( a4 , a3)T ，lT(a4 )取得最大 2 .3 分（）由dT (a,b) 的定 可知：dT( a, b)dT (b, a)1.n所以lT(ai ) dT(a1, a2 )dT (a2 , a1 )dT(a1, a3 )dT (a3, a1 )i 1 dT (a1, an )dT (an , a1 )dT (an 1, an )dT (an,