二次曲線的定義PPT課件

1、.,1,本章是平面射影幾何的精華, 也是最精彩的部分之一,本章主要內(nèi)容,二次曲線的定義,Pascal定理和Brianchon定理,二次曲線的配極原理,二次曲線的射影分類,每一部分都有豐富的內(nèi)容、深刻的內(nèi)涵和重要的應(yīng)用.,第五章 二次曲線的射影理論,.,2,一、二次曲線的代數(shù)定義,定義1 坐標(biāo)滿足,的所有點(diǎn) (x1, x2, x3) 的集合稱為一條二階曲線. 其中 (aij) 為三階實對稱陣, 秩 (aij)1。,定義1 坐標(biāo)滿足,的所有直線 u1, u2, u3 的集合稱為一條二級曲線. 其中 (bij) 為三階實對稱陣, 秩 (bij)1。,二次曲線的射影定義,定義2 如果 T 可以分解為兩

2、個一次因式的乘積，則稱 T = 0 為退化二級曲線，否則稱為非退化二級曲線。,定義2 如果 S 可以分解為兩個一次因式的乘積，則稱 S = 0 為退化二階曲線，否則稱為非退化二階曲線。,.,3,命題 S = 0 退化 |aij| = 0.,二次曲線的射影定義,注1. S, T 均為高等代數(shù)中的實三元二次型。從代數(shù)上看，S = 0和T = 0 為相同的代數(shù)對象；從幾何上看，它們是同一幾何對象的不同描述，因此統(tǒng)稱為二次曲線。,注2. 在需要時，S = 0和T = 0 均可寫為矩陣格式：,注3. 由對偶原則，我們一般僅討論二階曲線，其結(jié)論均可對偶地適用于二級曲線。,.,4,二、二次曲線的幾何結(jié)構(gòu),定

3、理1 不同心的兩個射影線束對應(yīng)直線交點(diǎn)的全體構(gòu)成一條經(jīng)過此二線束束心的二階曲線 .,注：若已知兩個射影線束 A + B A + B 的對應(yīng)式,則由此構(gòu)成的二階曲線方程為,定理2 設(shè)二階曲線 由射影線束 O(P) 與 O(P) 生成，則在 上任意取定相異二點(diǎn) A和B，與 上的動點(diǎn) M 連線可得兩個射影線束,注：由本定理, 一旦二階曲線由兩個射影線束生成，則其上點(diǎn)的地位平等，以曲線上任意相異二點(diǎn)為束心與曲線上的點(diǎn)連線則得到兩個也生成此曲線的射影線束。,二次曲線的射影定義,.,5,定理2的證明. 設(shè) 由 O(P) O(P) 生成，需證,設(shè),所以只要證,設(shè),分別以AM, BM截得,注意到,從而對應(yīng)點(diǎn)的

4、連線共點(diǎn)，即 AA, BB, KK 共點(diǎn)于 S。,但是,為定點(diǎn)，故當(dāng) M 變動時，KK 經(jīng)過定點(diǎn) S，即,二次曲線的射影定義,則有,.,6,推論1 平面上五點(diǎn)(其中無三點(diǎn)共線)唯一確定一條非退化二階曲線。,推論1 平面上五直線(其中無三線共點(diǎn))唯一確定一條非退化二級曲線。,推論2 任一二階曲線可由兩個射影線束生成。,推論2 任一二級曲線可由兩個射影點(diǎn)列生成。,推論3 二階曲線上四個定點(diǎn)與其上任意一點(diǎn)連線所得四直線的交比為定值。,推論3 二級曲線上四條定直線被其上任意一條直線所截得四點(diǎn)的交比為定值。,注：推論3對于解析幾何中的各種二次曲線都適用。,二次曲線的射影定義,.,7,三、二次曲線的射影定

5、義,由上述的兩個定理及其推論，我們有,定義3 在射影平面上，稱兩個射影線束對應(yīng)直線交點(diǎn)的集合為一條二階曲線。,定義3 在射影平面上，稱兩個射影點(diǎn)列對應(yīng)點(diǎn)連線的集合為一條二級曲線。,思考：試研究本定義是如何包含退化二次曲線的。,提示：考慮透視對應(yīng)、射影變換的情況。,二次曲線的射影定義,.,8,例1 求由兩個射影線束 x1 x3 = 0, x2 x3 = 0 ( + = 1) 生成的二階曲線方程。,解 令,利用定理1的證明，此二射影線束,生成的二階曲線的方程為,由 + = 1 得 a = 0, b = c = 1, d = 1 , 代入上式得,即,這是一條退化的二階曲線。,二次曲線的射影定義,.,

6、9,四、二階曲線的切線,本部分總假定：所論二次曲線為非退化的.,1. 定義,定義4 與二階曲線 交于兩個重合的點(diǎn)的直線稱為 的切線。,二次曲線的射影定義,.,10,四、二階曲線的切線,2、切線的方程,問題：已知二階曲線,求過定點(diǎn) P(p1, p2, p3) 的 的切線方程。,設(shè) Q(q1,q2,q3)為平面上任一點(diǎn)，則直線 PQ 上任一點(diǎn)可表為 xi = pi + qi 。,PQ 為 的切線 PQ 交 于兩個重合的點(diǎn) 將 xi = pi + qi 代入 ：S = 0 后只有一個解。代入得,即,二次曲線的射影定義,.,11,為簡便計，我們引入記號,代入(2)式得,二次曲線的射影定義,整理得,.,

7、12,從而Q(q1,q2,q3) 在過 P(p1, p2, p3) 的切線上 (3) 對 有二重根 ,(4) 式即為 Q(q1,q2,q3)是 過 P(p1, p2, p3) 的切線上的點(diǎn)的充要條件。習(xí)慣地，將其中的流動坐標(biāo) qi 換為 xi ，得到二階曲線過點(diǎn) P(p1, p2, p3) 的切線方程為,(5) 式為一個二次方程，故經(jīng)過平面上一點(diǎn) P 一般有兩條切線。 如果 P 在 上，則 Spp = 0，從而，二階曲線上一點(diǎn) P 處的切線方程為,二次曲線的射影定義,.,13,注：Sp = 0 常用的等價寫法,請自行證明這三種寫法確實都與Sp=0等價.,(3)式與解析幾何中的切線方程一致,二次

8、曲線的射影定義,.,14,五、二級曲線的切點(diǎn),設(shè),1.切點(diǎn)的定義,2. 切點(diǎn)方程,一般 ( 在l上的切點(diǎn))：,特殊 ( l 屬于 )：,二次曲線的射影定義,一般地，過平面上一點(diǎn)有 的兩條直線。若過平面上某點(diǎn) P 有且僅有 的一條直線，則稱 P 為 的一個切點(diǎn)。,.,15,例2 如果兩個三點(diǎn)形 ABC 與 ABC 同時內(nèi)接于一條二次曲線， 求證它們也同時外切于一條二次曲線。,證. 設(shè)交點(diǎn) D, E; D, E 如圖。,因為 A, B, C, A, B, C 在同一條二次曲線上，據(jù)二階曲線的射影定義有,又,由二級曲線的射影定義，這兩個射影點(diǎn)列的對應(yīng)點(diǎn)連線以及點(diǎn)列的底共六條直線屬于同一條二級曲線，這

9、六條直線恰好是已知兩個三點(diǎn)形的六條邊。結(jié)論成立。,注：本題的逆命題成立。,二次曲線的射影定義,.,16,六、二階曲線與二級曲線的統(tǒng)一,定理3(Maclaurin) 一條非退化二階曲線的全體切線構(gòu)成一條非退化二級曲線。,定理3 (Maclaurin) 一條非退化二級曲線的全體切點(diǎn)構(gòu)成一條非退化二階曲線。,二次曲線的射影定義,證明 設(shè),若P(p1,p2,p3)是切線uu1,u2,u3的切點(diǎn)，則有Sp=0，于是,因此有,.,17,二次曲線的射影定義,這個關(guān)于p1,p2,p3和k的方程組有非零解，所以,這是一個二級曲線的方程.,.,18,設(shè),由本定理的證明可知，u1,u2,u3 為 上一點(diǎn)處的切線,展

10、開, 得,注：本定理提供了二次曲線的點(diǎn)坐標(biāo)、線坐標(biāo)方程互化方法。,推論4 若 bij = Aij ( 0 )，則 S aijxixj= 0 與 T bijuiuj = 0 表示同一條二次曲線。,二次曲線的射影定義,這里Aij是aij的代數(shù)余子式.,.,19,例3 求證：x1x3 x22 = 0 與 4u1u3 u22 = 0 表示同一條二次曲線.,證明. 第一步. 驗證已知兩條二次曲線為非退化.,第二步. 將 aij, u1, u2, u3 代入 (13) 式, 展開即得 4u1u3 u22 = 0.,二次曲線的射影定義,.,20,七、二階曲線束,定理4 平面上兩條相異的二階曲線一般有四個交點(diǎn)

11、.,證明. 設(shè)1: f aijxixj=0, 2: g bijxixj =0, 則聯(lián)立,即為1與2的交點(diǎn), 顯然, 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)一般有四個解.,定義5 設(shè)f=0, g=0為平面上兩條相異的二階曲線. 則稱由,所決定的二階曲線的全體為以f=0, g=0的四個交點(diǎn)為基點(diǎn)的二階曲線束. 若f=0, g=0的四個交點(diǎn)相異, 則稱為二階曲線的四點(diǎn)形束.,定理5 經(jīng)過平面上任一點(diǎn)P(非基點(diǎn)), 必有一條二階曲線屬于已知束f+g=0.,證明. 因為P不是f=0與g=0的交點(diǎn), 故fpp與gpp不同時為零. 不妨設(shè)gpp0. 令,則f+0g=0為過P且屬于 f+g=0的二階曲線.,二次曲線的射影定義,.,21,定理6 平面上任一二階曲線束中必有三條退化的二階曲線, 它們是以四個基點(diǎn)為頂點(diǎn)的完全四點(diǎn)形的三雙對邊.,注：對定理6的直觀理解.如圖, 三條相異的退化二階曲線為：,實用性很強(qiáng)的兩種極限形式如下：,只有兩條相異.,只有兩條相異.,二次曲線的射影定義,.,22,例4 已知二階曲線過點(diǎn)A(1,0,1), C(0