全國(guó)優(yōu)秀案例任意角的三角函數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)案例

1、 全國(guó)優(yōu)秀案例任意角的三角函) 數(shù)教學(xué)設(shè)計(jì)案例 任意角的三角函數(shù) 陳正泉 一、教學(xué)內(nèi)容解析 這是一堂關(guān)于任意角的三角函數(shù)的概念課 在初中，學(xué)生已學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道直角三角形中銳角的三角函數(shù)等于相應(yīng)邊長(zhǎng)的比值在此基礎(chǔ)上，隨著本章將角的概念推廣，以及引入弧度制后，這里相應(yīng)地也要將銳角三角函數(shù)推廣為任意角的三角函數(shù)，但它與解三角形已經(jīng)沒有什么關(guān)系了任意角的三角函數(shù)是研究一個(gè)實(shí)數(shù)集（角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合）到另一個(gè)實(shí)數(shù)集（角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或其比值構(gòu)成的集合）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，認(rèn)識(shí)它需要借助單位圓、角的終邊以及二者的交點(diǎn)這些幾何圖形的直觀幫助，這中間體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想三角函數(shù)是又一種基本初等函數(shù)

2、，它作為描述周期變化現(xiàn)象的最常見、最基本的數(shù)學(xué)模型，不僅在高中數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，而且在其他領(lǐng)域中也具有廣泛的應(yīng)用而任意角三角函數(shù)的概念又是整個(gè)三角函數(shù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，所以它不僅是三角函數(shù)內(nèi)容的核心概念，同時(shí)在高中數(shù)學(xué)中還占有重要的地位本節(jié)課將圍繞任意角三角函數(shù)的概念展開，任意角三角函數(shù)的定義是這節(jié)課的重點(diǎn)，能夠利用單位圓認(rèn)識(shí)該定義是解決教學(xué)重點(diǎn)的關(guān)鍵 二、教學(xué)目標(biāo)解析 1借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義： （1）能用直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)； （2）能用直角坐標(biāo)系中角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來表示任意角的三角函數(shù)； （3）知道三角函數(shù)是研究一

3、個(gè)實(shí)數(shù)集（角的弧度數(shù)構(gòu)成的集合）到另一個(gè)實(shí)數(shù)集（角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)或其比值構(gòu)成的集合）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，正弦、余弦和正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù) 2在借助單位圓認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)的定義的過程中，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，并利用這一思想解決有關(guān)定義應(yīng)用的問題 三、教學(xué)問題診斷分析 1學(xué)生在理解用終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)障礙，原因是學(xué)生在此之前都是研究直角三角形中銳角的三角函數(shù)，并習(xí)慣了直觀地用有關(guān)邊長(zhǎng)的比值來表示銳角三角函數(shù)要克服這一困難，關(guān)鍵是幫助學(xué)生建立終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)的比值與直角三角形有關(guān)邊長(zhǎng)的比值的聯(lián)系 2學(xué)生在理解將終邊上任意一

4、點(diǎn)取在終邊與單位圓的交點(diǎn)這一特殊位置上時(shí)，又可能會(huì)出現(xiàn)障礙，原因是他們可能會(huì)認(rèn)為這一特殊點(diǎn)不具有任意性針對(duì)這一問題，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用相似三角形的知識(shí)來認(rèn)識(shí)，明白對(duì)于一個(gè)確定的角，其三角函數(shù)值也就唯一確定了，表示其三角函數(shù)的比值不會(huì)隨終邊上所取 點(diǎn)的位置的改變而改變 學(xué)生在將用單位圓定義銳角三角函數(shù)推廣到定義任意角的三角函數(shù)時(shí)，3還可能會(huì)出現(xiàn)障礙，主要原因還是受初中銳角三角函數(shù)定義的影響，仍然局限在直角三角形中思考問題要幫助學(xué)生克服這一困難，就要讓學(xué)生知道，借助單位圓，用終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來表示三角函數(shù)，就是為了很好地解決在直角三角形中不能定義任意角的三角函數(shù)的問題，用單位圓統(tǒng)一定義三角函數(shù)，

5、 不僅沒有改變初中銳角三角函數(shù)定義的本質(zhì)，同時(shí)還能定義任意角的三角函數(shù) 四、教學(xué)支持條件分析為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)定義的理解，幫助學(xué)生克服在理解定義過程中可能遇到的障礙，本節(jié)課準(zhǔn)備在計(jì)算機(jī)的支持下，利用幾何畫板動(dòng)態(tài)地研究任意角與其終邊和單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，構(gòu)建有利于學(xué)生建立概念的“多元聯(lián)系 表示”的教學(xué)情境，使學(xué)生能夠更好地?cái)?shù)形結(jié)合地進(jìn)行思維 五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) （一）教學(xué)基本流認(rèn)識(shí)復(fù)習(xí)進(jìn)一步 （二）教學(xué)情景 1復(fù)習(xí)銳角三角函數(shù)的定義問題1：在初中，我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)如圖1，在直角POM中，M是直角，那么根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，O的正弦、余弦和正切分別是什么？ P O M 圖 設(shè)計(jì)意圖：

6、幫助學(xué)生回顧初中銳角三角函數(shù)的定義 師生活動(dòng)：教師提出問題，學(xué)生回答 2認(rèn)識(shí)任意角三角函數(shù)的定義 問題2：在上節(jié)教科書的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)將角的概念推廣到了任意角，現(xiàn)在所說的角可以是任意大小的正角、負(fù)角和零角那么任意角的三角函數(shù)又該怎樣定義呢？ ：引導(dǎo)學(xué)生將銳角三角函數(shù)推廣到任意角三角函數(shù)設(shè)計(jì)意圖 利用下列問題引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)在教學(xué)中，可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，師生活動(dòng)： 行思考： ）能不能繼續(xù)在直角三角形中定義任意角的三角函數(shù)？1（ 以此來引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)那么可以進(jìn)一步提出下如果學(xué)生仍然不能想到借助平面直角坐標(biāo)系來定義， 列問題來啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考：）在上節(jié)教科書中，將銳角

7、的概念推廣到任意角時(shí)，我們是把角放在哪2（ 里進(jìn)行研究的？進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)定義任意角的三角函數(shù)在此基礎(chǔ)上， 組織學(xué)生討論： 的三角函數(shù)呢？3）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，如何定義任意角yPx O 圖 如果學(xué)生仍用直角三角形邊長(zhǎng)的比值來定義，則可以作下列引導(dǎo)：的角一定是銳角嗎？如果不是，能利用直角三角形的邊長(zhǎng)OP4（）終邊是 象限又該怎么辦？I的終邊不在第，如果角3來定義嗎？如圖 yPxO 圖 ）我們知道，借助平面直角坐標(biāo)系，就可以把幾何問題代數(shù)化，比如把（5我們還是回到銳角三角函數(shù)的問題上，點(diǎn)用坐標(biāo)表示，把線段的長(zhǎng)用坐標(biāo)算出來大家能不能用平面直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表

8、示定義式中的三條 邊長(zhǎng)呢？ 滲透數(shù)形結(jié)合的思想 ）利用平面直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來定義有什么好處？6（ ：大家有沒有辦法讓所得到的定義式變得更簡(jiǎn)單一點(diǎn)？問題3 ：為引入單位圓進(jìn)行鋪墊設(shè)計(jì)意圖在學(xué)生不能正確回答時(shí)，可組織學(xué)生展開討論：教師提出問題后，師生活動(dòng) 可啟發(fā)他們思考下列問題：弧度的角的時(shí)候，利用了一個(gè)什么圖形？所用的圓與半）我們?cè)诙x1（1 徑大小有關(guān)嗎？用半徑多大的圓定義起來更簡(jiǎn)單易懂些？它的函數(shù)值是由什么決定的？那么，siny（2）對(duì)于一個(gè)三角函數(shù)，比如能不能取終邊上任意一點(diǎn)來定義三角函數(shù)？取哪當(dāng)一個(gè)角的終邊位置確定以后， 一點(diǎn)可以使得我們的定義式變得簡(jiǎn)單些？怎樣??？ 加強(qiáng)

9、與幾何的聯(lián)系 4：大家現(xiàn)在能不能給出任意角三角函數(shù)的定義了？問題進(jìn)一步給出引導(dǎo)學(xué)生在借助單位圓定義銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，：設(shè)計(jì)意圖 任意角三角函數(shù)的定義 師生活動(dòng)：由學(xué)生給出任意角三角函數(shù)的定義，教師進(jìn)行整理的三個(gè)三角函數(shù)值其實(shí)就是要求角問題5：根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義， 分別是求什么？ 用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義三角函數(shù)不僅簡(jiǎn)化了：讓學(xué)生從中體會(huì)，設(shè)計(jì)意圖 定義式，還更能突出三角函數(shù)概念的本質(zhì) ：在學(xué)生回答問題的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生利用定義求三角函數(shù)值師生活動(dòng)31，（），求角1例：已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P的正弦、余弦和正切22 值讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何利用定義求不通過變式，從最簡(jiǎn)單的問題入手，設(shè)計(jì)意圖：加強(qiáng)定義

10、應(yīng)用中與幾何的聯(lián)系，進(jìn)而加深對(duì)定義的理解，同情況下函數(shù)值的問題， 體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想可通過下列變式引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)的概師生活動(dòng)：在完成本題的基礎(chǔ)上， 念作進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)：5的正弦、余弦和正切值 變式1：求3變式2：已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（3，4），求角的正弦、余弦和正切值 3進(jìn)一步理解任意角三角函數(shù)的概念 問題6：你能否給出正弦、余弦、正切函數(shù)在弧度制下的定義域？ 設(shè)計(jì)意圖：研究一個(gè)函數(shù)，就要研究其三要素，而三要素中最本質(zhì)的則是對(duì)應(yīng)法則和定義域三角函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則已經(jīng)由定義式給出，所以在給出定義之后就要研究其定義域通過利用定義求定義域，既完善了三角函數(shù)概念的內(nèi)容，同時(shí)又可幫助學(xué)生進(jìn)一步理解三角函數(shù)

11、的概念 ：學(xué)生求出定義域，教師進(jìn)行整理師生活動(dòng) 問題7：上述三種函數(shù)的值在各象限的符號(hào)會(huì)怎樣？讓學(xué)生了解三種函數(shù)值在各象限的符號(hào)的變化：通過定義的應(yīng)用，設(shè)計(jì)意圖 規(guī)律，并從中進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想 師生活動(dòng)：學(xué)生回答，教師整理 ?,?sin0? 為第三象限角；（1）當(dāng)不等式組成立時(shí)，角例2：求證：?0?tan?,sin0? 成立2）當(dāng)角為第三象限角時(shí)，不等式組（?0tan?熟悉和記憶函數(shù)值在各象限的符號(hào)的變化規(guī)律，通過問題的解決，設(shè)計(jì)意圖： 并進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念作變式可視情況改變題目的條件或結(jié)論，師生活動(dòng)：在完成本題的基礎(chǔ)上， 訓(xùn)練：既然我們知道了三角函數(shù)的函數(shù)值是

12、由角的終邊的位置決定的，那問題8么角的終邊每繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，它的大小將會(huì)怎樣變化？它所對(duì)應(yīng)的三角函數(shù) 值又將怎樣變化？ 設(shè)計(jì)意圖：引出公式一，突出函數(shù)周期變化的特點(diǎn)，以及數(shù)形結(jié)合的思想 師生活動(dòng)：在教師引導(dǎo)下，由學(xué)生討論完成 ：先確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)，然后再求出它們的值：3例911?672?（4） cos） ） ； （2cos 3； （3 tan；）（1sin ?64?設(shè)計(jì)意圖：將確定函數(shù)值的符號(hào)與求函數(shù)值這兩個(gè)問題合在一起，通過應(yīng)用公式一解決問題，讓學(xué)生熟悉和記憶公式一，并進(jìn)一步理解三角函數(shù)的概念 師生活動(dòng)：先完成題（1），再通過改變函數(shù)名稱和角，逐步完成其他各題 4練習(xí) 1填表： 角0

13、30456090180270360 角的弧度 數(shù) sin co s tan ?中，有可能取tan，cos ，tan 是三角形的一個(gè)內(nèi)角，在2設(shè)sin 2 負(fù)值的是 “”填空：“”，17?450? tan2） 0； 0； 1（）cos （?8?4? 0； （4）（3）sintan 556 0 ? 3? 4選擇sin 0， sin 0， cos 0， tan 0中適當(dāng)?shù)年P(guān)系式的序號(hào)填空： ，反之也對(duì)； 為第一象限角時(shí)，）當(dāng)角1（ ，反之也對(duì)； ）當(dāng)角（2為第二象限角時(shí)， ，反之也對(duì)； （3）當(dāng)角為第三象限角時(shí)， ，反之也對(duì) 4）當(dāng)角為第四象限角時(shí)， （ 7 的正弦、余弦和正切值5求 6 的正弦、余

14、弦和正切值），求角P已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)（12，56 ：7求下列三角函數(shù)值（求非特殊角的三角函數(shù)值可用計(jì)算器）1931?tan ）； （ ；（3）sin（）（1cos 1 109； 2）tan4?050 ?1?43?設(shè)計(jì)意圖：通過應(yīng)用三角函數(shù)的定義，熟悉和記憶特殊角的三角函數(shù)值、三角函數(shù)值的符號(hào)、公式一，以及求三角函數(shù)值，加強(qiáng)對(duì)三角函數(shù)概念的理解 師生活動(dòng)：根據(jù)教學(xué)的實(shí)際情況，對(duì)練習(xí)題的數(shù)量和內(nèi)容作具體調(diào)整 5小結(jié) 問題9：銳角三角函數(shù)與解直角三角形直接相關(guān)，初中我們是利用直角三角形邊的比值來表示其銳角的三角函數(shù)通過今天的學(xué)習(xí)，我們知道任意角的三角函數(shù)雖然是銳角三角函數(shù)的推廣，但它與解三角形已經(jīng)沒有什么關(guān)系了我們是利用單位圓來定義任意角的三角函數(shù)，借助直角坐標(biāo)系中的單位圓，我們建立了角的變化與單位圓上點(diǎn)的變化之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而利用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值來表示圓心角的三角函數(shù)你能再回顧一下我們是如何借助單位圓給出任意角三角函數(shù)的定義嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容 師生活動(dòng)：在學(xué)生給出定義之后，教師進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)用單位圓定義三角函數(shù)的優(yōu)點(diǎn) 問題10：今天我們不僅學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)的定義，還接觸了定義的一些應(yīng)用你能不能歸納一下，今天我們利用定義解決了哪些問題？