勾股定理與全等三角形

1、.1、已知：如圖，ABC中，C=90，D為AB的中點(diǎn)，E、F分別在AC、BC上，且DEDF求證：AE2+BF2=EF22、如圖，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，D為AB邊上一點(diǎn)，求證：（1）ACEBCD；（2）AD2+DB2=DE23、如圖，ABC中，AB=BC，BEAC于點(diǎn)E，ADBC于點(diǎn)D，BAD=45，AD與BE交于點(diǎn)F，連接CF（1）求證：BF=2AE；（2）若CD= 2，求AD的長4、如圖，已知點(diǎn)D在AB上，ABC和ADE都是等腰直角三角形，ABC=ADE=90，且M為EC的中點(diǎn)（1）求證：BMD為等腰直角三角形（思路點(diǎn)撥：考慮M為EC的中點(diǎn)的作用，可以延長D

2、M交BC于N，構(gòu)造CMNEMD，于是ED=CN=DA，即可以證明BND也是等腰直角三角形，且BM是等腰三角形底邊的中線就可以了）請(qǐng)你完成證明過程：（2）將ADE繞點(diǎn)A再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90時(shí)（如圖所示位置），BMD為等腰直角三角形的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明：若不成立，請(qǐng)說明理由1、證明：延長ED到G，使DG=DE，連接EF、FG、CG，如圖所示：DF=DF，EDF=FDG=90，DG=DEEDFGDF（SAS），EF=FG又D為斜邊BC中點(diǎn)BD=DC又BDE=CDG，DE=DG BDECDG（SAS） BE=CG，B=BCG ABCGGCA=180-A=180-90=90在RtFCG中，由勾股

3、定理得：FG2=CF2+CG2=CF2+BE2EF2=FG2=BE2+CF2證明：過點(diǎn)A作AMBC，交FD延長線于點(diǎn)M，連接EMAMBC，MAE=ACB=90，MAD=BAD=BD，ADM=BDF，ADMBDFAM=BF，MD=DF又DEDF，EF=EMAE2+BF2=AE2+AM2=EM2=EF22、證明：（1）ACB=ECD，ACD+BCD=ACD+ACE，即BCD=ACEBC=AC，DC=EC，ACEBCD（2）ACB是等腰直角三角形，B=BAC=45度ACEBCD，B=CAE=45DAE=CAE+BAC=45+45=90，AD2+AE2=DE2由（1）知AE=DB，AD2+DB2=DE

4、23、解答：（1）證明：ADBC，BAD=45，ABD是等腰直角三角形，AD=BD，BEAC，ADBC，CAD+ACD=90，CBE+ACD=90，CAD=CBE，在ADC和BDF中，CADCBEADBDADCBDF90，ADCBDF（ASA），BF=AC，AB=BC，BEAC，AC=2AE，BF=2AE；（2）解：ADCBDF，DF=CD=2，在RtCDF中，CF=DF2+CD2=22+22=2，BEAC，AE=EC，AF=CF=2，AD=AF+DF=2+24、解答：（1）證明：延長DM交BC于N，EDA=ABC=90，DEBC，DEM=MCB，在EMD和CMN中DEMNCMEMCMEMDNMC，EMDCMN，CN=DE=DA，MN=MD，BA=BC，BD=BN，DBN是等腰直角三角形，且BM是底邊的中線，BMDM，DBM=12DBN=45=BDM， BMD為等腰直角三角形（2）解：BMD為等腰直角三角形的結(jié)論仍成立，證明：作CNDE交DM的延長線于N，連接BN，E=MCN=45，DME=NMC，EM=CM，EMDCMN（ASA），CN=DE=DA，MN=MD，在DBA和NBC中DACNDABBCN，BABCDBANBC，DBA=NBC