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文檔簡介
1、All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,12.7 主振型的正交性,在同一體系中,不同的兩個固有振型之間,無論對于M或是K,都具有正交的性質(分別稱為第一正交性和第二正交性。,利用這一特性,一是可以將多自由度體系的強迫振動簡化為單自由度問題(主要應用在任意干擾力作用下的強迫振動),二是可以檢查主振型的計算是否正確,并判斷主振型的形狀特點。,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,12.7.1 主振型的第一正交性,n個自由度體系的振型方程為,設wi為第i個自振頻率,其相應的振型為 ;wj為第j個自振頻率,其相應的振型為 。將它們分別代入上式,可得,(a)
2、,(b),對式(a)兩邊左乘以 ,對式(b)兩邊左乘以 ,則有,(c),(d),All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,將式(c)減去式(e),得,當 時,得,式(12-83)稱為主振型的第一正交性,它表明,對于質量矩陣M,不同頻率的兩個主振型是彼此正交的。,(12-83a),All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,12.7.2 主振型的第二正交性,將式(12-83a)代入式(c),可得,(12-84),式(12-84)稱為主振型的第二正交性,它表明,對于剛度矩陣K,不同頻率的兩個主振型也是彼此正交的。,12.7.3 主振型正交性的物理意義,1.第一
3、正交性的物理意義,將式 分別乘以 和 ,可以得出以下兩式,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,式(a)說明第i主振型慣性力在第j主振型上所做的虛功為零;式(b)說明第j主振型慣性力在第i主振型上所做的虛功為零。因此,第一正交性的物理意義是:相應于某一主振型的慣性力不會在其他主振型上做功。,(a),(b),All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,2.第二正交性的物理意義,由式(12-84),可推導出,(c),由式(c)可知,第二正交性的物理意義是:相應于某一主振型的彈性力不會在其他主振型上做功。,3.小結,主振型的正交性可理解為:相應于某一主振型作簡諧振動的能量不會轉移到其他振型上去,也就不會引起其他振型的振動。因此,各主振型可單獨存在而不互相干擾。,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,【例12-29】試驗算例12-26所求得的主振型是否滿足正交關系。,解:由例12-26得知質量矩陣和剛度矩陣分別為,又三個主振型分別為,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,(1)驗算第一正交性,同時,有,All Rights Reserved,重慶大學土木工程學院,(2)
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