12.7主振型的正交性.ppt

1、All Rights Reserved,重慶大學(xué)土木工程學(xué)院,12.7 主振型的正交性,在同一體系中，不同的兩個(gè)固有振型之間，無(wú)論對(duì)于M或是K，都具有正交的性質(zhì)（分別稱為第一正交性和第二正交性。,利用這一特性，一是可以將多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)化為單自由度問(wèn)題（主要應(yīng)用在任意干擾力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)），二是可以檢查主振型的計(jì)算是否正確，并判斷主振型的形狀特點(diǎn)。,All Rights Reserved,重慶大學(xué)土木工程學(xué)院,12.7.1 主振型的第一正交性,n個(gè)自由度體系的振型方程為,設(shè)wi為第i個(gè)自振頻率，其相應(yīng)的振型為 ；wj為第j個(gè)自振頻率，其相應(yīng)的振型為 。將它們分別代入上式，可得,(a)

2、,(b),對(duì)式(a)兩邊左乘以 ，對(duì)式(b)兩邊左乘以 ，則有,(c),(d),All Rights Reserved,重慶大學(xué)土木工程學(xué)院,將式(c)減去式(e)，得,當(dāng) 時(shí)，得,式（12-83）稱為主振型的第一正交性，它表明，對(duì)于質(zhì)量矩陣M，不同頻率的兩個(gè)主振型是彼此正交的。,(12-83a),All Rights Reserved,重慶大學(xué)土木工程學(xué)院,12.7.2 主振型的第二正交性,將式(12-83a)代入式(c)，可得,(12-84),式（12-84）稱為主振型的第二正交性，它表明，對(duì)于剛度矩陣K，不同頻率的兩個(gè)主振型也是彼此正交的。,12.7.3 主振型正交性的物理意義,1.第一

3、正交性的物理意義,將式 分別乘以 和 ，可以得出以下兩式,All Rights Reserved,重慶大學(xué)土木工程學(xué)院,式(a)說(shuō)明第i主振型慣性力在第j主振型上所做的虛功為零；式(b)說(shuō)明第j主振型慣性力在第i主振型上所做的虛功為零。因此，第一正交性的物理意義是：相應(yīng)于某一主振型的慣性力不會(huì)在其他主振型上做功。,(a),(b),All Rights Reserved,重慶大學(xué)土木工程學(xué)院,2.第二正交性的物理意義,由式（12-84），可推導(dǎo)出,(c),由式(c)可知，第二正交性的物理意義是：相應(yīng)于某一主振型的彈性力不會(huì)在其他主振型上做功。,3.小結(jié),主振型的正交性可理解為：相應(yīng)于某一主振型作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量不會(huì)轉(zhuǎn)移到其他振型上去，也就不會(huì)引起其他振型的振動(dòng)。因此，各主振型可單獨(dú)存在而不互相干擾。,All Rights Reserved,重慶大學(xué)土木工程學(xué)院,【例12-29】試驗(yàn)算例12-26所求得的主振型是否滿足正交關(guān)系。,解：由例12-26得知質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為,又三個(gè)主振型分別為,All Rights Reserved,重慶大學(xué)土木工程學(xué)院,(1)驗(yàn)算第一正交性,同時(shí)，有,All Rights Reserved,重慶大學(xué)土木工程學(xué)院,(2)