層次分析法例題

1、.專題：層次分析法一般情況下，物流系統(tǒng)的評價屬于多目標、多判據(jù)的系統(tǒng)綜合評價。如果僅僅依靠評價者的定性分析和邏輯判斷，缺乏定量分析依據(jù)來評價系統(tǒng)方案的優(yōu)劣，顯然是十分困難的。尤其是物流系統(tǒng)的社會經(jīng)濟評價很難作出精確的定量分析。層次分析法（Analytical Hierarchy Process）由美國著名運籌學家薩蒂（TLSaaty）于1982年提出，它綜合了人們主觀判斷，是一種簡明、實用的定性分析與定量分析相結合的系統(tǒng)分析與評價的方法。目前，該方法在國內已得到廣泛的推廣應用，廣泛應用于能源問題分析、科技成果評比、地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展方案比較，尤其是投入產(chǎn)出分析、資源分配、方案選擇及評比等方面。它既是

2、一種系統(tǒng)分析的好方法，也是一種新的、簡潔的、實用的決策方法。 層次分析法的基本原理 人們在日常生活中經(jīng)常要從一堆同樣大小的物品中挑選出最重的物品。這時，一般是利用兩兩比較的方法來達到目的。假設有n個物品，其真實重量用w1，w2，wn表示。要想知道w1，w2，wn的值，最簡單的就是用秤稱出它們的重量，但如果沒有秤，可以將幾個物品兩兩比較，得到它們的重量比矩陣A。 如果用物品重量向量W=w1，w2，wnT右乘矩陣A，則有： 由上式可知，n是A的特征值，W是A的特征向量。根據(jù)矩陣理論，n是矩陣A的唯一非零解，也是最大的特征值。這就提示我們，可以利用求物品重量比判斷矩陣的特征向量的方法來求得物品真實的

3、重量向量W。從而確定最重的物品。 將上述n個物品代表n個指標（要素），物品的重量向量就表示各指標（要素）的相對重要性向量，即權重向量；可以通過兩兩因素的比較，建立判斷矩陣，再求出其特征向量就可確定哪個因素最重要。依此類推，如果n個物品代表n個方案，按照這種方法，就可以確定哪個方案最有價值。 應用層次分析法進行系統(tǒng)評價的主要步驟如下： （1）將復雜問題所涉及的因素分成若干層次，建立多級遞階的層次結構模型（目標層、判斷層、方案層）。 （2）標度及描述。同一層次任意兩因素進行重要性比較時，對它們的重要性之比做出判斷，給予量化。（3）對同屬一層次的各要素以上一級的要素為準則進行兩兩比較，根據(jù)評價尺度確

4、定其相對重要度，據(jù)此構建判斷矩陣A。 （4）計算判斷矩陣的特征向量，以此確定各層要素的相對重要度（權重）。 （5）最后通過綜合重要度（權重）的計算，按照最大權重原則，確定最優(yōu)方案。 例題：某物流企業(yè)需要采購一臺設備，在采購設備時需要從功能、價格與可維護性三個角度進行評價，考慮應用層次分析法對3個不同品牌的設備進行綜合分析評價和排序，從中選出能實現(xiàn)物流規(guī)劃總目標的最優(yōu)設備，其層次結構如下圖所示。以A表示系統(tǒng)的總目標，判斷層中表示功能，表示價格，表示可維護性。，表示備選的3種品牌的設備。購買設備A功能B1價格B2維護性B3產(chǎn)品C1產(chǎn)品C2產(chǎn)品C3目標層判斷層方案層圖 設備采購層次結構圖解題步驟：1

5、、標度及描述人們定性區(qū)分事物的能力習慣用5個屬性來表示，即同樣重要、稍微重要、較強重要、強烈重要、絕對重要，當需要較高精度時，可以取兩個相鄰屬性之間的值，這樣就得到9個數(shù)值，即9個標度。為了便于將比較判斷定量化，引入19比率標度方法，規(guī)定用1、3、5、7、9分別表示根據(jù)經(jīng)驗判斷，要素i與要素j相比：同樣重要、稍微重要、較強重要、強烈重要、絕對重要，而2、4、6、8表示上述兩判斷級之間的折衷值。 標度定義（比較因素i與j）1因素i與j同樣重要3因素i與j稍微重要5因素i與j較強重要7因素i與j強烈重要9因素i與j絕對重要2、4、6、8兩個相鄰判斷因素的中間值倒數(shù)因素i與j比較得判斷矩陣a ij，

6、則因素j與i相比的判斷為aji=1/aij注：aij表示要素i與要素j相對重要度之比，且有下述關系： aij=1/aji ；aii=1； i，j=1，2，n 顯然，比值越大，則要素i的重要度就越高。 2、構建判斷矩陣A判斷矩陣是層次分析法的基本信息，也是進行權重計算的重要依據(jù)。 根據(jù)結構模型，將圖中各因素兩兩進行判斷與比較，構造判斷矩陣：判斷矩陣(即相對于物流系統(tǒng)總目標，判斷層各因素相對重要性比較)如表1所示；判斷矩陣(相對功能，各方案的相對重要性比較)如表2所示；判斷矩陣(相對價格，各方案的相對重要性比較)如表3所示；判斷矩陣(相對可維護性，各方案的相對重要性比較)如表4所示。表1判斷矩陣1

7、1/323151/21/51表2 判斷矩陣1l/31/5311/3531表3 判斷矩陣B2-C1271/2151/71/51表4判斷矩陣13l/7l/311/97913、計算各判斷矩陣的特征值、特征向量及一致性檢驗指標一般來講，在AHP法中計算判斷矩陣的最大特征值與特征向量，必不需要較高的精度，用求和法或求根法可以計算特征值的近似值。 求和法 1）將判斷矩陣A按列歸一化（即列元素之和為1）：bij= aij /aij；2）將歸一化的矩陣按行求和：ci=bij （i=1，2，3.n）；3）將ci歸一化：得到特征向量W=（w1，w2，wn ）T，wi=ci /ci ，W即為A的特征向量的近似值；4

8、）求特征向量W對應的最大特征值：求根法 1）計算判斷矩陣A每行元素乘積的n次方根； （i =1, 2, , n）2）將歸一化，得到；W=（w1，w2，wn ）T即為A的特征向量的近似值；3）求特征向量W對應的最大特征值：(1)判斷矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗計算矩陣的特征向量。計算判斷矩陣各行元素的乘積，并求其次方根，如，類似地有，。對向量規(guī)范化，有類似地有，。所求得的特征向量即為：計算矩陣的特征根類似地可以得到，。按照公式計算判斷矩陣最大特征根：一致性檢驗。實際評價中評價者只能對A進行粗略判斷，這樣有時會犯不一致的錯誤。如，已判斷C1比C2重要，C2比C3較重要，那么，C1應該比C3更

9、重要。如果又判斷C1比C3較重要或同等重要，這就犯了邏輯錯誤。這就需要進行一致性檢驗。 根據(jù)層次法原理，利用A的理論最大特征值max與n之差檢驗一致性。 一致性指標：計算0.1，查同階平均隨機一致性指標（表5所示）知，（一般認為CI0.1、 CR0.1時，判斷矩陣的一致性可以接受，否則重新兩兩進行比較）。表5 平均隨機一致性指標階數(shù)34567891011121314RI0.580.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.58(2)判斷矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗類似于第(1)步的計算過程，可以得到矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗如下：，(3)判斷

10、矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗類似于第(1)步的計算過程，可以得到矩陣刀：C的特征根、特征向量與一致性檢驗如下：，(4)判斷矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗類似于第(1)步的計算過程，可以得到矩陣的特征根、特征向量與一致性檢驗如下：，4、層次總排序獲得同一層次各要素之間的相對重要度后，就可以自上而下地計算各級要素對總體的綜合重要度。設二級共有m個要素c1, c2,cm，它們對總值的重要度為w1, w2, wm；她的下一層次三級有p1, p2,pn共n個要素，令要素pi對cj的重要度（權重）為vij，則三級要素pi的綜合重要度為： 方案C1的重要度（權重）=0.2300.105+0.648

11、0.529+0.1220.149=0.426方案C2的重要度（權重）=0.2300.258+0.6480.333+0.1220.066=0.283方案C3的重要度（權重）=0.2300.637+0.6480. 075+0.1220.785=0.291依據(jù)各方案綜合重要度的大小，可對方案進行排序、決策。 層次總排序如表6所示。表6 層次總排序層次層次層次C總排序權重0.2300.6480.1220.1050.5920.1490.4260.2580.3330.0660.2830.6370.0750.7850.2915、結論由表5可以看出，3種品牌設備的優(yōu)劣順序為：，且品牌1明顯優(yōu)于其他兩種品牌的設備。作業(yè)：某配送中心的設計中要對某類物流裝備進行決策，現(xiàn)初步選定三種設備配套方案，應用層次分析