高等數(shù)學：D10_2二重積分的計算新

1、三、二重積分的換元法,第二節(jié),一、利用直角坐標計算二重積分,二、利用極坐標計算二重積分,二重積分的計算法,第十章,曲頂柱體在間距為 的兩個截面間的體積微元,由微元法可得平行截面面積為已知的立體體積為,引子：曲頂柱體體積的計算,設(shè)曲頂柱體的底為,任取,平面,故曲頂柱體體積為,截面積為,截柱體的,記作,平行截面面積為已知的立體的體積,同樣, 曲頂柱的底為,則其體積可按如下兩次積分計算,記作,例. 求兩個底圓半徑為R 的直交圓柱面所圍的體積,解: 設(shè)兩個直交圓柱方程為,利用對稱性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為,則所求體積為,且在D上連續(xù)時,由曲頂柱體體積的計算可知,若D為 X - 型區(qū)域,則

2、,若D為Y - 型區(qū)域,則,一、利用直角坐標計算二重積分,當被積函數(shù),均非負,在D上變號時,因此上面討論的累次積分法仍然有效,由于,說明: (1) 若積分區(qū)域既是 X - 型區(qū)域又是Y - 型區(qū)域,為計算方便,可選擇積分序, 必要時還可以交換積分序,則有,2) 若積分域較復雜,可將它分成若干,X - 型域或Y - 型域,則,例1. 計算,其中D 是直線 y1, x2, 及,yx 所圍的閉區(qū)域,解法1. 將D看作X - 型區(qū)域, 則,解法2. 將D看作Y - 型區(qū)域, 則,例2. 計算,其中D 是拋物線,所圍成的閉區(qū)域,解: 為計算簡便, 先對 x 后對 y 積分,及直線,則,例3. 計算,其中

3、D 是直線,所圍成的閉區(qū)域,解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X - 型域,先對 x 積分不行,說明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序,例4-1. 交換下列積分順序,解: 積分域由兩部分組成,視為Y - 型區(qū)域 , 則,解,原式,例4-2,給定,改變積分的次序,例5. 計算,其中D 由,所圍成,解: 令,如圖所示,顯然,二、利用極坐標計算二重積分,對應有,在極坐標系下, 用同心圓 r =常數(shù),則除包含邊界點的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積,在,內(nèi)取點,及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為,即,設(shè),則,特別, 對,此時若 f 1 則可求得D 的面積,思考: 下列各圖中域 D 分別與 x , y

4、 軸相切于原點,試,答,問 的變化范圍是什么,1,2,例6. 計算,其中D 為由圓,所圍成的,及直線,解,平面閉區(qū)域,例7. 計算,其中,解: 在極坐標系下,原式,的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角,由于,故,坐標計算,注,利用上題可得一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上,非常有用的反常積分公式,事實上,故式成立,又,例8. 求球體,被圓柱面,所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積,解: 設(shè),由對稱性可知,例9. 交換積分順序,提示: 積分域如圖,三、二重積分換元法,定積分換元法,滿足,一階偏導數(shù)連續(xù),雅可比行列式,3) 變換,則,定理,變換,是一一對應的,證: 根據(jù)定理條件可知變換 T 可逆,用平

5、行于坐標軸的,直線分割區(qū)域,任取其中一個小矩,形, 其頂點為,通過變換T, 在 xOy 面上得到一個四邊,形,其對應頂點為,則,同理得,當h, k 充分小時,曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四,邊形,故其面積近似為,因此面積元素的關(guān)系為,從而得二重積分的換元公式,例如, 直角坐標轉(zhuǎn)化為極坐標時,例8. 計算,其中D 是 x 軸 y 軸和直線,所圍成的閉域,解: 令,則,例9. 計算由,所圍成的閉區(qū)域 D 的面積 S,解: 令,則,例10. 試計算橢球體,解,由對稱性,令,則D 的原象為,的體積V,內(nèi)容小結(jié),1) 二重積分化為二次積分的方法,直角坐標系情形,若積分區(qū)域為,則,若積分區(qū)域為,則,則,極坐標系情形: 若積分區(qū)域為,3) 計算步驟及注意事項,畫出積分域,選擇坐標系,確定積分序,寫出積分限,計算要簡便,域邊界應盡量多為坐標線,被積函數(shù)關(guān)于坐標變量易