2009年漳州市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽(試卷

1、2009年漳州市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽（高二年）一、填空（本大題共10小題，每小題7分，滿分70分，請(qǐng)直接將答案寫在題中的橫線上）1.已知圴為銳角，且滿足=，則與的關(guān)系是 2.設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值與最小值的和為 3.空間四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等，則它的兩條對(duì)角線所成的角為 4.長度為18的線段隨機(jī)地分成三段，這三段能夠構(gòu)成三角形的概率為 5.若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則= 6.若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且，；則首項(xiàng)的值等于 7.不等式的解集為 8.表示不大于的最大整數(shù)，則方程的實(shí)數(shù)解是 9.在中，已知，則的值為 10.已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)T，對(duì)任

2、意，恒有成立，現(xiàn)有函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 二、解答題（本大題共4小題，每小題20分，滿分80分，要求寫出解答過程） 11.對(duì)于函數(shù)，若存在，使得成立，則稱點(diǎn)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。（1）令，求證：點(diǎn)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)必是的不動(dòng)點(diǎn)。 （2）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)總有2個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（3）若定義在R上的奇函數(shù)存在n個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則n必為奇數(shù)。12.過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，作直線AB與橢圓交于點(diǎn)A、B，作直線CD與橢圓交于C、D，過A、B分別作橢圓的切線交于點(diǎn)P，過C、D分別作橢圓的切線交于點(diǎn)Q，求P、Q連線所在的直線方程。、13.設(shè)是曲線上的點(diǎn)列，是正半軸上的點(diǎn)列，且均是等邊三角形，又設(shè)它們的

3、邊長分別是；是數(shù)列的前項(xiàng)和，求。14.設(shè)且，求三元函數(shù)的最小值，并給予證明。2009年漳州市高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽（高二年）一、填空（本大題共10小題，每小題7分，滿分70分，請(qǐng)直接將答案寫在題中的橫線上）1.已知圴為銳角，且滿足=，則與的關(guān)系是 2.設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最大值與最小值的和為 34 3.空間四邊形的兩組對(duì)邊的平方和相等，則它的兩條對(duì)角線所成的角為 90 4.長度為18的線段隨機(jī)地分成三段，這三段能夠構(gòu)成三角形的概率為 0.25 5.若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，則= 2 6.若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，且，；則首項(xiàng)的值等于 7.不等式的解集為 8.表示不大于的最大整數(shù)，則方程

4、的實(shí)數(shù)解是 9.在中，已知，則的值為 10.已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)的全體：存在非零常數(shù)T，對(duì)任意，恒有成立，現(xiàn)有函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 二、解答題（本大題共4小題，每小題20分，滿分80分，要求寫出解答過程） 11.對(duì)于函數(shù)，若存在，使得成立，則稱點(diǎn)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)。（1）令，求證：點(diǎn)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)必是的不動(dòng)點(diǎn)。 （2）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)總有2個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。（3）若定義在R上的奇函數(shù)存在n個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則n必為奇數(shù)。證明（1）：由不動(dòng)點(diǎn)的定義知，從而=是的不動(dòng)點(diǎn)。（2）由條件知，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即有兩個(gè)不等實(shí)根，恒成立，即對(duì)任意實(shí)數(shù)b，恒成立。，即，解得

5、。（3）由于是定義在R上的奇函數(shù)，從而，即是的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。若有異于零的不動(dòng)點(diǎn)， 則有，從而，即亦是的不動(dòng)點(diǎn)，的非零不動(dòng)點(diǎn)均為成對(duì)出現(xiàn)，共有個(gè)，由于是的不動(dòng)點(diǎn)，的不動(dòng)點(diǎn)共有個(gè)。12.過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，作直線AB與橢圓交于點(diǎn)A、B，作直線CD與橢圓交于C、D，過A、B分別作橢圓的切線交于點(diǎn)P，過C、D分別作橢圓的切線交于點(diǎn)Q，求P、Q連線所在的直線方程。解：如圖，過點(diǎn)A、B、C、D的切線方程分別為 因點(diǎn)在PA，PB上，則在PA，PB上，則 這表明在直線上。由于兩點(diǎn)決定一直線，為，同理，CD所在的直線方程為，因?yàn)锳B與CD相交于所以M點(diǎn)坐標(biāo)分別滿足AB，CD直線方程，因此。這表明P、Q在直線上，由兩點(diǎn)決定一條直線知，PQ所在直線方程為。13.設(shè)是曲線上的點(diǎn)列，是正半軸上的點(diǎn)列，且均是等邊三角形，又設(shè)它們的邊長分別是；是數(shù)列的前項(xiàng)和，求。解：如圖，的坐標(biāo)為，直線的方程為，因此點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，消去得， 又 ，故 從而 ， 從而兩式相減得 已知，因此是以為公差的等差數(shù)列。