高數(shù)第十章 重積分的應用【研究材料】

1、,第四節(jié),一、立體體積,二、曲面的面積,三、物體的質心,四、物體的轉動慣量,五、物體的引力,重積分的應用,第十章,1,調研學習,1. 能用重積分解決的實際問題的特點:,所求量是,對區(qū)域具有可加性, 用微元分析法 (元素法)建立積分式,分布在有界閉域上的整體量,3. 解題要點:,畫出積分域、選擇坐標系、確定積分序、,定出積分限、計算要簡便,2. 用重積分解決問題的方法:,2,調研學習,一、立體體積,曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面,則其體積為,占有空間有界域 的立體的體積為,3,調研學習,任一點的切平面與曲面,所圍立體的體積 V .,例1. 求曲面,分析:,第一步: 求切平面 方程;,第二步: 求 與S2

2、的交線 在xOy面上的投影,寫出所圍區(qū)域 D ;,第三步: 求體積V .,(示意圖),4,調研學習,任一點的切平面與曲面,所圍立體的體積 V .,解: 曲面,的切平面方程為,它與曲面,的交線在 xOy 面上的投影為,(記所圍域為D ),在點,例1. 求曲面,5,調研學習,例2. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的,內接錐面所圍成的立體的體積.,解: 在球坐標系下空間立體所占區(qū)域為,則立體體積為,6,調研學習,二、曲面的面積,設光滑曲面,則面積 A 可看成曲面上各點,處小切平面的面積 d A 無限積累而成.,設它在 D 上的投影為 d ,(稱為面積元素),則,7,調研學習,故有曲面面積公式,若光滑

3、曲面方程為,則有,即,8,調研學習,若光滑曲面方程為,若光滑曲面方程為隱式,則,則有,且,9,調研學習,例3. 計算雙曲拋物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xOy 面上投影為,則,出的面積 A .,10,調研學習,例4. 計算半徑為 a 的球的表面積.,解:,設球面方程為,球面面積元素為,方法2 利用直角坐標方程. (略),方法1 利用球坐標方程.,11,調研學習,三、物體的質心,設空間有n個質點,其質量分別,由力學知, 該質點系的質心坐標,設物體占有空間域 ,有連續(xù)密度函數(shù),則,公式 ,分別位于,為,為,即:,采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限” 可導出其質心,12,調研學習,將

4、分成 n 小塊,將第 k 塊看作質量集中于點,例如,令各小區(qū)域的最大直徑,系的質心坐標就近似該物體的質心坐標.,的質點,即得,此質點,在第 k 塊上任取一點,13,調研學習,同理可得,則得形心坐標：,14,調研學習,若物體為占有xOy 面上區(qū)域 D 的平面薄片,( A 為D 的面積),得D 的形心坐標:,則它的質心坐標為,其面密度, 對 x 軸的 靜矩, 對 y 軸的 靜矩,15,調研學習,例5. 求位于兩圓,和,的質心.,解: 利用對稱性可知,而,之間均勻薄片,16,調研學習,例6. 一個煉鋼爐為旋轉體形, 剖面壁線,的方程為,內儲有高為 h 的均質鋼液,解: 利用對稱性可知質心在 z 軸上

5、，,采用柱坐標, 則爐壁方程為,因此,故,自重, 求它的質心.,若爐,不計爐體的,其坐標為,17,調研學習,18,調研學習,四、物體的轉動慣量,設物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù),該物體位于(x , y , z) 處的微元,因此物體 對 z 軸 的轉動慣量:,對 z 軸的轉動慣量為,因質點系的轉動慣量等于各質點的轉動慣量之和,故,連續(xù)體的轉動慣量可用積分計算.,19,調研學習,類似可得:,對 x 軸的轉動慣量,對 y 軸的轉動慣量,對原點的轉動慣量,20,調研學習,如果物體是平面薄片,面密度為,則轉動慣量的表達式是二重積分.,21,調研學習,例7.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對其直徑

6、,解: 建立坐標系如圖,半圓薄片的質量,的轉動慣量.,22,調研學習,解: 取球心為原點, z 軸為 l 軸,則,球體的質量,例8.求密度為 的均勻球體對于過球心的一條軸 l 的,設球所占,域為,(用球坐標),轉動慣量.,23,調研學習,解: 取球心為原點, z 軸為 l 軸,則,球體的質量,例8.求密度為 的均勻球體對于過球心的一條軸 l 的,設球所占,域為,(用球坐標),轉動慣量.,24,調研學習,G 為引力常數(shù),五、物體的引力,設物體占有空間區(qū)域 ,物體對位于點P0(x0, y0, z0)處的單位質量質點的引力為,其密度函數(shù),引力元素在三坐標軸上分量為,其中,25,調研學習,若求 xOy

7、 面上的平面薄片D,對點P0處的單位質量質點,的引力分量,因此引力分量為,則上式改為D上的二重積分, 密度函數(shù)改為,即可. 例如,其中:,26,調研學習,例9.,設面密度為 ,半徑為R的圓形薄片,求它對位于點,解: 由對稱性知引力,處的單位質量質點的引力.,。,27,調研學習,例10. 求半徑為R的均勻球,對位于,的單位質量質點的引力.,解: 利用對稱性知引力分量,點,28,調研學習,29,調研學習,作業(yè),P153 7，10 , 17 P173 1，3，6, 11, 13 , 14,習題課,30,調研學習,( t 為時間) 的雪堆在融化過程中,其,側面滿足方程,設長度單位為厘米,時間單位為小時,設有一高度為,已知體積減少的速率與側面積成正比,(比例系數(shù) 0.9 ),問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要,多