《復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)》PPT課件.ppt

1、1.2.2復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),復(fù)習(xí),導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則,cf(x)= Cf(x)(c為常數(shù),復(fù)習(xí),1). 求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù),2).如何求函數(shù)y=ln(x+2)的導(dǎo)數(shù)呢,把平方式展開,利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求導(dǎo),是否還有用其它的辦法求導(dǎo)呢,探 究,二、新課復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),1.復(fù)合函數(shù)的概念,對于函數(shù)y=f(u)和u=g(x),如果通過變量u,y可以示成x的函數(shù),那么稱這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y=f (u)和u=g(x)的復(fù)合函數(shù),記作y=f(g(x,問題1:指出下列函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,解,2.求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),如:求函數(shù)y=(3x-2)2的導(dǎo)數(shù),注:1)y對x的導(dǎo)數(shù)等于y對u的導(dǎo)數(shù)與u對x的導(dǎo)數(shù) 的乘積

2、,復(fù)合函數(shù)y=f(g(x)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y=f(u),u=g(x)的導(dǎo)數(shù)間關(guān)系為,2)法則可以推廣到兩個(gè)以上的中間變量,3)在書寫時(shí)不要把 寫成 ,兩者是不完全一樣的,前者表示對自變量x的求導(dǎo),而后者是對中間變量 的求導(dǎo),或,令y=u2,u=3x-2,則 從而,3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,應(yīng) 用 舉 例,例1：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù),1）y=(5x-6)2,2）y=e-0.05x+1,4）y=sin(x+);(,為常數(shù),3)y=ln(x+2,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟： 分解求導(dǎo)相乘回代,函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)是(,A,練 習(xí),題型一 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法,2)令u=x2,則y=cosu, yx=yuux=- sinu2

3、x =-2x sinx2,規(guī)律技巧:求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),要分清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系,對于分式型的可化為冪的形式求導(dǎo),關(guān)鍵選好中間變量.最后將中間變量代回到原自變量的函數(shù),例2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù). (1)y=(x2-4)2,解:(1)(方法1)y=(x2-4)2=x4-8x2+16 y=(x4-8x2+16) =4x3-16x. (方法2)y=2(x2-4)(x2-4) =2(x2-4)2x =4x3-16x,2)y=log2(2x2+3x+1,3)y=e sin(ax+b,3)y=e sin(ax+b)=e sin(ax+b) sin(ax+b) =e sin(ax+b)cos(ax+b)(ax+b)

4、 =acos(ax+b)e sin(ax+b,變式訓(xùn)練2:求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù),2)y=( sin3x+ sinx3) =3 sin2x( sinx)+cosx3(x3) =3 sin2xcosx+3x2cosx3,1、求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù),課堂練習(xí),2、求曲線y=sin2x在點(diǎn)P(，0）處的切線方程,題型二 求導(dǎo)法則的綜合應(yīng)用 例3:已知函數(shù)f(x)是關(guān)于x的二次函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f(x),且xR,x2f(x)-(2x-1)f(x)=1恒成立,求函數(shù)f(x)的解析式,解:設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a0), 則f(x)=2ax+b. 又x2f(x)-(2x-1)f(x) =x2(2ax+b)-(2x

5、-1)(ax2+bx+c) =(a-b)x2+(b-2c)x+c=1恒成立,變式訓(xùn)練3:已知函數(shù)f(x)是關(guān)于x的三次函數(shù),且f(0)=3,f(0)=0,f(1)=-3,f(2)=0,求f(x)的解析式,解:設(shè)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0), 則f(x)=3ax2+2bx+c. 由f(0)=3,得d=3, 由f(0)=0,得c=0,小結(jié) ： 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要注意分析復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu)，引入中間變量，將復(fù)合函數(shù)分解成為較簡單的函數(shù)，然后再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則求導(dǎo)； 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的基本步驟是： 分解求導(dǎo)相乘回代,求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解,2,解,可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù);可導(dǎo)的奇函數(shù)的導(dǎo)

6、函數(shù)為偶函數(shù)”.現(xiàn)在利用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)加以證明,證:當(dāng)f(x)為可導(dǎo)的偶函數(shù)時(shí),則f(-x)=f(x).兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)得:得: 故 為奇函數(shù),同理可證另一個(gè)命題,我們還可以證明類似的一個(gè)結(jié)論:可導(dǎo)的周期函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù),證:設(shè)f(x)為可導(dǎo)的周期函數(shù),T為其一個(gè)周期,則對定義域內(nèi)的每一個(gè)x,都有f(x+T)=f(x,兩邊同時(shí)對x求導(dǎo)得: 也是以T為周期的周期函數(shù),例5:設(shè)f(x)可導(dǎo),求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)f(x2);(2)f( );(3)f(sin2x)+f(cos2x,解,說明:對于抽象函數(shù)的求導(dǎo),一方面要從其形式是把握其結(jié)構(gòu)特征,另一方面要充分運(yùn)用復(fù)合關(guān)系的求導(dǎo)法則,求證雙曲線C1:x2-y2=5與橢圓C2:4x2+9y2=72在交 點(diǎn)處的切線互相垂直,證:由于曲線的圖形關(guān)于坐標(biāo)軸對稱,故只需證明其中一個(gè)交點(diǎn)處的切線互相垂直即可,聯(lián)立兩曲線