矩陣論B卷及答案上海交通大學(xué)

1、上海交通大學(xué)矩陣論 B卷姓名： 班級： 學(xué)號：一、 單項選擇題(每題3分，共15分)（答案AAAAB）1. 設(shè)收斂，則A可以取為A. B. C. D. 注：A的特征值為0，-1，而的收斂區(qū)間為2. 設(shè)M是n階實數(shù)矩陣，若M的n個蓋爾圓彼此分離，則MA. 可以對角化 B. 不能對角化 C. 冪收斂 D. 冪發(fā)散 注：由定理M有n個不同特征值，故可以對角化3. 設(shè)的，則M不存在A. QR分解 B. 滿秩分解 C. 奇異值分解 D. 譜分解注：M的秩為2故無QR分解4. 設(shè)，則A=A. B. C. D. 注：，故5. 設(shè)3階矩陣A滿足多項式, 且其最小多項式m(x)滿足條件,則A可以相似于A. B.

2、 C. D. 注：B中矩陣的最小多項式為二、填空題(每題3分，共15分) 1 設(shè) ，則 E+ 。2已知,并且,則矩陣冪級數(shù)= 。3設(shè)矩陣，則A的譜半徑 。4. 設(shè)，則n5 設(shè)5階復(fù)數(shù)矩陣A的特征多項式為,則 20 . 注：把E寫成1或I均可；也可有其它等價形式如等三、（8分）利用初等變換求，其中，。答案：=（各數(shù)值均可取近似值如算成）解法一、解答中只要是使用列初等變換的思想即得4分，初等變換的用法正確但答案較離譜給6分，有清淅的步驟但結(jié)果錯誤較大給7分，明顯簡單數(shù)值計算錯誤或答案完全正確給8分；解法二、使用行初等變換求出再計算，答案無明顯錯誤給滿分，否則只給2分。四、 （10分）設(shè)V是由函數(shù)的

3、線性組合生成的線性空間，定義V的一個線性算子如. 求T的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及Jordan基。證明：1。由定義=， （2分）2計算出A的特征值為1，3； （2分）3用最小多項式或初等因子或零度判斷Jordan塊形狀（2分）4 給出A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形； （2分） 5寫出過渡矩陣與基變換正確公式； （1分） 6給出Jordan基。 （1分）注：Jordan基不唯一如，；等均算正確（不嚴(yán)格要求基變換為正交變換）五、 （10分)設(shè)，求A的四個相關(guān)子空間：.解法一、1求出Hermite標(biāo)準(zhǔn)形； （2分）2求出每個子空間給（2分）共8分；解法二、直接由定義求子空間給分方式：算出任意一個給4分，其余每算出

4、一個給2分。注：計算過程中的錯誤如不影響子空間的維數(shù)最多可扣1分；如計算錯誤影響到空間維數(shù)但步驟正確扣兩分。六、 8分）求矩陣的孤立蓋爾圓盤（即對矩陣作適當(dāng)?shù)南嗨谱儞Q后求得的蓋爾圓盤是孤立的）。解法一、1 只要有分離蓋爾圓的想法即可得； （2分）2 選擇正確的相似過渡矩陣； （2分）3 算出三個分離的蓋爾圓。 （4分）解法二、直接計算A的列蓋爾圓并指出他們是分離的給滿分（8分）。注：僅求出A的行或列蓋爾圓但沒進(jìn)一步處理給（2分）七、 （8分）已知正交矩陣表示一個旋轉(zhuǎn)，求其旋轉(zhuǎn)軸與旋轉(zhuǎn)角。1指出特征值1， （2分）2求出1對應(yīng)的特征向量（1，1，0）并指出其為旋轉(zhuǎn)軸， （2分）3指出旋轉(zhuǎn)角度和另

5、兩個共軛特征值關(guān)系， 或指出旋轉(zhuǎn)角與矩陣跡的關(guān)系； （2分）4求出旋轉(zhuǎn)角， （2分）注：思想正確但沒算1的特征向量或算錯特征向量至多扣一分；旋轉(zhuǎn)角的各種表示均可（如）；全題中的計算錯誤總共至多扣一分。八、 （8分）設(shè)求證：.證法一、1算出特征多項式， （2分）2指出， （2分）3使用定理“兩個矩陣函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)在A的譜上數(shù)值相等”正確證明結(jié)論， （4分）注：第3步中沒有驗證函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)值扣兩分。解法二、1算出特征多項式， （2分）2指出， （2分）3使用歸納法或直接從多項式分解出因子從而證明結(jié)論。 （4分）解法三、1直接計算出， （4分）2使用歸納法或直接從多項式分解出因子從而證明結(jié)論

6、。 （4分）解法四、1求出A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形； （4分）2用Jordan標(biāo)準(zhǔn)形計算出結(jié)論。 （4分）注：把A當(dāng)作可相似于對角陣從而計算出結(jié)論視其是計算錯誤所致還是思想錯誤所致而給分，前者至多扣一分，后者給4 分。九、 （8分）對下面矩陣A求矩陣函數(shù)：。解法一、1求出特征值多項式并指出其為最小多項式， （2分）2設(shè)， （2分）3列出線性方程組，其 （2分）4算出 （2分）注：過程全且計算出給滿分（不管計算正確與否），未計算扣一分。解法二、1求出特征值多項式并指出其為最小多項式， （2分）2算出A的相似對角形及過渡矩陣， (2分)3用書上定理寫出， (2分)注：有步驟但未具體計算出過渡陣扣2分，算出過渡陣但未算出其逆扣1分。十、 （10分）證明矩陣范數(shù)分別是向量范數(shù)導(dǎo)出的算子范數(shù)。只需證三個范數(shù)之一即可。一、1， （2分）2