寧夏石嘴山市第三中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)第五次模擬考試試題理含解析

1、寧夏石嘴山市第三中學(xué)2020屆高三數(shù)學(xué)第五次模擬考試試題 理（含解析）一.選擇題1.已知集合，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】首先解不等式，得到，再求即可.【詳解】因?yàn)?，所?故選：a【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，同時(shí)考查了指數(shù)不等式的解法，屬于簡(jiǎn)單題.2.已知，其中是虛數(shù)單位，則（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算計(jì)算得到，根據(jù)模長(zhǎng)定義可求得結(jié)果.【詳解】，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的求解，關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算計(jì)算得到復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3.下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）(1)“”是“”的充分不必要條件(2)命題

2、“，”的否定是“，”(3)“若，則”的逆命題為真命題(4)命題，命題，則為真命題a. b. c. d. 【答案】d【解析】【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)，或，“”是“”的充分不必要條件，故正確；命題“，”的否定是“，”正確；“若，則”的逆命題為“若，則”錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，不成立，故錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，命題是真命題，故是真命題，故真命題的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選：d.考點(diǎn)：命題的真假性的判斷.4.2020年春節(jié)突如其來(lái)的新型冠狀病毒肺炎在湖北爆發(fā)，一方有難八方支援，全國(guó)各地的白衣天使走上戰(zhàn)場(chǎng)的第一線，某醫(yī)院抽調(diào)甲、乙兩名醫(yī)生，抽調(diào)、三名護(hù)士支援武漢第一醫(yī)院與第二醫(yī)院，參加武漢疫情狙擊戰(zhàn)其中選一名護(hù)士與一名醫(yī)生去第一醫(yī)

3、院，其它都在第二醫(yī)院工作，則醫(yī)生甲和護(hù)士被選在第一醫(yī)院工作的概率為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由題可知，基本事件總數(shù)，醫(yī)生甲和護(hù)士被選為第一醫(yī)院工作包含的基本事件只有1種，由此能求出醫(yī)生甲和護(hù)士被選為第一醫(yī)院工作的概率【詳解】解：某醫(yī)院抽調(diào)甲乙兩名醫(yī)生，抽調(diào)，三名護(hù)士支援武漢第一醫(yī)院與第二醫(yī)院，參加武漢疫情狙擊戰(zhàn)，其中選一名護(hù)士與一名醫(yī)生去第一醫(yī)院，其它都在第二醫(yī)院工作，基本事件總數(shù)，醫(yī)生甲和護(hù)士被選為第一醫(yī)院工作包含的基本事件只有1種，則醫(yī)生甲和護(hù)士被選為第一醫(yī)院工作的概率為故選：b【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率的求法，以及組合的應(yīng)用和組合數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能

4、力，是基礎(chǔ)題5.設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，下列說(shuō)法正確的是（ ）a. 若，則b. 若，則c. 若，則d. 若，則【答案】d【解析】【分析】選項(xiàng)a可考慮直線是否在平面內(nèi)作出判斷；選項(xiàng)b找到滿足條件的的所有情況即可作出判斷；選項(xiàng)c中滿足條件的的所有情況都考慮到即可判斷；選項(xiàng)d根據(jù)面面垂直的判定定理判斷即可.【詳解】選項(xiàng)a，直線n可能在平面內(nèi)，錯(cuò)誤；選項(xiàng)b，如果，那么與平行或相交，錯(cuò)誤；選項(xiàng)c，與相交或平行，錯(cuò)誤；選項(xiàng)d，且，則必有，根據(jù)面面垂直的判定定理知，正確.故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查了面面平行的判定，面面垂直的判定，考查了空間想象力，屬于中檔題.6.九章算術(shù)中有一題：今

5、有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬”，馬主曰：“我馬食半牛”，今欲衰償之，問(wèn)各處兒何？其意思是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償五斗粟，羊主人說(shuō)：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半”馬主人說(shuō)：“我馬所吃的禾苗只有牛一半”若按此比例償還，牛、馬、羊的主人各應(yīng)賠償多少粟？在這個(gè)問(wèn)題中，牛主人比羊主人多賠償（ ）a. 斗粟b. 斗粟c. 斗粟d. 斗粟【答案】d【解析】分析】先確定羊、馬、牛的主人應(yīng)賠償?shù)谋壤俑鶕?jù)比例分別計(jì)算各個(gè)主人應(yīng)賠償?shù)亩窋?shù)即可求解.【詳解】羊、馬、牛的主任所應(yīng)賠償?shù)谋壤?，故牛主人比羊主人多賠償了斗.故選：d.【點(diǎn)睛】本題為一道數(shù)學(xué)文化題，考查

6、閱讀理解能力，考查劃歸于轉(zhuǎn)化思想，此類題型在近幾年中經(jīng)常出現(xiàn).7.在三角形中，分別為角，的對(duì)邊，且滿足，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)余弦定理結(jié)合題意得，而，再根據(jù)半角公式求解即可【詳解】解：，即，由余弦定理可得，則，故選：d【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，考查半角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題8.若（其中，）的圖象如圖，為了得的圖象，則需將的圖象（ ）a. 向右平移個(gè)單位b. 向右平移個(gè)單位c. 向左平移個(gè)單位d. 向左平移個(gè)單位【答案】b【解析】【分析】由已知中函數(shù)的圖象，我們易分析出函數(shù)的周期、最值，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式，利用三角函數(shù)圖象的平移變換法則可得結(jié)果

7、【詳解】由已知中函數(shù)（其中，）的圖象，可得：，即=2即f(x)=sin(2x+)，將點(diǎn)代入得：又由，即所以將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，故選：b【點(diǎn)睛】本題主要通過(guò)已知三角函數(shù)的圖象求解析式考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.利用最值求出 ,利用圖象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊點(diǎn)求出，正確求是解題的關(guān)鍵.9.已知，則的大小關(guān)系為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】引入中間變量1，再利用對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，對(duì)的大小進(jìn)行比較，即可得答案；【詳解】，最大，考察函數(shù)與的圖象，可得，故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的大小比較，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化

8、與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.10.如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，有下列四個(gè)結(jié)論：與是異面直線； 相交于一點(diǎn)； 平面.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用異面直線的概念，以及線面平行的判定定理，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】，是相交直線，設(shè)，則平面且平面，又平面平面，所以相交于一點(diǎn)，故不正確，正確；設(shè)，連，則有，所以四邊形為平行四邊形，則，所以不正確；又平面，平面，所以平面，則正確.故選：b【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間中的點(diǎn)，線，面的位置關(guān)系的判定，考查了學(xué)生的空間想象能力與邏輯推理能力.11.設(shè)是雙曲線左、右焦點(diǎn)，是雙

9、曲線右支上一點(diǎn)，滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），且，則雙曲線的離心率為（ ）a. 2b. c. d. 5【答案】d【解析】【詳解】【分析】試題分析：設(shè),則,因,故,即,故點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心為半徑的圓上,所以,設(shè),由雙曲線的定義可得,又,即,所以,即,故應(yīng)選d.考點(diǎn)：雙曲線及有關(guān)性質(zhì)和向量的數(shù)量積公式12.若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則的取值范圍是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【詳解】由題意可知有兩個(gè)不等根.即,有一根.另一根在方程,中,令,所以在且上單調(diào)遞增.所以即.所以選c.【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般是求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題所以主要對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分析，注意選擇分離參數(shù)，還是帶參求導(dǎo)，還是兩個(gè)

10、函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題的方法二填空題13.已知，則_【答案】【解析】分析】由二倍角求得，則tan可求【詳解】由sin2=sin，得2sincos=sin，,sin0,則,即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，考查公式的靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.已知點(diǎn)，過(guò)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)若為中點(diǎn)，則_【答案】【解析】【分析】易知拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，分別作點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線段，垂足分別為點(diǎn)，根據(jù)拋物線的定義，有，即可求得的值.【詳解】易知拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線分別作點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線段，垂足分別為點(diǎn)根據(jù)拋物線的定義，有，因?yàn)?，且為中點(diǎn)，所以是的中位線，即故故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)

11、系、拋物線的定義，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意平面幾何知識(shí)的運(yùn)用.15.若的展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則直線，軸與曲線圍成的封閉圖形的面積為_.【答案】【解析】【分析】展開式的通項(xiàng)為，由條件算出，表示出所求的封閉圖形面積為，計(jì)算即可得結(jié)果.【詳解】展開式的通項(xiàng)為，令得，所以，解得：，由題得所求的封閉圖形面積為，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，定積分的運(yùn)算，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.16.對(duì)于函數(shù)現(xiàn)有下列結(jié)論：任取，都有；函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；函數(shù)在上單調(diào)遞增；若關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根，則其中正確結(jié)論的序號(hào)為_（寫出所有正確命題的序號(hào)）【答案】【解析】【分析】作

12、出函數(shù)的圖象，求出時(shí)的最大值和最小值，可判斷；由圖可直接判斷，進(jìn)而可得答案.【詳解】的圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，最大值為，最小值為，任取，都有恒成立，故正確；如圖所示，函數(shù)和的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，即有3個(gè)零點(diǎn)，故正確；函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性和上的單調(diào)性相同，則函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，若關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)不同實(shí)根，則，則成立，故正確；故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查命題的真假判斷，涉及函數(shù)的性質(zhì)，利用分段函數(shù)的表達(dá)式，作出函數(shù)的圖象是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.三解答題17.已知數(shù)列滿足：，.（1）求及通項(xiàng)；（2）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列，中哪一項(xiàng)最??？并求出這個(gè)最小值

13、.（3）求數(shù)列的前10項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）最小，；（3）前10項(xiàng)和為：.【解析】【分析】（1）先由遞推公式求出，再判斷出數(shù)列為等差數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式即可；（2）判斷出等差數(shù)列的正負(fù)項(xiàng)，即可求出的最小值；（3）判斷各項(xiàng)的正負(fù)性，去掉絕對(duì)值，代入計(jì)算即可.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，由知數(shù)列為首項(xiàng)是，公差為4的等差數(shù)列，故；（2），故，故最小，；（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和公式，等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值問(wèn)題，考查了學(xué)生靈活運(yùn)用公式求解的能力.18.如圖，在直三棱柱中，分別是，中點(diǎn)，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).（1）證明：平面；（2）當(dāng)二面角的余弦

14、值為時(shí)，證明：.【答案】（1）證明見解析.（2）證明見解析【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連，可證四邊形為平行四邊形，得到，即可證明結(jié)論；（2）不妨設(shè)，如下圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得到坐標(biāo)， 求出平面的法向量坐標(biāo)，取平面法向量為，根據(jù)已知求出，證明即可.【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，在直三棱柱中，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面；?）不妨設(shè)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，所以平面一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量，所以，此時(shí)，所以，即.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面位置關(guān)系，考查直線與平面平行、異面直線垂直的證

15、明，利用空間向量法求二面角的余弦，意在考查邏輯推理、數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于中檔題.19.2019年春節(jié)期間，某超市準(zhǔn)備舉辦一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，若顧客一次消費(fèi)達(dá)到400元?jiǎng)t可參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，超市設(shè)計(jì)了兩種抽獎(jiǎng)方案.方案一：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得60元的返金券，若抽到白球則獲得20元的返金券，且顧客有放回地抽取3次.方案二：一個(gè)不透明的盒子中裝有30個(gè)質(zhì)地均勻且大小相同的小球，其中10個(gè)紅球，20個(gè)白球，攪拌均勻后，顧客從中隨機(jī)抽取一個(gè)球，若抽到紅球則顧客獲得80元的返金券，若抽到白球則

16、未中獎(jiǎng)，且顧客有放回地抽取3次.（1）現(xiàn)有兩位顧客均獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，且都按方案一抽獎(jiǎng)，試求這兩位顧客均獲得180元返金券的概率；（2）若某顧客獲得抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì).試分別計(jì)算他選擇兩種抽獎(jiǎng)方案最終獲得返金券的數(shù)學(xué)期望；為了吸引顧客消費(fèi)，讓顧客獲得更多金額的返金券，該超市應(yīng)選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案進(jìn)行促銷活動(dòng)？【答案】(1) (2)第一種抽獎(jiǎng)方案.【解析】【分析】(1)方案一中每一次摸到紅球的概率為，每名顧客有放回的抽3次獲180元返金劵的概率為，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率可知兩顧客都獲得180元返金劵的概率 (2)分別計(jì)算方案一，方案二顧客獲返金卷的期望，方案一列出分布列計(jì)算即可，方案二根據(jù)二項(xiàng)分布計(jì)算期望即可

17、根據(jù)得出結(jié)論.【詳解】（1）選擇方案一，則每一次摸到紅球的概率為設(shè)“每位顧客獲得180元返金劵”為事件a，則所以兩位顧客均獲得180元返金劵的概率（2）若選擇抽獎(jiǎng)方案一，則每一次摸到紅球的概率為，每一次摸到白球的概率為.設(shè)獲得返金劵金額為元，則可能的取值為60，100，140，180.則；.所以選擇抽獎(jiǎng)方案一，該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學(xué)期望為（元）若選擇抽獎(jiǎng)方案二，設(shè)三次摸球的過(guò)程中，摸到紅球的次數(shù)為，最終獲得返金劵的金額為元，則，故所以選擇抽獎(jiǎng)方案二，該顧客獲得返金劵金額的數(shù)學(xué)期望為（元）.即，所以該超市應(yīng)選擇第一種抽獎(jiǎng)方案【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型，相互獨(dú)立事件的概率，二項(xiàng)分布，期望，

18、及概率知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題.20.已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在軸上的射影是，.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交點(diǎn)的軌跡于點(diǎn)，交點(diǎn)的軌跡于點(diǎn)，求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由得點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入即可求解.（2）若軸，求得；若直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式，求得，再聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得的表達(dá)式，代入化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由得點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)則可得，化簡(jiǎn)得點(diǎn)的軌跡方程為；（2）若軸，則，若直線不與軸垂直，設(shè)直線的方程為，即，則坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，設(shè).將代入，并化簡(jiǎn)得，

19、當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，綜上所述，最大值為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查代入法求軌跡方程，圓的性質(zhì)，弦長(zhǎng)的計(jì)算，及直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用.解答此類題目，通常聯(lián)立直線方程與橢圓方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解，考查了考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等.21.已知函數(shù)若函數(shù)的最大值為3，求實(shí)數(shù)的值；若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求證：【答案】4；證明見解析.【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求解函數(shù)的最大值，然后求出即可；化簡(jiǎn)恒成立的不等式為，得到令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到

20、，然后求解的范圍；，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，推出，得到，即可證明結(jié)論【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)橐驗(yàn)?，所以在?nèi)，單調(diào)遞增；在內(nèi)，單調(diào)遞減所以函數(shù)在處取得唯一的極大值，即的最大值因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為3，所以，解得因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以，所以，即令，則因?yàn)椋运栽趩握{(diào)遞增所以，所以，所以即實(shí)數(shù)k的取值范圍是；由可知：，所以因?yàn)?，是函?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以因?yàn)榱?，則所以在，單調(diào)遞減所以所以，即由知，在單調(diào)遞增，所以，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、證明不等式以及不等式恒成立問(wèn)題，屬于難題不等式恒成立問(wèn)題常見方法： 分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；