江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)2019_2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

1、江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)2019-2020學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、選擇題：1.化為弧度數(shù)為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】利用角度化弧度公式可計(jì)算出答案.【詳解】.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查角度化弧度，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知集合，集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析】解不等式，求出整數(shù)的個(gè)數(shù)，即可得出答案.【詳解】解不等式，得，的取值有、，因此，中元素的個(gè)數(shù)為.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查交集元素個(gè)數(shù)的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3.已知弧度數(shù)為的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為（ ）a.

2、b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】計(jì)算出圓的半徑，然后利用扇形的弧長(zhǎng)公式可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)圓的半徑為，則，因此，這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長(zhǎng)，解答的關(guān)鍵就是計(jì)算出圓的半徑，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的定義域?yàn)椋?）a. b. c. d. 【答案】c【解析】分析】根據(jù)二次根式被開方數(shù)非負(fù)、分母不為零、對(duì)數(shù)真數(shù)大于零列出關(guān)于的不等式組，即可得出函數(shù)的定義域.【詳解】由題意可得，即，解得且，因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域的求解，要根據(jù)一些常見(jiàn)的求函數(shù)定義域的基本原則列不等式（組）求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.5.

3、計(jì)算：（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算律可計(jì)算出所求代數(shù)式的值.【詳解】，由換底公式可得，因此，原式.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，解題時(shí)要充分利用換底公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算律以及對(duì)數(shù)恒等式來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.若是上周期為的奇函數(shù)，且，則（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)得出，再由函數(shù)的周期性得出，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，又函數(shù)是上周期為的周期函數(shù)，則.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的周期性和奇偶性求函數(shù)值，一般先利用函數(shù)的周期性將自變量的絕

4、對(duì)值由大化小，再利用奇偶性來(lái)計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7.函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后解方程，即可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】對(duì)于函數(shù)，解得，則函數(shù)的定義域?yàn)?解方程，即或，解得（舍去）或或.所以，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求解，一般利用代數(shù)法和幾何法求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，則的值為( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先將函數(shù)按題意平移得到，再由題中條件得到3，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的圖象向

5、右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得：，所以，3，得：.故選b【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的平移以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，熟記函數(shù)平移的法則以及對(duì)數(shù)的定義即可，屬于基礎(chǔ)題型.9.已知，則、的大小關(guān)系為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】將變形為，比較、的大小，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出、的大小關(guān)系.【詳解】，則，所以，即.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)冪的大小比較，一般利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.10.已知函數(shù)滿足，則函數(shù)的解析式為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先由得出，將等式變形為，然后利用換元法可求出函數(shù)的解析式.【詳解】對(duì)于等式，有，可

6、得，則有，令，得，所以，因此，.故選：d.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)解析式的求解，考查換元思想的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是從題干等式中推導(dǎo)出，考查計(jì)算能力，屬于中等題.11.已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)，并判斷出函數(shù)的單調(diào)性，由可得出關(guān)于的不等式組，解出即可.【詳解】，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由可得，即，解得.因此，不等式的解集為.故選：a.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)不等式的求解，分析出函數(shù)的基本性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.12.已知直線，與函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，與函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，則

7、直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（ ）a. 大于b. 等于c. 小于d. 不確定【答案】b【解析】【分析】求出、的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線與的函數(shù)解析式，然后求出這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得解.【詳解】由題意可知點(diǎn)、，設(shè)直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為，則，解得,所以直線的函數(shù)解析式為，同理可知直線的函數(shù)解析式為，兩直線均過(guò)原點(diǎn)，所以，直線與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為零.故選：b.【點(diǎn)睛】本題考查兩直線交點(diǎn)橫坐標(biāo)的求解，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，解題的關(guān)鍵就是求出兩條直線對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)解析式，考查計(jì)算能力，屬于中等題.二、填空題：13.已知實(shí)數(shù)、滿足，則_.【答案】【解析】【分析】將指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，利用換底公式可計(jì)算出的值.

8、【詳解】，同理，由換底公式可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用，同時(shí)也考查了指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知函數(shù)，若，則_.【答案】【解析】【分析】計(jì)算出，再由結(jié)合可求得的值.【詳解】，.，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15.若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_.【答案】【解析】【分析】由題意可知函數(shù)的值域包含，然后分和兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得出的不等式，解出即可.【詳解】令，由于函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)的值域包含.當(dāng)時(shí)，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和，

9、函數(shù)的值域?yàn)?，則，解得；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在和上均為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)椋虾躅}意.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的值域，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域，屬于中檔題16.已知且，且，方程組的解為或，則_.【答案】【解析】【分析】利用換底公式得出，分別消去和，可得出二次方程，利用韋達(dá)定理可求出和的值，進(jìn)而可計(jì)算出的值.【詳解】由換底公式得，由得，代入并整理得，由韋達(dá)定理得，即，則，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的換底公式，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，韋達(dá)定理，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題三、解答題：17.設(shè)集合，集合.（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求實(shí)數(shù)的取

10、值范圍.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）先求出集合，再根據(jù)公共元素為代入集合，即可求出實(shí)數(shù)的值；（2）由推出，然后分、四種情況討論，求出對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的值或取值范圍，綜合可得出結(jié)果.【詳解】由題意得.（1），即，或.當(dāng)時(shí)，滿足；當(dāng)時(shí)，滿足.綜上所述，或；（2），.當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，解得；當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，無(wú)解.綜上所述，實(shí)數(shù)取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查集合和集合以及元素和集合之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題目，特別提醒，第一問(wèn)求出參數(shù)的值后一定要注意代入檢驗(yàn)，避免出錯(cuò)18.已知函數(shù)（，為常數(shù)）.（1）若且，求、的值；當(dāng)時(shí)，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，討論方程解的個(gè)數(shù).【答

11、案】（1），函數(shù)在上為增函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）直接由且得出方程組，解方程組可得與的值；設(shè)，作差，因式分解后判斷的符號(hào)，由此可證明出函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，作出函數(shù)與的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出在不同取值下方程的解的個(gè)數(shù).【詳解】（1）由題意得，解得，函數(shù)在上為增函數(shù)，證明如下：設(shè)、且，即，所以，函數(shù)在上是增函數(shù)；（2），當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，此時(shí).作出函數(shù)與的圖象如下圖所示：由圖象可知，當(dāng)時(shí)，方程有解；當(dāng)時(shí)，方程有解；當(dāng)時(shí)，方程有解.綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程有解；當(dāng)時(shí)，方程有解；當(dāng)時(shí)，方程有解.【點(diǎn)睛

12、】本題考查函數(shù)單調(diào)性的證明和方程根的個(gè)數(shù)討論，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題19.“共享單車”出現(xiàn)為市民“綠色出行”提供了極大的方便，某共享單車公司計(jì)劃在甲、乙兩座城市共投資萬(wàn)元，根據(jù)行業(yè)規(guī)定，每個(gè)城市至少要投資萬(wàn)元，由前期市場(chǎng)調(diào)研可知：甲城市收益與投入（單位：萬(wàn)元）滿足，乙城市收益與投入（單位：萬(wàn)元）滿足，設(shè)甲城市的投入為（單位：萬(wàn)元），兩個(gè)城市的總收益為（單位：萬(wàn)元）.（1）求及定義域；（2）試問(wèn)如何安排甲、乙兩個(gè)城市的投資，才能使總收益最大？【答案】（1），定義域?yàn)椋唬?）當(dāng)甲城市投入萬(wàn)元，乙城市投入萬(wàn)元時(shí)，總收益最大.【解析】【分析】（1）由化簡(jiǎn)，并結(jié)合題意得出該函數(shù)的定義域；（2）配方

13、，得出函數(shù)的最大值及其對(duì)應(yīng)的的值即可【詳解】（1）由題意可得，且有，解得，故函數(shù)定義域?yàn)椋唬?），當(dāng)時(shí)，即當(dāng)萬(wàn)元時(shí)，.當(dāng)甲城市投入萬(wàn)元，乙城市投入萬(wàn)元時(shí)，總收益最大為萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，考查了二次函數(shù)最值的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題20.設(shè)是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.（1）若，求的解析式；（2）若，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)，求出的值，然后根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，由時(shí)的解析式求出的解析式，由該函數(shù)為上的奇函數(shù)，得出，綜合可得出函數(shù)在上的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)時(shí)，可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，然后由不等式恒成立，可得出，利用換元思想

14、結(jié)合雙勾函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最大值，由此可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1），.當(dāng)時(shí)，.設(shè)時(shí)，則，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，；（2）當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，外層函數(shù)為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，此時(shí).由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則該函數(shù)在上為增函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)為上的增函數(shù).由得，.令，則，由雙勾函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，即，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求解析式，考查了利用雙勾函數(shù)的單調(diào)性求最值和不等式恒成立問(wèn)題，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題21.設(shè)函數(shù)定義域具有奇偶性.（1）求

15、的值；（2）已知在上的最小值為，求的值.【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【解析】【分析】（1）分類討論，當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，由可解得的值；當(dāng)函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，由可解得的值；（2）按及兩種情況分類討論，在時(shí)，換元；在時(shí)，換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最小值為，對(duì)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論，利用二次函數(shù)的單調(diào)性得出關(guān)于的方程，解出即可.【詳解】（1）若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，；若函數(shù)為偶函數(shù)，則，對(duì)一切都成立，.綜上所述，；（2）當(dāng)時(shí)，令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，.二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，舍去；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增， 或（舍去）；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，內(nèi)層函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，.二次函數(shù)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為直線.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，（舍）.所以，當(dāng)時(shí)，.綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性及函數(shù)的最值，考查換元思想及分類討論思想，考查運(yùn)算求解能力，難度中等22.定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：對(duì)任意的，都有；對(duì)任意、且，都有成立，其中