大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)微分幾何復(fù)習(xí)題

1、一、 填空題：（每小題2分） 向量具有固定方向，則=_。 非零向量滿足的充要條件是_。 設(shè)曲線在P點的切向量為，主法向量為，則過P由確定的平面是曲線在P點的_。 曲線在點的單位切向量是，則曲線在點的法平面方程是_。 曲線在t = 1點處有，則曲線在 t = 1對應(yīng)的點處其撓率=_。 在旋轉(zhuǎn)曲面中，_是旋轉(zhuǎn)曲面的經(jīng)線。 曲面在點的法線方程是_。 直紋面的參數(shù)表示總可以寫成 _。11、向量函數(shù)使的充要條件是 。 12、若是曲線的正則點，則曲線在的密切平面方程是 。 13、一曲線的副法向量是常向量，則這曲線的撓率 。 15、曲面上一族坐標(biāo)曲線是測地線，另一族為它的正交軌線坐標(biāo)網(wǎng)是 16、已知曲面的第

2、一類基本量為E、F、G，則兩方向du:dv與垂直的充要條件是 。 17、對曲面有，則曲面上曲線u=u(t),v=v(t)從到t （t ）的弧長s = 。 18、若曲面在（0，1）點處的第二基本形式，則在（0，1）點處， 。其中為曲面的單位法向量。 19、已知曲面的第二類基本量L、M、N，則曲面上漸近曲線的微分方程是 。 20、若曲面的第一基本形式為，曲面在一點的切向與u線的夾角為，則曲面在這點沿切向的測地曲率= 。21 具有固定方向的充要條件是_。 22 撓率_的曲線其副法向量是常矢。 23 曲線在點的主法向量是，則曲線在P點的從切面方程是 。 25 曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是_。

3、 26曲面上一曲線，如果它每一點的切方向都是主方向，則稱該曲線為_。27半徑為R的球面的高斯曲率K= .28. 一個曲面為可展曲面的充分必要條件是它的_恒等于零。30在可展曲面上，測地三角形的三內(nèi)角之和 。31.向量函數(shù)使的充要條件是 。 32、若是曲線的正則點，則曲線在的密切平面方程是 。 33、一曲線的副法向量是常向量，則這曲線的撓率 。 35、球面上， 線是球面上的緯圓。 36、已知曲面的第一類基本量為E、F、G，則兩方向du:dv與垂直的充要條件是 。 37、對曲面有，則曲面上曲線u=u(t),v=v(t)從到t （t ）的弧長s = 。 38、若曲面在（0，1）點處的第二基本形式，則

4、在（0，1）點處， 。其中為曲面的單位法向量。 39、已知曲面的第二類基本量L、M、N，則曲面上漸近曲線的微分方程是 。 40、若曲面的第一基本形式為，曲面在一點的切向與u線的夾角為，則曲面在這點沿切向的測地曲率= 。二、 選擇填空題：（每小題3分） 1、圓柱螺線在點的切線為_。A、 B、 C、 D、 2、曲面的三個基本形式之間的關(guān)系為_。A、+2H+K=0 B、-2H+K=0C、-2K+H=0 D、-2H-K=0 3、曲面的坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是_。A、M = 0 B、L = N = 0 C、M = F = 0 D、F = 0 4、下列曲面中_不是可展曲面。A、柱面 B、錐面 C、一條曲

5、線的切線曲面 D、正螺面 5、曲面上， 不是曲面的內(nèi)蘊量。A、兩曲線的夾角 B、曲線的弧長6、曲線在P(s)點的基本向量是，曲率k(s)，撓率，則下式 不正確。A、 B、 C、 D、 7、曲面在P點的第一、第二基本形式分別為，曲面上曲線(C )在P點的曲率k、沿切向的法曲率為，(C )在P點的主法向量與曲面的單位法向量的夾角為，則下式 正確。A、 B、 C、 D、8、L = N = 0 是曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為 的充要條件。A、正交網(wǎng) B、漸近網(wǎng) C、曲率網(wǎng) D、 半測地坐標(biāo)網(wǎng)9、在圓柱面上，圓柱螺線是 。A、平面曲線 B、曲率線 C、測地線 D、漸近線10、以下各項中， 不一定是測地線。A、球面

6、上的大圓 B、圓柱面上的螺旋線 C、旋轉(zhuǎn)曲面上的經(jīng)線 D、旋轉(zhuǎn)曲面上的緯線11、設(shè)曲面在一點的單位法向量，切向量為 ，則的充分必要條件是 。A、 存在方向使 B、存在方向使 C、存在方向使且 D、沿有= 012、對于球面，以下判斷中 不正確。 A、 沿其上任何曲線的球面的法線曲面是可展曲面 B、其上大圓是漸近線C、高斯曲率為正常數(shù) D、其上大圓的每一點的測地曲率為零13、曲面上，曲線(C )在P點的基本向量是，曲面在P點的單位法向量，則在P點沿切向的測地曲率 。A、 B、（） C、 D、 14、若在曲面上一點,則曲面在該點的高斯曲率K 。A、0 B、 0 C、= 0 D、符號不確定 15、下列

7、直紋面中， 是可展曲面。A、雙曲拋物面 B、撓曲線的副法線曲面C、撓曲線的切線曲面 D、單葉雙曲面16、若曲線的所有密切平面經(jīng)過一定點，則此曲線是_。A、 直線 B、平面曲線 C、球面曲線 D、圓柱螺線 17、曲線在P(t)點的曲率為k , 撓率為，則下列式子_不正確。A、 B、 C、 D、 18、對于曲面的第一基本形式_。A、 B、 C、 D、 19、對于圓柱面，以下結(jié)論_是不正確的。A、坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng) B、沿同一直母線的切平面是同一個C、其上高斯曲率為零 D、其上沒有拋物點 20、以下結(jié)論正確的是_。A、法曲率是法截線的曲率 B、法曲率是曲率向量在主法向量上的投影C、法曲率0 D、法曲率的

8、絕對值是法截線的曲率 21、設(shè)曲面是其單位法向量，下列第二類基本量的計算中，_是不正確的。A、 B、 C、 D、 22、球面上的大圓不可能是球面上的_。A、測地線 B、曲率線 C、法截線 D、漸近線 23、正螺面的坐標(biāo)網(wǎng)不是_。A、正交網(wǎng) B、共軛網(wǎng) C、漸近網(wǎng) D、半測地坐標(biāo)網(wǎng) 24、曲面上每一點處的主方向_。A、只有一個 B、至少兩個 C、只有兩個 D、也可能不存在 25、下列直紋曲面中，_是可展曲面。A、雙曲拋物面 B、撓曲面的副法線曲面C、撓曲面的切線曲面 D、單葉雙曲面三、計算題1、設(shè)曲線： = cht , sht , t ，求在點(1,0,0 )的曲率和撓率；的切線曲面的高斯曲率。

9、2、已知圓柱螺線，試求 在點的切線和法平面。 曲率和撓率。3、對于圓柱面，試求 的第一、第二基本形式； 在任意點處沿任意方向的法曲率； 在任意點的高斯曲率和平均曲率； 試證的坐標(biāo)曲線是曲率線。4、求曲面的u線的測地曲率。5、設(shè)點P是曲面上一個固定點，試證明在P點沿任意互相垂直的兩個方向的法曲率之和是常數(shù)。6、設(shè)曲面：= t cos , t sin , t ，求 的第一、第二基本形式； 在點(1,0,1)處沿任意方向的法曲率； 試證的坐標(biāo)曲線是曲率線。7、求螺線上點的曲率和撓率。8、確定螺旋面上的曲率線和在任一點的高斯曲率。9、求曲線(t) = t , t 2 , e t 在t = 0點的密切平

10、面和主法線。10、求曲線(t) = a (1sint) , a (1cost) ，b t 的曲率和撓率。求拋物面z = a ( x2 + y2 ) 在 ( 0 ,0 ) 點的高斯曲率和平均曲率。11、求平面族的包絡(luò)。三、 證明題：1、 證明：如果曲線的所有密切平面垂直于某個固定直線，那么它是平面曲線。2、 證明：如果曲線的所有密切平面都經(jīng)過一個定點，則此曲線是平面曲線。3、試證錐面是可展曲面，并證明它與平面成等距對應(yīng)。4設(shè)曲線：= (t)上每上點的切線都平行于同一個固定平面，試證明是平面曲線。5、設(shè)點P是曲面上一個固定點，試證明在P點沿任意互相垂直的兩個方向的法曲率之和是常數(shù)。6、證明曲面是可

11、展曲面。7、證明：曲面上的曲線是曲率線的充分必要條件是沿此曲線的曲面的法線組成一可展曲面。8、證明；如果曲面上非直線的測地線為平面曲線，則它必為曲率線9、證明：如果一條曲線的所有法平面包含常向量，那么這條曲線是直線或平面曲線。10、證明撓曲線（C）的主法線曲面不是可展曲面。一、填空題1. 曲線x=cost，y=sint, z=t在t=0處的切線方程是_。2. 曲面上曲線的弧長，交角，曲面域的面積等都是_不變量。3. 若點(u0, v0)為曲面的正常點，則在(u0, v0)滿足_。4. 兩個曲面之間的一個變換是保角變換的充要條件是它們的_。5. 若向量函數(shù)滿足，則具有固定的_ .6. 曲線的正常

12、點是指滿足_ 的點.7. 橢圓點對應(yīng)的杜邦指標(biāo)線是橢圓,雙曲點對應(yīng)的是一對共軛雙曲線,拋物點對應(yīng)的是 _ .8. 平均曲率H=0的曲面稱為 _ 曲面.9. 曲面上的直線必是_曲線.10.向量函數(shù)具有固定方向的充要條件是 .11.曲線的主法向量的正向總是指向 .12.在曲面上圓點，其第一、第二類基本量滿足關(guān)系 .13.曲面三個基本形式之間有關(guān)系式 .14.曲線的曲率定義是_。15.空間曲線為一般螺線的充要條件是它的副法向量_。16.曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件是_。17.曲線=t3-t2-t, t2-2t+2, 2上的點不是正常點的是t =_。18.曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸進網(wǎng)的充分必要條件

13、是_。19.極小曲面是指_的曲面。20.向量函數(shù)具有固定長的充要條件是_。21.曲線的撓率是_。22.曲面上曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件_。23.向量函數(shù)平行于固定平面的充要條件是_.24.以杜邦(Dupin)指標(biāo)線為分類標(biāo)準(zhǔn),曲面上的點分為橢圓點,雙曲點,_,平點.25.曲面上一點的主曲率是曲面在這點所有方向的_的最大值和最小值.26.球面=a cosv cosu, a cosv sinu, asinv 的坐標(biāo)曲線就是_。27.曲面上曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是_。28.兩個曲面之間的變換是保角變換的充要條件是_。29.在曲面的橢圓點處，高斯曲率_。(這個空填符號，即填“大于零”、“等于零

14、”、“小于零”)30.一般螺線的曲率和撓率的關(guān)系是_。31.曲面上曲線的交角作為曲面的內(nèi)蘊量是_參數(shù)變換下的不變量。32. 曲面域的面積作為曲面的內(nèi)蘊量是_參數(shù)變換下的不變量。33. 設(shè)曲面在點P處有兩個同號的主曲率，則按高斯曲率的符號分類，此點是曲面的_。34. 曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充分必要條件是_。35. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的_曲率, 使法曲率達到最大值和最小值的方向是曲面的_方向. 36. 距離單位球面球心距離為d (0d1)的平面與球面的交線的曲率為_，法曲率為_ . 37. 曲面的坐標(biāo)曲線網(wǎng)正交的充要條件是 , 坐標(biāo)曲線網(wǎng)成為曲率線網(wǎng) 的充要條件是 . 38. 曲

15、率為0的曲線是_, 撓率為0的曲線是_. 39. 半徑為R的圓的曲率為_, 半徑為R的球面的法曲率為_. 40. 曲面的坐標(biāo)曲線網(wǎng)正交的充要條件是_, 坐標(biāo)曲線網(wǎng)成為曲率線網(wǎng) 的充要條件是_.41. 圓柱面的高斯曲率為_, 極小曲面的平均曲率為_. 42. 在臍點處曲面的第一, 第二類基本量滿足_, 把第二類基本 量L=M=N=0的臍點稱為_. 43. 法曲率的最大值和最小值正好是_, 使法曲率達到最大值和最小值 的方向是_方向.二、 單項選擇題 1. 下面各量中, 不是內(nèi)蘊量的是 ( ) A. 曲面上曲線的曲率 B. 曲面上曲線的測地曲率 C. 曲面上測地三角形的內(nèi)角和 D. 曲面的高斯曲率

16、 3. 曲面上一點處的兩個主方向之間的夾角為 ( )4. 等距等價的兩曲面上，對應(yīng)曲線在對應(yīng)點具有相同的 ( ) A. 曲率 B. 撓率 C. 法曲率 D. 測地曲率 5. 過空間曲線C上點P（非逗留點）的切線和P點的鄰近點Q的平面，當(dāng)Q沿曲線C趨于點P時，平面的極限位置稱為曲線C在P點的 ( ) A. 法平面 B. 密切平面 C. 從切平面 D. 不存在6. 曲率和撓率均為非零常數(shù)的曲線是 ( ) A. 直線 B. 圓 C. 圓柱螺線 D. 平面曲線 7. 下面關(guān)于曲面上主方向的說法，不正確的一項是 ( ) A. 臍點處，任何方向都是主方向 B. 非臍點處，主方向垂直 C. 臍點處，無主方向

17、 D. 非臍點處，有且僅有兩個主方向8. 下面各量中, 不是內(nèi)蘊量的是 ( ) A. 曲面上曲線的曲率 B. 曲面域的面積 C. 曲線的弧長 D. 高斯曲率9. 下面說法不正確的是 ( ) A. 等距變換一定是保角變換 B. 保角變換一定是等距變換 C. 平面與圓柱面成等距對應(yīng) D. 平面與除去北極外的球面成保角對應(yīng)10. 平面曲線的密切平面與曲線所在平面 （ ） A. 相交 B. 平行 C. 重合 D. 垂直11. 兩個曲面等距等價的充要條件是經(jīng)過適當(dāng)?shù)膮?shù)選擇后， （ ） A. 第一基本型相同 B. 第一基本型成比例 C. 第二基本型相同 D. 第二基本型成比例12. 在選取曲率線網(wǎng)作為參

18、數(shù)曲線網(wǎng)時，曲面的兩個主曲率k1, k2為 （ ）13. 設(shè)曲面的第一、二類基本量為和，則曲面的面積為 A. ； B. ；C. ； D. 14. 下面曲線中是一般螺線的是 （ ） A. 平面曲線 B. 圓柱螺線 C. 直線 D. 以上全是15. 下列關(guān)于主方向, 正確的說法是 ( ) A. 曲面上一點處至少有兩個主方向 B. 除臍點處外, 主方向是互相垂直的C. 沿主方向, 法曲率達到最大值或最小值D. 以上全正確16. 下面各量中, 不是內(nèi)蘊量的是 ( ) A. 曲面上曲線的曲率 B. 曲面上曲線的法曲率 C. 曲面的平均曲率 D. 曲面的高斯曲率17. 曲率和撓率均為非零常數(shù)的曲線是 (

19、)A. 直線 B. 圓 C. 圓柱螺線 D. 平面曲線18. 在橢圓點處，曲面的第二類基本量滿足 ( )19. 在不含臍點的曲面上，坐標(biāo)曲線網(wǎng)成為曲率線網(wǎng)的充要條件是 （ ）20反映法曲率隨方向而變化的變化規(guī)律的歐拉(Euler)公式是 （ ）三、判斷下列各題，正確的在題后括號內(nèi)打“”，錯的打“”。1. 曲線上的正常點是指曲率不為零的點。( )2. 如果兩條曲線在對應(yīng)點的主法線互相平行，則在對應(yīng)點處的切線互相平行。( )3. 高斯曲率和平均曲率都是曲面的內(nèi)蘊量。( )4. 密切面固定的曲線是撓率等于零的曲線。( )5. 若給出閉區(qū)間上的任意兩個連續(xù)函數(shù),則必存在曲線以分別為它的曲率和撓率.( )6. 曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為曲率線網(wǎng)的充要條件為F=M=0.( )7.