數(shù)字信號處理第二版

1、.第一章習(xí)題參考解答1-1畫出下列序列的示意圖(1)(2)(3)(1)(2)(3)1-2已知序列x(n)的圖形如圖1.41，試畫出下列序列的示意圖。圖1.41信號x(n)的波形(1)(2)(3)(4)(5)(6)(修正：n=4處的值為0，不是3）（修正：應(yīng)該再向右移4個(gè)采樣點(diǎn)）1-3判斷下列序列是否滿足周期性，若滿足求其基本周期(1)解：非周期序列;(2)解：為周期序列，基本周期N=5;(3)解：，取為周期序列，基本周期。(4)解：其中，為常數(shù)，取，取則為周期序列，基本周期N=40。1-4判斷下列系統(tǒng)是否為線性的？是否為移不變的？(1)非線性移不變系統(tǒng)(2)非線性移變系統(tǒng)(3)非線性移不變系統(tǒng)

2、(4)線性移不變系統(tǒng)(5)線性移不變系統(tǒng)（修正：線性移變系統(tǒng)）1-5判斷下列系統(tǒng)是否為因果的？是否為穩(wěn)定的？(1)，其中因果非穩(wěn)定系統(tǒng)(2)非因果穩(wěn)定系統(tǒng)(3)非因果穩(wěn)定系統(tǒng)(4)非因果非穩(wěn)定系統(tǒng)(5)因果穩(wěn)定系統(tǒng)1-6已知線性移不變系統(tǒng)的輸入為x(n)，系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為h(n)，試求系統(tǒng)的輸出y(n)及其示意圖(1)(2)(3)解：（1）（2）（3）1-7若采樣信號m(t)的采樣頻率fs=1500Hz，下列信號經(jīng)m(t)采樣后哪些信號不失真？(1)(2)(3)解：(1)采樣不失真(2)采樣不失真(3)，采樣失真1-8已知,采樣信號的采樣周期為。(1)的截止模擬角頻率是多少？(2)將進(jìn)行A

3、/D采樣后，的數(shù)字角頻率與的模擬角頻率的關(guān)系如何？(3)若，求的數(shù)字截止角頻率。解：(1)(2)(3)1-9計(jì)算下列序列的Z變換，并標(biāo)明收斂域。(1)(2)(3)(4)(5)解：(1)(2)(3)(4)，收斂域不存在(5)1-10利用Z變換性質(zhì)求下列序列的Z變換。(1)(2)(3)(4)解：(1),(2),(3),(4),1-11利用Z變換性質(zhì)求下列序列的卷積和。(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：(1)，,，,(2),，,(3),，,(4)，,(5),，(6)，1-12利用的自相關(guān)序列定義為，試用的Z變換來表示的Z變換。解：1-13求序列的單邊Z變換X(Z).解：所以：1-14試求下列函

4、數(shù)的逆Z變換(1)(2)(3)(4)，整個(gè)Z平面（除z=0點(diǎn)）(5)(6)解：(1)(2)，(3)(4)(5)(6)1-15已知因果序列的Z變換如下，試求該序列的初值及終值。(1)(2)(3)解：(1),(2)，(3)，1-16若存在一離散時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，根據(jù)下面的收斂域，求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，并判斷系統(tǒng)是否因果？是否穩(wěn)定？(1)，(2)，(3)解：(1)，因果不穩(wěn)定系統(tǒng)(2)，非因果穩(wěn)定系統(tǒng)(3)，非因果非穩(wěn)定系統(tǒng)1-17一個(gè)因果系統(tǒng)由下面的差分方程描述(1)求系統(tǒng)函數(shù)及其收斂域；(2)求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。解：(1)，(2)1-18若當(dāng)時(shí)；時(shí),其中N為整數(shù)。試證明：(1)，其中，(2)

5、，收斂域證明：(1)令，則其中,(2),1-19一系統(tǒng)的系統(tǒng)方程及初時(shí)條件分別如下：，(1)試求零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，全響應(yīng)；(2)畫出系統(tǒng)的模擬框圖解：(1)零輸入響應(yīng)，得，則零狀態(tài)響應(yīng)，則(2)系統(tǒng)模擬框圖1-20若線性移不變離散系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),(1)求系統(tǒng)函數(shù)和單位脈沖響應(yīng)；(2)使系統(tǒng)的零狀態(tài)，求輸入序列；(3)若已知激勵(lì)，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：(1)激勵(lì)信號為階躍信號，(2)若系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)則(3)若，則從可以判斷出穩(wěn)定分量為：1-21設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)的拉普拉斯變換為，現(xiàn)對以周期T進(jìn)行抽樣得到離散時(shí)間函數(shù)，試證明的Z變換滿足：證明：，則當(dāng)時(shí)1-22設(shè)序列的自相關(guān)序列定義為，設(shè)。試

6、證明：當(dāng)為的一個(gè)極點(diǎn)時(shí)，是的極點(diǎn)。證明：，故當(dāng)為的一個(gè)極點(diǎn)時(shí)，也是的極點(diǎn)。1-23研究一個(gè)具有如下系統(tǒng)函數(shù)的線性移不變因果系統(tǒng)，其中為常數(shù)。(1)求使系統(tǒng)穩(wěn)定的的取值范圍；(2)在Z平面上用圖解法證明系統(tǒng)是一個(gè)全通系統(tǒng)。解：(1)，若系統(tǒng)穩(wěn)定則，極點(diǎn)，零點(diǎn)(2)，系統(tǒng)為全通系統(tǒng)1-24一離散系統(tǒng)如圖，其中為單位延時(shí)單位，為激勵(lì)，為響應(yīng)。(1)求系統(tǒng)的差分方程；(2)寫出系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)并畫出平面極點(diǎn)分布圖；(3)求系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)(4)保持不變，畫出節(jié)省了一個(gè)延時(shí)單元的系統(tǒng)模擬圖。解：(1)(2)(3)系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)(4)1-24線性移不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程為(1)求系統(tǒng)函數(shù)；(2)畫出系

7、統(tǒng)的一種模擬框圖；(3)求使系統(tǒng)穩(wěn)定的A的取值范圍。解：(1)系統(tǒng)函數(shù)(2)(3)若使系統(tǒng)穩(wěn)定，系統(tǒng)極點(diǎn),則第二章習(xí)題解2-1解:,2-2證明:根據(jù)線性移不變系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性:當(dāng)一個(gè)LSI系統(tǒng)的輸入信號是一個(gè)復(fù)正弦信號時(shí),該系統(tǒng)的輸出也是一個(gè)復(fù)正弦信號,與輸入信號相比多了系數(shù).信號=2-3解: (1)令(2)圖見電子版(3)當(dāng)系統(tǒng)是線性移不變系統(tǒng)時(shí),若輸入信號為實(shí)正弦信號,輸出信號也是一個(gè)具有相同頻率的正弦信號,但該信號的幅度和相位都發(fā)生了變化.表達(dá)式如下:系統(tǒng)函數(shù)為,輸入信號,輸出信號當(dāng)時(shí),2-4解: (1)零點(diǎn)極點(diǎn)(2)(4)圖見電子版2-5解:系統(tǒng)是LSI系統(tǒng),其中2-6證明:(1),

8、(1的離散時(shí)間傅立葉變換為)即,則(2)令(3),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有值(4)2-7解:2-8解:,區(qū)間的幅度譜:區(qū)間內(nèi)三種采樣頻率下的幅度譜2-9解：2-10解：首先觀察四種情況都滿足Nyquist采樣定理，因此，采樣后的信號的頻譜將是原連續(xù)信號頻譜以為周期的延拓。（1）（2）（3）（4）22-11證明：2-12解：（1）對差分方程求Z變換得：（即為矩形窗的幅度譜）（2）圖見電子版（3）2-15（1）載波信號為1處信號（2）2-13證明：（1）設(shè)（2）（3）由式（1）（2）（3），令上式中原題得證。2-14證明：2-18解：對差分方程求Z變換全通系統(tǒng)為常數(shù)，即也為常數(shù)?？蓪η髮?dǎo)，其導(dǎo)數(shù)應(yīng)為0。即：或

9、題中要求取2-19解：（1）（2）（3）當(dāng)輸入信號是實(shí)正弦信號，為系統(tǒng)輸出（5）當(dāng)時(shí)，。不是因果系統(tǒng)（6）2-20解：設(shè)取樣器的輸出為設(shè)壓縮器的輸出為由b圖中兩系統(tǒng)等效可列出如下等式：等式兩邊約簡可得：第三章習(xí)題解3-1解：（1）（2）（3）補(bǔ)零后：不變；變化，變的更加逼近（4）不能3-2解：（1）令循環(huán)卷積其余（2）其余其余（3）其余（4）補(bǔ)一個(gè)零后的循環(huán)卷積其余3-3解：，即可分辨出兩個(gè)頻率分量本題中的兩個(gè)頻率分量不能分辨3-4解：對它取共軛：與比較，可知：1，只須將的DFT變換求共軛變換得；2，將直接fft程序的輸入信號值，得到；3，最后再對輸出結(jié)果取一次共軛變換，并乘以常數(shù)，即可求出I

10、FFT變換的的值。3-5解：可以；證明：設(shè)其中是在單位圓上的Z變換，與的關(guān)系如下：是在頻域上的N點(diǎn)的采樣，與的關(guān)系如下：相當(dāng)于是在單位圓上的Z變換的N點(diǎn)采樣。3-6解：,圖見電子版3-7解：，圖見電子版3-8解：，同理：圖見電子版3-9解：系統(tǒng)為單位脈沖響應(yīng)設(shè)加矩形窗后得到的信號為，對應(yīng)的短時(shí)離散頻譜：，電子圖3-10解：（1）考慮對稱位置?。?）考慮對稱位置取（3）考慮對稱位置取3-11解：（1）（2）（3）（4）3-12鏡像為鏡像為鏡像為鏡像為3-13解：（1）離散信號值：（2）3-14解：至少需要2000點(diǎn)個(gè)信號值3-15解：，第四章習(xí)題參考解答4-1對于系統(tǒng)函數(shù)，試用一階系統(tǒng)的級聯(lián)形式

11、，畫出該系統(tǒng)可能實(shí)現(xiàn)的流圖。解：4-2一線性時(shí)不變因果系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為對應(yīng)每種形式畫出系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的信號流圖。（1）直接型。（2）直接型。（3）用一階和二階直接型的級聯(lián)型。（4）用一階和二階直接型的并聯(lián)型。解：直接型直接型用一階和二階直接型的級聯(lián)型用一階和二階直接型的并聯(lián)型4-3已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)，試用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字傳輸函數(shù)。（設(shè)采樣周期T0.5）解：4-4若模擬濾波器的傳輸函數(shù)為，試用脈沖響應(yīng)不變法將轉(zhuǎn)換成數(shù)字傳輸函數(shù)。（設(shè)采樣周期T1）解：4-5用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階的巴特沃滋數(shù)字低通濾波器，采樣頻率，截至頻率。解：,4-6用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階的巴特沃滋數(shù)字高通濾

12、波器，采樣頻率，截至頻率。解：，歸一化，4-7用雙線性變換法設(shè)計(jì)一個(gè)三階的巴特沃滋數(shù)字帶通濾波器，采樣頻率，上下邊帶截至頻率分別為，。解：，4-8設(shè)計(jì)一個(gè)一階數(shù)字低通濾波器，3dB截至頻率為，將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃滋濾波器。解：一階巴特沃滋，4-9試用雙線性變換法設(shè)計(jì)一低通數(shù)字濾波器，并滿足：通帶和阻帶都是頻率的單調(diào)下降函數(shù)，而且無起伏；頻率在處的衰減為3.01dB；在處的幅度衰減至少為15dB。解：設(shè),則：，通帶：,即阻帶：，即階數(shù)：，查表得二階巴特沃滋濾波器得系統(tǒng)函數(shù)為雙線性變換實(shí)現(xiàn)數(shù)字低通濾波器4-10一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)的采樣頻率，已知該系統(tǒng)收到頻率為100Hz的噪聲干擾，試設(shè)計(jì)一個(gè)陷波

13、濾波器去除該噪聲，要求3dB的邊帶頻率為95Hz和105Hz,阻帶衰減不小于14dB。解：，令，設(shè)N=2，則第五章習(xí)題解5-1:對照以上兩公式可知：因此：n4n=0n=1n=2n=3 n=45-2理想低通濾波器的h(n)如下：,h(n)如圖5-2所示：圖5-2若要使h(n)變成因果系統(tǒng)，則可將h(n)向右移3，使h(n)=h(n-3).系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)如下：5-3(1)這是一個(gè)低通濾波器，通帶和阻帶各有三個(gè)波峰。（2）因?yàn)橐韵碌囊罁?jù)3dB下降作為通帶邊界頻率，可計(jì)算得到：（3）最小阻帶衰減5-4由分式（5.39）根據(jù)A計(jì)算，如下：由表5.1根據(jù)過度帶寬度計(jì)算窗口：單位脈沖響應(yīng)如下：單位脈沖響應(yīng)如

14、下：其中為凱澤窗。5-5答：減小窗口的長度N，則濾波器的過度帶增加，但最小阻帶衰減保持不變。5-6：圖5.30中的濾波器包括了三類理想濾波器，包括了低通，帶通和高通，其響應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)如下：設(shè)窗函數(shù)長度為N，則滿足線性相位條件的h(n)為起右移，對h(n)加長度為N的矩形窗，如下：，0nN-1由于時(shí)，不能為零，故N應(yīng)取奇數(shù)。5-7由公式（5-39）得出窗函數(shù)參數(shù)如下：由表（5-1）根據(jù)過度帶寬度得窗長N如下：，單位脈沖響應(yīng)如下：濾波器頻幅響應(yīng)如下：5-8：由公式（5.39）,根據(jù)最小阻帶衰減A=40dB得參數(shù)由表5.1，根據(jù)過度帶計(jì)算窗長N，線性FIR高通濾波器單位脈沖響應(yīng)如下：5-9由公式（5-39），根據(jù)阻帶衰減A=60dB計(jì)算：由表（5-1），根據(jù)過渡帶寬得：單位脈沖響應(yīng)如下：5-10:采用頻率取樣設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)高通線性相位FIR濾波器，可利用與LPF相同的方法，由于最小阻帶衰減為40dB,可在過渡帶內(nèi)設(shè)置兩個(gè)采樣點(diǎn)。采樣點(diǎn)：截止頻率對應(yīng)的點(diǎn)（）由IDFT公式，根據(jù)H(k)得：5-11（1）由公式（5.68）求濾波器脈沖響應(yīng)長度N如下：（2）（3）（4）增加或減少長度N，將使濾波器的過度帶變