虛擬變量（dummy variable）

1、.虛擬變量（dummy variable）在實(shí)際建模過程中，被解釋變量不但受定量變量影響，同時還受定性變量影響。例如需要考慮性別、民族、不同歷史時期、季節(jié)差異、企業(yè)所有制性質(zhì)不同等因素的影響。這些因素也應(yīng)該包括在模型中。由于定性變量通常表示的是某種特征的有和無，所以量化方法可采用取值為1或0。這種變量稱作虛擬變量，用D表示。虛擬變量應(yīng)用于模型中，對其回歸系數(shù)的估計與檢驗(yàn)方法與定量變量相同。1 截距移動設(shè)有模型，yt = b0 + b1 xt + b2D + ut ,其中yt，xt為定量變量；D為定性變量。當(dāng)D = 0 或1時，上述模型可表達(dá)為， b0 + b1xt + ut , (D = 0)

2、 yt = (b0 + b2) + b1xt + ut , (D = 1) D =0 D = 1 b0 b0+b2 圖8.1 測量截距不同D = 1或0表示某種特征的有無。反映在數(shù)學(xué)上是截距不同的兩個函數(shù)。若b2顯著不為零，說明截距不同；若b2為零，說明這種分類無顯著性差異。例：中國成年人體重y（kg）與身高x（cm）的回歸關(guān)系如下： 105 + x D = 1 (男) y = - 100 + x - 5D = 100 + x D = 0 (女)注意： 若定性變量含有m個類別，應(yīng)引入m-1個虛擬變量，否則會導(dǎo)致多重共線性，稱作虛擬變量陷阱（dummy variable trap）。 關(guān)于定性變

3、量中的哪個類別取0，哪個類別取1，是任意的，不影響檢驗(yàn)結(jié)果。 定性變量中取值為0所對應(yīng)的類別稱作基礎(chǔ)類別（base category）。 對于多于兩個類別的定性變量可采用設(shè)一個虛擬變量而對不同類別采取賦值不同的方法處理。如： 1 (大學(xué)) D = 0 (中學(xué)) -1 (小學(xué))?！景咐?】 中國季節(jié)GDP數(shù)據(jù)的擬合（虛擬變量應(yīng)用，及case1-solve） GDP序列圖 不用虛擬變量的情形若不采用虛擬變量，得回歸結(jié)果如下，GDP = 1.5427 + 0.0405 T (11.0) (3.5) R2 = 0.3991, DW = 2.6, s.e. = 0.3定義 1 （1季度） 1 （2季度）

4、 1 （3季度） D1 = D2 = D3 = 0 （2, 3,4季度） 0 （1, 3, 4季度） 0 （1, 2, 4季度）第4季度為基礎(chǔ)類別。GDP = 2.0922 + 0.0315 T 0.8013 D1 0.5137 D2 0.5014 D3 (64.2) (15.9) (-24.9) (-16.1) (-15.8) R2 = 0.9863, DW = 1.96, s.e. = 0.05附數(shù)據(jù)如下：年GDPtD1D2D31996:11.315611001996:21.660020101996:31.591930011996:42.2209640001997:11.468565100

5、1997:21.8494860101997:31.797270011997:42.362080001998:11.5899491001998:21.88316100101998:31.97044110011998:42.51176120001999:11.6784131001999:21.9405140101999:32.0611150011999:42.5254160002000:11.8173171002000:22.1318180102000:32.2633190012000:42.728020000數(shù)據(jù)來源：中國統(tǒng)計年鑒1998-20012 斜率變化 以上只考慮定性變量影響截距，未考慮

6、影響斜率，即回歸系數(shù)的變化。當(dāng)需要考慮時，可建立如下模型： yt = b0 + b1 xt + b2 D + b3 xt D + ut ,其中xt為定量變量；D為定性變量。當(dāng)D = 0 或1時，上述模型可表達(dá)為， (b0 + b2 ) + (b1 + b3)xt + ut , (D = 1) yt = b0 + b1 xt + ut , (D = 0) 通過檢驗(yàn) b3是否為零，可判斷模型斜率是否發(fā)生變化。圖8.5 情形1（不同類別數(shù)據(jù)的截距和斜率不同） 圖8.6 情形2（不同類別數(shù)據(jù)的截距和斜率不同） 例2：用虛擬變量區(qū)別不同歷史時期（file: case2及case2-solve）中國進(jìn)出口

7、貿(mào)易總額數(shù)據(jù)（1950-1984）見上表。試檢驗(yàn)改革前后該時間序列的斜率是否發(fā)生變化。定義虛擬變量D如下 0 （1950 - 1977） D = 1 （1978 - 1984）中國進(jìn)出口貿(mào)易總額數(shù)據(jù)（1950-1984） （單位：百億元人民幣）年tradeTDT *D年tradeTDT*D19500.41510019681.085190019510.59520019691.069200019520.64630019701.129210019530.80940019711.209220019540.84750019721.469230019551.205240019561.92325001957

8、1.904260019581.28790019762.641270019591.493100019772.725280019601.284110019783.5502912919610.9.5463013019620.8.6383113119630.857140019817.3533213219640.975150019827.7133313319651.184160019838.6013413419661.2711700198412.0103513519671.1221800以時間T=time為解釋變量，進(jìn)出口貿(mào)易總額用trade表示，估計結(jié)果如下：trade = 0.37 + 0.066

9、time - 33.96D + 1.20 time D (1.86) (5.53) (-10.98) (12.42) 0.37 + 0.066 time (D = 0, 1950 - 1977) = - 33.59 + 1.27 time (D = 1, 1978 - 1984) 上式說明，改革前后無論截距和斜率都發(fā)生了變化。進(jìn)出口貿(mào)易總額的年平均增長量擴(kuò)大了18倍。【案例3】香港季節(jié)GDP數(shù)據(jù)（單位：千億港元）的擬合（file: case3及case3-solve）19901997年香港季度GDP呈線性增長。1997年由于遭受東南亞金融危機(jī)的影響，經(jīng)濟(jì)發(fā)展處于停滯狀態(tài)，19982002年底G

10、DP總量幾乎沒有增長（見上圖）。對這樣一種先增長后停滯，且含有季節(jié)性周期變化的過程簡單地用一條直線去擬合顯然是不恰當(dāng)?shù)?。為區(qū)別不同季節(jié)，和不同時期，定義季節(jié)虛擬變量D2、D3、D4和區(qū)別不同時期的虛擬變量DT如下（數(shù)據(jù)見附錄）： 1 （第2季度） D2 = 0 （其他季度） 1 （第3季度） D3 = 0 （其他季度） 1 （第4季度） D4 = 0 （其他季度） 1 （1998:12002:4） DT = 0 （1990:1 1997:4）得估計結(jié)果如下： GDPt = 1.1573 + 0.0668 t + 0.0775 D2 + 0.2098 D3 + 0.2349 D4+ 1.8338

11、 DT - 0.0654 DT t (50.8) (64.6) (3.7) (9.9) (11.0) (19.9) (-28.0) R2 = 0.99, DW = 0.9, s.e. = 0.05, F=1198.4, T=52, t0.05 (52-7) = 2.01對于1990:1 1997:4 GDPt = 1.1573 + 0.0668 t + 0.0775 D2 + 0.2098 D3 + 0.2349 D4對于1998:12002:4 GDPt = 2.9911 + 0.0014 t + 0.0775 D2 + 0.2098 D3 + 0.2349 D4如果不采用虛擬變量擬合效果將

12、很差：GDPt = 1.6952 + 0.0377 t (20.6) (13.9) R2 = 0.80, DW = 0.3, T=52, t0.05 (52-2) = 2.01【案例4】 天津市糧食市場小麥批發(fā)價與面粉零售價的關(guān)系研究（file: xiezhiyong）首先看天津市糧食市場小麥批發(fā)價格的變化情況（圖1）。1995年初，天津市糧食市場的小麥批發(fā)價格首先放開。在經(jīng)歷5個月的上揚(yáng)之后，進(jìn)入平穩(wěn)波動期。從1996年8月份開始小麥批發(fā)價格一路走低。至2002年12月份，小麥批發(fā)價格降至是1160元/噸。其次看面粉零售價的變化情況。因?yàn)槊娣哿闶蹆r格直接關(guān)系到居民的日常生活，所以開始時沒有與

13、小麥批發(fā)價格一起放開。當(dāng)小麥批發(fā)價格一路看漲時，1995年1月至1996年6月面粉零售價格一直處于2.14元/千克的水平上。1996年7月起，面粉零售價格也開始在市場上放開。受小麥批發(fā)價格上漲的影響，一個月內(nèi)面粉零售價格從2.14元/千克漲到2.74元/千克。在這個價位上堅(jiān)持了11個月之后，面粉零售價格開始下降。與小麥批發(fā)價格的下降相一致，在經(jīng)歷了5年零7個月的變化之后，面粉零售價格又恢復(fù)到接近開放前2.14元/千克的水平上（2.17元）。散點(diǎn)圖如圖2。按時間分析這些觀測點(diǎn)的變化情況（見圖3，逆時針方向運(yùn)動）。見圖4，直接擬合這些數(shù)據(jù)效果將很差（R2 = 0.027, r = 0.17）。 圖1 圖2 圖3 圖4 利用虛擬變量技術(shù)，在模型中加入虛擬變量。定義D = 0，（1995: 11996:6，面粉零售價格放開之前）， D = 1，（1996:72002:12，面粉零售價格放開之后）。取對數(shù)關(guān)系建立模型。Lnsale的系數(shù)沒有顯著性（對于面粉零售價格放開之前的散點(diǎn)來說回歸直線是一條水平線）。剔出Lnsale變量，得估計結(jié)果PRICE = 2.140 + 1.1215 LnsaleD 7.7458D (131.5) (23.9) (-23.0) R2 = 0.9054,PRICE = 2.140, D=0PRICE = 5.6058 + 1.1215 Ln