微積分x13-2二重積分的計(jì)算方法【嚴(yán)選課資】

1、13.2 二重積分的計(jì)算方法,一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分,在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域D,則面積元素為,1,優(yōu)質(zhì)課堂,已知平行截面面積 的立體的體積,注：二重積分轉(zhuǎn)變?yōu)槎畏e分的 推導(dǎo)過(guò)程借助于幾何直觀，略去 了分析證明過(guò)程,2,優(yōu)質(zhì)課堂,用平面x=x0截立體，截得A(x0). 應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法,得,注意D的特殊之處,3,優(yōu)質(zhì)課堂,定理13-1（基本定理） 函數(shù)f(x,y)在閉矩形區(qū)域D,可積,若每一個(gè),若每一個(gè),4,優(yōu)質(zhì)課堂,d c,a b,如果積分區(qū)域?yàn)?5,優(yōu)質(zhì)課堂,6,優(yōu)質(zhì)課堂,如果積分區(qū)域?yàn)?其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù),X型,X型

2、區(qū)域的特點(diǎn)： 穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn),7,優(yōu)質(zhì)課堂,如果積分區(qū)域?yàn)?Y型,Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn),8,優(yōu)質(zhì)課堂,若區(qū)域如圖,在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式,則必須分割,對(duì)非X、Y型區(qū)域,9,優(yōu)質(zhì)課堂,解,積分區(qū)域如圖,10,優(yōu)質(zhì)課堂,解,積分區(qū)域如圖,11,優(yōu)質(zhì)課堂,1). 計(jì)算,其中D 是直線 y1, x2, 及,yx 所圍的閉區(qū)域,解法1. 將D看作X型區(qū)域, 則,解法2. 將D看作Y型區(qū)域, 則,例3計(jì)算下列二重積分,12,優(yōu)質(zhì)課堂,解,13,優(yōu)質(zhì)課堂,解,X-型,14,優(yōu)質(zhì)課堂,4）. 計(jì)算,其中D

3、是拋物線,所圍成的閉區(qū)域,解: 為計(jì)算簡(jiǎn)便, 先對(duì) x 后對(duì) y 積分,及直線,則,15,優(yōu)質(zhì)課堂,解,16,優(yōu)質(zhì)課堂,6）. 計(jì)算,其中D 是直線,所圍成的閉區(qū)域,解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域,先對(duì) x 積分不行,說(shuō)明: 有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序,17,優(yōu)質(zhì)課堂,解,18,優(yōu)質(zhì)課堂,令y-x=u,交換積分次序,令u=-t,19,優(yōu)質(zhì)課堂,20,優(yōu)質(zhì)課堂,O 1 x,y 1,21,優(yōu)質(zhì)課堂,例7,解,先去掉絕對(duì)值符號(hào)，如圖,22,優(yōu)質(zhì)課堂,o 1 x,23,優(yōu)質(zhì)課堂,o 1 x,24,優(yōu)質(zhì)課堂,25,優(yōu)質(zhì)課堂,例6,證,26,優(yōu)質(zhì)課堂,利用二重積分計(jì)算空間立體

4、體積,27,優(yōu)質(zhì)課堂,例1,解,所求立體可以看成是一個(gè) 曲頂柱體，它的曲頂為,底為,28,優(yōu)質(zhì)課堂,例2. 求兩個(gè)底圓半徑為R 的直角圓柱面所圍的體積,解: 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為,利用對(duì)稱(chēng)性, 考慮第一卦限部分,其曲頂柱體的頂為,則所求體積為,29,優(yōu)質(zhì)課堂,二、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分,30,優(yōu)質(zhì)課堂,二重積分化為二次積分的公式（,區(qū)域特征如圖,31,優(yōu)質(zhì)課堂,32,優(yōu)質(zhì)課堂,二重積分化為二次積分的公式（,區(qū)域特征如圖,33,優(yōu)質(zhì)課堂,極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積,二重積分化為二次積分的公式（,區(qū)域特征如圖,34,優(yōu)質(zhì)課堂,解,35,優(yōu)質(zhì)課堂,36,優(yōu)質(zhì)課堂,解,37,優(yōu)質(zhì)課堂,解,38,優(yōu)質(zhì)課堂,39,優(yōu)質(zhì)課堂,40,優(yōu)質(zhì)課堂,解,41,優(yōu)質(zhì)課堂,例5 求由球面x2+y2+z2=4a2與柱面x2+y2=2ax所圍立體的體積,解,x,y,o,42,優(yōu)質(zhì)課堂,43,優(yōu)質(zhì)課堂,44,優(yōu)質(zhì)課堂,解,D=2D1,45,優(yōu)質(zhì)課堂,例7,解,46,優(yōu)質(zhì)課堂