（江蘇專用）202x版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)Ⅰ第10講 函數(shù)模型及其應(yīng)用

1、第10講函數(shù)模型及其應(yīng)用,考試要求1.指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征(A級(jí)要求)；2.函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等)的廣泛應(yīng)用(B級(jí)要求)；3.利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題(B級(jí)要求).,知 識(shí) 梳 理,1.幾類函數(shù)模型及其增長差異 (1)幾類函數(shù)模型,(2)指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較,遞增,遞增,y軸,x軸,2.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值在解決生活中的優(yōu)化問題時(shí)應(yīng)用廣泛，但要注意結(jié)合實(shí)際意義(比如定義域問題)作答.,診 斷 自 測(cè),1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”) (1)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)yabxc(a0，b0，b1)增長速度的形象比喻.()

2、(2)冪函數(shù)增長比直線增長更快.(),(4)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解實(shí)際問題時(shí)，一定要注意自變量的實(shí)際意義.(),答案(1)(2)(3)(4),2.某商品的年利潤y(萬元)與年產(chǎn)量x(百萬件)的函數(shù)關(guān)系式：yx327x123(x0)，則獲得最大利潤時(shí)的年產(chǎn)量為_百萬件. 解析y3x2273(x3)(x3)， 當(dāng)00； 當(dāng)x3時(shí)，y0. 故當(dāng)x3時(shí)，該商品的年利潤最大. 答案3,3.(教材改編)某商人將彩電先按原價(jià)提高40%，然后“八折優(yōu)惠”，結(jié)果是每臺(tái)彩電比原價(jià)多賺270元，那么每臺(tái)彩電原價(jià)是_元. 解析設(shè)每臺(tái)原價(jià)是a元，則a(140%)80%a270，解得a2 250. 答案2 250,4.若做一個(gè)容積

3、為256的正方形底無蓋水箱，為使它的用料最省(全面積最小)，則它的高為_.,答案4,當(dāng)0t25時(shí)，y(t10)2900，當(dāng)t10時(shí)，ymax900， 當(dāng)25t30時(shí)，y(t70)2900，當(dāng)t25時(shí)，ymax1 125. 綜上，30天中日銷量金額最大的一天是第25天. 答案25,考點(diǎn)一用函數(shù)圖象刻畫變化過程,【例1】 某民營企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查和預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖所示；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖所示(單位：萬元).,分別將A、B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式. 解設(shè)投資為x萬元，A產(chǎn)品的利潤為f(x)萬元，B產(chǎn)品的利潤為g(x

4、)萬元.,規(guī)律方法判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法 (1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象. (2)驗(yàn)證法：當(dāng)根據(jù)題意不易建立函數(shù)模型時(shí)，則根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案.,【訓(xùn)練1】 為了發(fā)展電信事業(yè)，方便用戶，電信公司對(duì)移動(dòng)電話采用不同的收費(fèi)方式.其中所使用的“便民卡”與“如意卡”在某市范圍內(nèi)每月(30天)的通話時(shí)間x(min)與通話費(fèi)y(元)的關(guān)系如圖所示.,考點(diǎn)二已知函數(shù)模型的實(shí)際問題,求k的值及f(x)的表達(dá)式； 隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)

5、用f(x)達(dá)到最??？并求最小值.,解當(dāng)x0時(shí)，C8，k40，,令3x5t，t5，35，,因此f(x)的最小值為70. 隔熱層修建5 cm厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，最小值為70萬元.,規(guī)律方法求解所給函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)注點(diǎn) (1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù). (2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù). (3)利用該模型求解實(shí)際問題.,【訓(xùn)練2】 某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購進(jìn)一批商品，若該商品零售價(jià)定為p元，銷售量為Q件，則銷售量Q(單位：件)與零售價(jià)p(單位：元)有如下關(guān)系：Q8 300170pp2，則最大毛利潤為(毛利潤銷售收入進(jìn)貨支出)_元. 解析設(shè)

6、毛利潤為L(p)元，則由題意知 L(p)pQ20QQ(p20)(8 300170pp2)(p20) p3150p211 700p166 000， 所以L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去). 當(dāng)p(0，30)時(shí)，L(p)0，當(dāng)p(30，)時(shí)，L(p)0， 故L(p)在p30時(shí)取得極大值，即最大值，且最大值為L(30)23 000. 答案23 000,考點(diǎn)三構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題 角度1以空間幾何體為載體構(gòu)造函數(shù)模型,【例31】 (2016江蘇卷)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐PA1B1C1D1，下部分的形狀是正四棱柱ABC

7、DA1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高OO1是正四棱錐的高PO1的4倍.,(1)若AB6 m，PO12 m，則倉庫的容積是多少？ (2)若正四棱錐的側(cè)棱長為6 m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉庫的容積最大？,(2)設(shè)PO1x m，,SA1B1C1D12(62x2)，,又由題意可得下面正四棱柱的高為4x m.,答：當(dāng)PO12 m時(shí)，倉庫容積最大.,角度2以平面圖形為載體構(gòu)造函數(shù)模型,【例32】 (2019蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)如圖()是一斜拉橋的航拍圖，為了分析大橋的承重情況，研究小組將其抽象成圖()所示的數(shù)學(xué)模型.索塔AB，CD與橋面AC均垂直，通過測(cè)量知兩索塔的高度均為60 m，橋面AC

8、上一點(diǎn)P到索塔AB，CD距離之比為214，且P對(duì)兩塔頂?shù)囊暯菫?35.,(1)求兩索塔之間橋面AC的長度； (2)研究表明索塔對(duì)橋面上某處的“承重強(qiáng)度”與多種因素有關(guān)，可簡單抽象為：某索塔對(duì)橋面上某處的“承重強(qiáng)度”與索塔的高度成正比(比例系數(shù)為正數(shù)a)，且與該處到索塔的距離的平方成反比(比例系數(shù)為正數(shù)b).問兩索塔對(duì)橋面何處的“承重強(qiáng)度”之和最??？并求出最小值.,解(1)設(shè)AP21t，CP4t，t0，記APB，CPD，,化簡得7t2125t3000，,答：兩索塔之間的距離AC500米. (2)設(shè)橋面AC上一點(diǎn)M，AMx，點(diǎn)M處的承重強(qiáng)度之和為L(x).,令l(x)0，解得x250， 當(dāng)x(0，

9、250)時(shí)，l(x)0，l(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x(250，500)時(shí)，l(x)0，l(x)單調(diào)遞增，,角度3以三角為載體構(gòu)造函數(shù)模型,又PQABAPcos (1cos )km，,規(guī)律方法解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序： 第一步：(審題)弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系； 第二步：(建模)將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型； 第三步：(解模)求解數(shù)字模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論； 第四步：(還原)將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義； 第五步：(反思)對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性.,【訓(xùn)練3】 (2019常州監(jiān)測(cè))已知小明(如圖中AB所示)身高1.8米，路燈OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分別與地面交于點(diǎn)A，O，點(diǎn)光源從M發(fā)出，小明在地面上的影子記作AB.,(1)小明沿