淺談數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

1、 淺談數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用 永吉35中 王萍 數(shù)形結(jié)合:就是通過數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題,它包含以形助數(shù)和以數(shù)解形兩個(gè)方面.利用它可使復(fù)雜問題簡單化,抽象問題具體化,它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀之長,是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一,是一種基本的數(shù)學(xué)方法。 數(shù)和形是數(shù)學(xué)中兩個(gè)最基本的概念,它們既是對(duì)立的,又是統(tǒng)一的,每一個(gè)幾何圖形中都蘊(yùn)含著與它們的形狀,大小,位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系;反之,數(shù)量關(guān)系又常?？梢酝ㄟ^幾何圖形做出直觀地反映和描述.數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來,使抽象思維和形象思維結(jié)合起來,在解決代數(shù)問題時(shí),想到它的圖形,從而啟發(fā)思維,找到解

2、題之路;或者在研究圖形時(shí),利用代數(shù)的性質(zhì),解決幾何的問題.實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化,化難為易,化抽象為直觀.數(shù)形結(jié)合是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間觀念和數(shù)感,進(jìn)行形象思維與抽象思維的交叉運(yùn)用,使多種思維互相促進(jìn),和諧發(fā)展的主要形式;數(shù)形結(jié)合教學(xué)又有助于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。 從初中學(xué)習(xí)數(shù)軸開始，我們就建立起了有理數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。這可以算是數(shù)與形結(jié)合的開端。即而，學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)之后，把這種對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)變?yōu)閷?shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)。因而數(shù)形結(jié)合通常是與數(shù)軸、平面直角坐標(biāo)系相聯(lián)系的。新一輪課程改革中的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、持續(xù)的發(fā)展，它要求學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、技 能和方法

3、，逐漸形成自己的數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待生活中的人和事物，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法解決生活中的實(shí)際問題，那么，作為最基本的數(shù)學(xué)思想之一的數(shù) 形結(jié)合思想在新課程中又是怎樣體現(xiàn)的呢？下面我結(jié)合它在以下幾方面的運(yùn)用淺談一下。一、數(shù)與代數(shù)中的數(shù)形結(jié)合這部分內(nèi)容與原教學(xué)大綱比，數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容有很大改變和加強(qiáng)。它重視滲透和揭示基本的數(shù)學(xué)思想方法，加強(qiáng)數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系及其相關(guān)學(xué)科的聯(lián)系，如提前安排平面直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)的方法處理更多的內(nèi)容包括二元一次方程組，平移變換，對(duì)稱變換，函數(shù)等。又如，它改變了“先集中出方程，后集中出函數(shù)”的做法，而是按照一次和二次的數(shù)量關(guān)系，使方程和函數(shù)交替出現(xiàn)，分層遞進(jìn)，螺

4、旋上升。在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)里，我認(rèn)為，應(yīng)該抓住實(shí)數(shù)與樹軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，有序?qū)崝?shù)對(duì)與坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從數(shù)形結(jié)合的角度出發(fā)，借助數(shù)軸處理好相反數(shù)和絕對(duì)值的意義，有理數(shù)大小的比較，有理數(shù)的分類，有理數(shù)的加法運(yùn)算，不等式的解集在數(shù)軸上的表示等。教師要賦予這些系統(tǒng)內(nèi)容新的活力，采用符合課標(biāo)理念的教法，在吃透新課程標(biāo)準(zhǔn)和教材的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷試驗(yàn)、探索的過程，體驗(yàn)如何用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用的能力，從而激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的原動(dòng)力。例1、一元二次方程解的意義：ax2+bx+c=0(a0)是一元二次方程。它的解可以理解為函數(shù)y= ax2+bx+c的圖象與常值函數(shù)y=0，即

5、x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。那么當(dāng)公共點(diǎn)有兩個(gè)時(shí),對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)公共點(diǎn)只有一個(gè)時(shí),對(duì)應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解；當(dāng)沒有公共點(diǎn)時(shí),對(duì)應(yīng)的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)解。例：x2-x-6=0，x1=-2，x2=3，y=x2-x-6與x軸的公共點(diǎn)A(-2,0),B(3,0)。x2-2x+1=0，x1=x2=1，y= x2-2x+1與x軸的公共點(diǎn)A(1,0)。x2+1=0，沒有實(shí)數(shù)解，y= x2+1與x軸沒有公共點(diǎn)。yxooyxo1yxo1圖 圖 圖例2、二元一次方程組的解的意義：二元一次方程組的解有三種情況： 無解；無數(shù)個(gè)解； 只有一個(gè)解。這三種情況可以轉(zhuǎn)化為兩條直線a1x+b1

6、y+c1=0、a2x+b2y+c2=0的三種位置關(guān)系：平行；重合； 相交。方程組的解轉(zhuǎn)化為兩條直線的交點(diǎn)。當(dāng)a1：a2=b1：b2c1：c2時(shí)，兩條直線的斜率相同，y軸上的截距不同。此時(shí)兩條直線平行，無交點(diǎn)，因而方程組無解。當(dāng)a1：a2=b1：b2=c1：c2時(shí)，兩條直線的斜率相同，y軸上的截距相同。此時(shí)兩條直線重合，有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，因而方程組有無數(shù)個(gè)解。當(dāng)a1：a2b1：b2時(shí)，兩條直線的斜率不相同，兩條直線相交，只有一個(gè)交點(diǎn)，因而方程組只有一個(gè)解。例：，方程組無解。兩條直線2x+y+3=0、4x+2y+1=0的位置關(guān)系如圖：平行。，方程組只有一個(gè)解。兩條直線2x+y+1=0、x+2y=0的

7、位置關(guān)系如圖：相交。，方程組有無數(shù)個(gè)解。兩條直線2x+4y=0、x+2y=0的位置關(guān)系如圖：重合。yxoyxoyxo（1）（2）（3）cb0ax例3、圖形隱含條件：例：在數(shù)軸上的位置如圖，化簡：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。解：b0,cc,ab,|c|a|a-b0,b-c0,a+c0。|a-b|-|b-c|+2|a+c|=(a-b)-(b-c)-2(a+c)=-a-2b-c。例4、教師任意寫出一個(gè)關(guān)于a和b的二次式，此二次式能分解成兩個(gè)一次式的乘積，且各項(xiàng)系數(shù)都是正整數(shù)，如： +2ab+, 2+5ab+2等。abba學(xué)生根據(jù)教師給出的二次式，選取相應(yīng)種類和數(shù)量的卡片，嘗試拼成一個(gè)矩形，

8、討論矩形的代數(shù)意義學(xué)生在這一活動(dòng)中能很好地體會(huì)代數(shù)與幾何的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系和圖形性質(zhì)的相應(yīng)轉(zhuǎn)化，這一活動(dòng)達(dá)到了讓學(xué)生手腦并用的目的，無疑對(duì)啟迪學(xué)生的智慧起到助推器的作用。例5、完成下列計(jì)算，1+2=?1+2+3=?1+2+3+4=?如果以1+2+3+4為例，如圖：由此可知，1+2+3+4=10=由此可知，1+2+3+4=10=1+2+3+4+5=? 1+2+3+ +100=?1+2+3+n=?教師先讓學(xué)生思考，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、歸納、提出猜想的過程后提供以上圖形，運(yùn)用圖形的直觀性幫助學(xué)生理解，使學(xué)生從數(shù)與形的聯(lián)系中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學(xué)生了解這兩個(gè)代數(shù)知識(shí)的幾何背景，感受數(shù)學(xué)的神奇魅力。在“數(shù)與

9、代數(shù)”的教學(xué)中，教師應(yīng)強(qiáng)調(diào)數(shù)與形的結(jié)合，讓學(xué)生建立由數(shù)想到形，由形想倒數(shù)的思想，這樣可以加深學(xué)生對(duì)“數(shù)與代數(shù)”的理解和認(rèn)識(shí)，如利用圖形理解完全平方公式、平方差公式，利用函數(shù)圖像理解函數(shù)的變化趨勢等都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的極好的方法。二、“空間與圖形”中的數(shù)形結(jié)合新課程中的幾何內(nèi)容做了較大的刪改，削弱了以演繹推理為主要形式的定理證明，降低了論證過程形式化的要求和證明的難度。我想，這無疑給了教師充分脫脂的空間。教師要把握好數(shù)學(xué)思想方法在整個(gè)教學(xué)發(fā)展中的地位，對(duì)于“數(shù)形結(jié)合”，教師要善于挖掘教材和生活中的素材，從形到數(shù)，揭示“形”中“數(shù)”的本質(zhì)。例6、如圖，是連接在一起的兩個(gè)正方形，大正方形的邊長

10、是小正方形邊長的2倍。問：若只許剪兩刀應(yīng)如何裁剪，使之能拼成一個(gè)新的大正方形？（1）（2）（1）（2）對(duì)于這一問題學(xué)生往往采取實(shí)驗(yàn)的方法，這里裁一刀，那里試一剪，但卻極少有人能在短時(shí)間內(nèi)拼湊好。如果對(duì)題目認(rèn)真加以分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，從已知到結(jié)論，圖形雖然變了，但其中卻還有沒變的東西面積，若設(shè)小正方形的面積為1，則其邊長就是1，這樣一來，我們僅需沿著圖4中邊長為的線段去考慮裁剪即可，而圖中這樣的線段沒有幾條，于是很快就能找到答案。問題之所以能很快解決，關(guān)鍵是我們從問題“變”中看到了“不變”，從“形”的表面找到了“數(shù)”這一實(shí)質(zhì)。一個(gè)似乎是純幾何的問題，在“數(shù)”的引導(dǎo)下獲得了最好的解決方式，這種由表

11、及里，形中有數(shù)的思想方法，正是數(shù)學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。又如，以下幾個(gè)題目也是數(shù)形結(jié)合的很好的例子。例7、（1）如圖，用長30m的籬笆與一堵墻圍一方土地，求籬笆能包圍的土地的最大面積。(2）如圖，用長30m的籬笆與兩堵墻（兩堵墻成120角）圍一方土地，求籬笆能包圍的土地的最大面積。 (3)如圖8，用長12m的木方，做一個(gè)有一條橫檔的矩形窗子，圍使透進(jìn)的陽光最多，應(yīng)選擇窗子的長寬各為多少m？ 在教學(xué)中，教師應(yīng)該不失時(shí)機(jī)的讓學(xué)生透過形的外表，觸及其內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，探索由形到數(shù)的聯(lián)系與規(guī)律。三、“統(tǒng)計(jì)與概率”中的數(shù)形結(jié)合新課標(biāo)中的統(tǒng)計(jì)與概率，在內(nèi)部編排和內(nèi)容要求上卻由所加強(qiáng)，真正讓學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)計(jì)的全過程，發(fā)現(xiàn)并提出問題，運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆椒?，收集和整理?shù)據(jù)，運(yùn)用合適的統(tǒng)計(jì)表統(tǒng)計(jì)圖來展示數(shù)據(jù)做出決策。例6如圖（略）-21032-14-21032-14圖9圖10概率是新增加的內(nèi)容，其抽象性使它成為教學(xué)的難點(diǎn)，在計(jì)算簡單事件的概率時(shí)，采用畫樹狀圖的方法，樹形結(jié)合，能收到化難為易的效果。例7、一布袋