完美版圓錐曲線知識點總結(jié)

1、圓錐曲線的方程與性質(zhì)1.橢圓（1）橢圓概念平面內(nèi)與兩個定點 F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a （大于 廳店2丨）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離2c叫橢圓的焦距。若 M為橢圓上任意一點，則有| MF1 | |MF2| 2a。上）。橢圓的標準方程為:2 2xy2,2ab0）（焦點在x軸上）2y_2a2x篤 1 (a b 0)b2（焦點在注：以上方程中a,b的大小a b 0,其中b21兩個方程中都有a0的條件，要分清焦點的位置，只要看x2 和 y2的分母的大小。例如橢圓2ynn）當m n時表示焦點在x軸上的橢圓;表示焦點在y軸上的橢圓。（2）橢圓的性質(zhì)2x范圍：由標準方程

2、篤a2y1知|x| a , |y| b，說明橢圓位于直線 x a ,b所圍成的矩形里;對稱性：在曲線方程里,若以y代替y方程不變，所以若點（x, y）在曲線上時,占八、（x, y）也在曲線上,所以曲線關(guān)于x軸對稱，同理，以x代替x方程不變，則曲線關(guān)于 y軸對稱。若同時以x代替x , y代替y方程也不變，則曲線關(guān)于原點對稱。所以，橢圓關(guān)于x軸、y軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心; 頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與x軸、y軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令x 0，得y b，則B1（0, b） , B2（0,b）是橢圓與y軸的兩個

3、交點。同理令y 0得x a，即A（ a,0）,A（a,O）是橢圓與x軸的兩個交點。所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。同時，線段 AA、B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為2a和2b , a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為 a ；在Rt OB2F2中，|OB2 | b , |OF2 | c , | B2F2 | a , 且 |OF2 |2 | B2F2 |2 |OB2 |2，即 c2 a2 b2 ；c 離心率：橢圓的焦距與長軸的比 e 叫橢圓的離心率。：a c 00 e 1，且e越接近1, c就a越接近a，從

4、而b就越小，對應(yīng)的橢圓越扁；反之，e越接近于0, c就越接近于0 ,從而b越接近于a，這時橢圓越接近于圓。當且僅當 a b時，c 0，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為x2 y2 a2。2.雙曲線(1)雙曲線的概念平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數(shù)的動點軌跡是雙曲線(| PR I | PF2 II 2a )。注意：式中是差的絕對值，在0 2a IRF2I條件下；|PF, | | PF2 | 2a時為雙曲線的一支；|PF2| I PF, I 2a時為雙曲線的另一支(含F(xiàn),的一支)；當2a |F,F2|時，| PF, | |PF2| 2a表示兩條射線；當 2a I F1F21 時，|PFi IIP

5、F2II 2a不表示任何圖形；兩定點F1,F2叫做雙曲線的焦點,IF1F21叫做焦距。(2)雙曲線的性質(zhì)范圍：從標準方程2 2務(wù) 占 1，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線a bx a的外側(cè)。即29x a , x a即雙曲線在兩條直線 x a的外側(cè)。2 2對稱性：雙曲線 務(wù) 葺 1關(guān)于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點 a b22是雙曲線令 牛 1的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。a b頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線2 2務(wù) 1的方程里，對稱軸是 x,y軸，所a b22以令y 0得x a，因此雙曲線和x軸有兩個交點 A (

6、a,0)A2(a,0)，他們是雙曲線 令 1的頂點。 a b令x 0,沒有實根，因此雙曲線和 y軸沒有交點。，雙曲線的頂點分別是實軸的兩個1）注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的（橢圓有四個頂點）端點。2）實軸：線段 A A2叫做雙曲線的實軸，它的長等于2a,a叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段B B2叫做雙曲線的虛軸，它的長等于 2b,b叫做雙曲線的虛半軸長。漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從2 2圖上看，雙曲線 篤 告 1的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。a b 等軸雙曲線：1） 定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線

7、。定義式：a b ；2） 等軸雙曲線的性質(zhì)：（1 ）漸近線方程為：y x ；（ 2）漸近線互相垂直。注意以上幾個性質(zhì)與定義式彼此等價。亦即若題目中出現(xiàn)上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其 他幾個亦成立。2 23）注意到等軸雙曲線的特征b，則等軸雙曲線可以設(shè)為：x y （0），當0時交點在x軸，0時焦點在y軸上。2 2注意_16921與y-92x161的區(qū)別：三個量a,b,c中a,b不同（互換）c相同，還有焦點所在的坐標軸也變了。3.拋物線拋物線的概念平面內(nèi)與一定點 F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡叫做拋物線（定點F不在定直線I上）。定點F叫做拋物線的焦點，定直線 I叫做拋物線的準線

8、。2方程y 2 px p 0叫做拋物線的標準方程。注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（衛(wèi)，0 ），它的準線方程是 x -；2 2（2）拋物線的性質(zhì)一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：2 2 2y2px , x2py , x2py.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如F表:標準方程y2 2px(p O)yy22px(P O)x2(P2pyO)x22py(p O)圖形1ukt咳l焦點坐標(-,0)2p(亍,o)p(o，)2p(O, 2)準線方程xP2x衛(wèi)2y舟V范圍x Ox Oy oy o對

9、稱性x軸x軸y軸y軸頂點(O,O)(O,O)(O,O)(O,O)離心率e 1e 1e 1e 1說明：(1)通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；(2)拋物線的幾何性質(zhì)的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；(3)注意強調(diào)p的幾何意義：是焦點到準線的距離。4.高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分知識點梳理一、方程的曲線：在平面直角坐標系中，如果某曲線C(看作適合某種條件的點的集合或軌跡)上的點與一個二元方程f(x,y)=O 的實數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的解；(2)以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點，那么這個方程叫做曲線的方程；這條

10、曲線叫做方程的曲線。點與曲線的關(guān)系：若曲線 C的方程是f(x,y)=0 ，則點Po(x o,y 0)在曲線C上 f(x o,y o)=0 ;點Po(x o,y o)不在曲線 C 上f(x o,y o)豐 O。兩條曲線的交點：若曲線Ci, C的方程分別為fi(x,y)=O,f2(x,y)=O,則點Po(x o,y o)是C, C2的交點 fl(xo,yo) O方程組有n個不同的實數(shù)解，兩條曲線就有n個不同的交點；方程組沒有實數(shù)解，曲線就沒f2(xo,yo) O. . . . 2 2 22、方程：標準方程：圓心在 c(a,b)，半徑為r的圓方程是(x-a) +(y-b) =r圓心在坐標原點，半徑為

11、 r的圓方程是x2+y2=r2一般方程：當 D2+W-4F 0時，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，圓心為 (,)半徑2 2. rDE22是.D E 4F。配方，將方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化為(x+ ) 2+(y+ ) 2= D E - 4F4 當D2+E2-4F=0時，方程表示一個點(-D ,-)；2 2 當D2+E2-4F V 0時，方程不表示任何圖形.(3) 點與圓的位置關(guān)系已知圓心C(a,b),半徑為r,點M的坐標為(x o,y 0)，則丨MC| V r 點M在圓C內(nèi)，丨MC| =r 點M在圓C上,MCI r點 M在圓 C內(nèi)，其中丨 MC|=

12、（x0-a）2 （y0 -b）2。有兩個公共點；直(4) 直線和圓的位置關(guān)系：直線和圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系：直線與圓相交線與圓相切有一個公共點；直線與圓相離沒有公共點。直線和圓的位置關(guān)系的判定：(i)判別式法；(ii)利用圓心C(a,b)到直線Ax+By+C=0的距離d Aa Bb CVA2 B2與半徑r的大小關(guān)系來判定。三、圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)的動點 P(x,y)到一個定點F(c,0)的距離與到不通過這個定點的一條定直線I的距離之比是一個常數(shù)e(e 0),則動點的軌跡叫做圓錐曲線。其中定點F(c,0)稱為焦點，定直線l稱為準線，正常數(shù) e稱為離心率。當0v ev 1時，軌跡為

13、橢圓；當 e=1時，軌跡為拋物線；當 e 1時，軌跡為雙曲線。四、橢圓、雙曲線、拋物線:定義橢圓1 .到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a|F 1F2I)的點的軌跡2 .與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.(0e1)雙曲線1. 到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(02a1)拋物線與定點和直線的距離相等的點的軌跡軌跡條件點集：（M I I MF+ I MF I=2a, I F 1F2 I V 2a.點集：M| I MF I - I MF I .= 2a, I F2F2 I 2a.點集M I I MF I =點M到直線I的距離.圖形17i丫is方 程標準方程2 25 1(

14、 a b0) ab2 2 XyP Z_1(a0,b0)aby22 px參數(shù)方程x a cos y bsi n（參數(shù)為離心角）x asec y bta n（參數(shù)為離心角）2x 2 pt (t為參數(shù)) y 2pt范圍a x a, b y b|X|a , y Rx 0中心原點0( 0, 0)原點0(0, 0)頂點(a,0), ( a,0),(0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0)對稱軸x軸，y軸；長軸長2a,短軸長2bx軸，y軸； 實軸長2a,虛軸長2b.X軸焦占八 、八、Fi(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)F&0)準線2亠a x= 土 c準線

15、垂直于長軸，且在橢圓外2亠a x= 土 c準線垂直于實軸，且在兩頂點的內(nèi)側(cè).x=-衛(wèi)2準線與焦點位于頂點兩側(cè)， 且到頂點的距離相等.焦距2c (c= Ja2 b2)1 2 .22c (c=a b )離心率e c(0 e 1)ae -(e 1) ae=1【備注1】雙曲線:等軸雙曲線：雙曲線 X2 y2 a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y x，離心率e 、2 .共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸， 實軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛雙曲線2 y b2互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線:2 X2 a共漸近線的雙曲線系方程:2 X2 a2牛 （0）的漸近線方程為2話0如果雙曲線的漸近線為2

16、它的雙曲線方程可設(shè)為 乞2 a2b2(0).【備注2】拋物線：(1)拋物線y2 =2px(p0)的焦點坐標是(E ,0)，準線方程x=-，開口向右；拋物線 y2 =-2px(p0)的焦點坐 2 2，準線方程x=P，開口向左；拋物線 x2 =2py(p0)的焦點坐標是(0,衛(wèi))，準線方程y=-衛(wèi) ，開2 2 2標是(-,0)2口向上；拋物線x2=-2py ( p0)的焦點坐標是(0,-)，準線方程y=，開口向下2 2(2)拋物線y2=2px(p0)上的點M(xO,yO)與焦點F的距離 MFp2X。；拋物線 y =-2px(p0)上的點 M(xO,yO)與焦點F的距離MFXo(3)設(shè)拋物線的標準方

17、程為=2px(p0)，則拋物線的焦點到其頂點的距離為-，頂點到準線的距離衛(wèi)，焦點2 2到準線的距離為 p.(4)已知過拋物線2y =2px(p0)焦點的直線交拋物線于A、B兩點，則線段AB稱為焦點弦，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則弦長AB=x,x2 +p 或 AB蘭(a為直線AB的傾斜角)，y2sin2p2, NX?, AF4Xi2叫做焦半徑).五、坐標的變換:(i)坐標變換：在解析幾何中，把坐標系的變換(如改變坐標系原點的位置或坐標軸的方向)叫做坐標變換.實施坐標變換時，點的位置，曲線的形狀、大小、位置都不改變，僅僅只改變點的坐標與曲線的方程(2)坐標軸的平移：坐標軸的方向和長度單

18、位不改變，只改變原點的位置，這種坐標系的變換叫做坐標軸的平 移，簡稱移軸。(3)坐標軸的平移公式：設(shè)平面內(nèi)任意-中的坐標是(x,y).設(shè)新坐標系的原點點M,它在原坐標系xOy中的坐標是(x,y)，在新坐標系O在原坐標系xOy中的坐標是(h,k)，則x h或y k yO, yhk叫做平移(或移軸)公式(4)中心或頂點在(h,k)的圓錐曲線方程見下表:方程焦占八、八、焦線對稱軸橢圓(x-h)2 |(y-k)2=12.21ab( c+h,k)2,a - x= +hcx=hy=k(x-h)2 +(y-k)21.2 2 =1 ba(h, c+k)2,a , y= +k cx=hy=k雙曲線(x-h)2(

19、y-k)2 =1( c+h,k)2丄a,x= +kcx=hy=k2.2ab(y-k)2(x-h)2 -2 . 2 1 ab(h, c+h)2,a , y= +kcx=hy=k拋物線2(y-k) =2p(x-h)(-+h,k)2x=- +h2y=k2(y-k)=-2p(x-h)(-+h,k)2xP +h2y=k(x-h) 2=2p(y-k)(h,衛(wèi) +k)2y=- +k2x=h2(x-h) =-2p(y-k)(h,-& +k)2=衛(wèi)+k2x=h六、橢圓的常用結(jié)論:1. 點P處的切線 PT平分 PF1F2在點P處的外角.2. PT平分 PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是

20、以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點3. 以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線相離.4. 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切5.若Po(xo, yo)在橢圓2 X -2 a2占 1上，則過F0的橢圓的切線方程是bayoyb21.6.若Po(Xo,yo)在橢圓2X2ab 1外，則過R作橢圓的兩條切線切點為P、Pa,則切點弦PP的直線方程是XoX2ayoyb21.7.2橢圓ab2(a b 0)的左右焦點分別為Fi, Fa,點P為橢圓上任意一點F1PF2，則橢圓的焦點角形的面積為S F1PF2b2 tan .22b2(a b 0)的焦半徑公式8. 橢圓聳aIMF1Iaexo,IMF2|

21、 aexo(F,c,0) ,F2CO)M(Xo,y。).9. 設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準線于 M N兩點，貝U MFL NF.10. 過橢圓一個焦點 F的直線與橢圓交于兩點 P、Q, Ai、A為橢圓長軸上的頂點，AP和AQ交于點M AP和AQ交于點N,貝U MFL NF.2x11. AB是橢圓a2 y b21的不平行于對稱軸的弦，M(Xo,yo)為AB的中點，貝y koM kABK AB12.若Po(x,yo)在橢圓2爲 1內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是b2XoX2a2X。2ab X0。a y【推論】：2“”

22、x仁右Po(xo,y。)在橢圓a22吿 1內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是 篤 ba2 y b2X)xTa(a b o)的兩個頂點為Ai( a,0) , A2(a,0)，與y軸平行的直線交橢圓于Pi - Pa時A Pi與A2P2交點的軌跡方程2y_b21.22、過橢圓篤ay21 (a o, b o)上任一點A(Xo, yo)任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且kBCb2Xo2 a yo(常數(shù)).3、若P為橢圓2b 1(abo)上異于長軸端點的任一點尸，F(xiàn)2是焦點,PF1F2PF2F1,貝 H tan co t .a c 22224、設(shè)橢圓 務(wù) 每 1 (a b o)

23、的兩個焦點為F1、F2,P (異于長軸端點)為橢圓上任意一點，在PFF2中，記a bsincF1PF2, PF1F2,F1F2P ，則有e.sin sin a22_5、 若橢圓 1 (a b o)的左、右焦點分別為 F1、F2，左準線為L,則當ovew 2 1時，可在橢圓上a b求一點P,使得PR是P到對應(yīng)準線距離 d與PF的比例中項.2 26、 P為橢圓 令 嶺 1 (a b o)上任一點,F 1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，貝Ua b2a | AF2 | | PA| | PF1 | 2a | AF11,當且僅當A, F2,P三點共線時，等號成立7、橢圓2(x X0)2a2(y y0)1

24、與直線Ax By C 0有公共點的充要條件是b2(Axo2By。 C).2x&已知橢圓a1 (a b 0), O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且OP OQ. (1)12|OP|12|OQ|-1； (2) |OP|2+|OQ|2 的最大值為 4；(3) S opqba b2b2的最小值是 a2 .a b9、過橢圓(ab 0)的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點,弦MN的垂直平分線交x軸于P,則四|MN |10、已知橢圓2y_b2b 0) ,A、B是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x,O),2.2則 a_aXoa2b211、設(shè)P點是橢圓2 x 2 a(a b 0) 上異

25、于長軸端點的任一點,FF2為其焦點記F1 PF2，則 | PF1 | PF2 |-.(2)1 cosPF1F2b2 ta n212、設(shè) A、2B是橢圓務(wù)a2y_b2(a b0)的長軸兩端點，P是橢圓上的一點,PABPBABPAe分別是橢圓的半焦距離心率，則有22ab |cos | (1)|PA| a2 c2cos2tan tan21 e .(3)S PABbcot13、已知橢圓22xy2,2ab1 ( a b 0)的右準線I與x軸相交于點E，過橢圓右焦點F的直線與橢圓相交于 A、B兩點，點C在右準線I上，且BC x軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.14、 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長

26、軸為直徑的圓相交， 則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直15、 過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.16、 橢圓焦三角形中，內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點)17、 橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.18、 橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項七、雙曲線的常用結(jié)論：1、點P處的切線 PT平分 PF1F2在點P處的內(nèi)角.2、PT平分 PF1F2在點P處的內(nèi)角，則焦點在直線 PT上的射影H點的軌跡是以長

27、軸為直徑的圓，除去長軸的兩 個端點3、以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線 相交4、 以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以實軸為直徑的圓相切(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)2x5、右P)(x0, y0)在雙曲線一2a2yy 1 ( a 0,b 0)b2上,則過F0的雙曲線的切線方程是 竽ayoy 1 了 1.2 卄x6、右P)(x01 y0)在雙曲線a2y71 ( a 0,b 0)b2，則過Po作雙曲線的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是XoXyoy1.27、雙曲線一2ab2(a 0,b 0)的左右焦點分別為F1, F2,點P為雙曲線上任意一點F1PF2，則雙曲線的焦點角形的面

28、積為S RPF2b2cot .2b21 (a 0,b 0)的焦半徑公式：( c,0)F2(c,0)當M (xo, yo)在右支上時,| MF11 exo a,|MF2 ex a ；當 M (x, yo)在左支上時，MF, exo a , | MF2 | exo a。9、 設(shè)過雙曲線焦點F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點，A為雙曲線長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于 焦點F的雙曲線準線于 M N兩點，貝U MFL NF.10、 過雙曲線一個焦點 F的直線與雙曲線交于兩點 P、Q, A、A為雙曲線實軸上的頂點，AP和AQ交于點M, A2P 和AQ交于點N,貝U MF丄NF.2 211、AB是

29、雙曲線篤每a b1(a0,b 0)的不平行于對稱軸的弦，M；Xo,yo)為AB的中點，則Km Kabb2Xo2 ，a yo12、若R(Xo, yo)在雙曲線2 X2 ay2b21( a 0,b 0)內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是XoX2 ayoyb222 ayLb213、若Po(x), yo)在雙曲線2 X2 a2 y b21 (a 0,b 0)內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是2 X 2 ay2XoXT ayoyb2即Kab【推論】：b2Xo2a yo21、雙曲線冷a22、過雙曲線篤a(a0,b o)上任一點 A(x, y)任意作兩條傾斜角互補的直線交雙曲線于B,C兩點,則直線BC有定向且

30、kBCb2x (常數(shù))a y。23、若P為雙曲線務(wù)a1 (a 0,b 0)右(或左)支上除頂點外的任一點,F 1, F 2是焦點,PF1F2PF2 F1，則tan cot (或2 2空 tan cot). c a24、設(shè)雙曲線篤a2yb2(a0,b 0)的兩個焦點為 Fi、F2,P(異于長軸端點)為雙曲線上任意一點,在厶PF1F2中，記 f1pf2PF1F2F1F2P，則有sinc e.(sin sin ) a25、若雙曲線篤a2 y_ b21 (a 0,b 0)的左、右焦點分別為 F1、F2,左準線為L,則當1v e的比例中項.2篤 1 (a 0,b 0)的兩個頂點為 A( a,0) , A

31、2(a,0),與y軸平行的直線交雙曲線于P1、P2時b2A1P1與AP2交點的軌跡方程是 篤a2X6、P為雙曲線一a|AF2| 2a | PA|1 (a,b 0)上任一點，為二焦點，a為雙曲線內(nèi)一定點，則IPF1I,當且僅當 代F2,P三點共線且P和A,F2在y軸同側(cè)時，等號成立27、雙曲線X?ay2b21 (a 0,b 0)與直線 Ax By C 0有公共點的充要條件是“22A aC2.&已知雙曲線2x2ab21 (ba 0), O為坐標原點，P、Q為雙曲線上兩動點，且OPOQ .1|OQ |24； (2) |OP|2+|OQ|2的最小值為字%; (3) S OPQbb a2b2的最小值是乎

32、Jb2 a22 29、過雙曲線X2占a b1 (a 0,b 0)的右焦點F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點，弦MN勺垂直平分線交x軸于P,則1 PF 1 e| MN |22 2x y10、已知雙曲線 2 1( a 0,b 0 ),A、B是雙曲線上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點P(x,O),a ba2 b22 b2 則x a或a11、設(shè)P點是雙曲線2 y b21 (a 0,b 0) 上異于實軸端點的任一點，F(xiàn)1、F2為其焦點記F1PF2，則2b21 PF1玨1飛.(2)2be%.12、設(shè) A、B是雙曲線2 y b21 ( a 0,b 0)的長軸兩端點，P是雙曲線上的一點，PABPB

33、ABPA2ab |cos |c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有(1) |PA| a c cos | tantan 12e .(3) S PAB , 2bc 2, 22a b 丄cota213、已知雙曲線務(wù)a2y21 (a0,b 0)b2的右準線I與x軸相交于點E，過雙曲線右焦點 F的直線與雙曲線相交于A B兩點,點C在右準線I上，且BCx軸，則直線 AC經(jīng)過線段EF的中點.14、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線15、過雙曲線焦半徑的端點作雙曲線的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直16、 雙曲線焦三角形中，外點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注：在雙曲線焦