2018-2019學(xué)年人教版高中數(shù)學(xué)選修1-1：第三章-檢測試題

1、第三章檢測試題(時間:120分鐘滿分:150分)【選題明細(xì)表】知識點、方法題號導(dǎo)數(shù)的定義及其計算2,3,13導(dǎo)數(shù)的幾何意義1,9,14,17函數(shù)的單調(diào)性4,5,10,15,18函數(shù)的極值與最值6,7,19不等式恒成立問題11導(dǎo)數(shù)的實際應(yīng)用8,20導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用12,16,21,22一、選擇題(每小題5分,共60分)1.曲線y=12x2-2x在點(1,-32)處的切線的傾斜角為(D)(A)-135(B)45(C)-45 (D)135解析:y=x-2,所以斜率k=1-2=-1,因此,傾斜角為135.故選D.2.下列求導(dǎo)運算正確的是(B)(A)(x+3x)=1+3x2(B)(log2x)=1xln2

2、(C)(3x)=3xlog3e(D)(x2cos x)=-2xsin x解析:(x+3x)=1-3x2,所以A不正確;(3x)=3xln 3,所以C不正確;(x2cos x)=2xcos x+x2(-sin x),所以D不正確;(log2x)=1xln2,所以B正確.故選B.3.若f(x0)=-3,則limh0f(x0+h)-f(x0-3h)h等于(A)(A)-12(B)-9 (C)-6(D)-3解析:因為limh0f(x0+h)-f(x0-3h)h=limh0f(x0+h)-f(x0)h+3limh0f(x0)-f(x0-3h)3h=f(x0)+3f(x0)=4f(x0),所以limh0f(

3、x0+h)-f(x0-3h)h=-12.故選A.4.設(shè)f(x)=x2(2-x),則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(A)(A)(0,43) (B)(43,+)(C)(-,0)(D)(-,0)(43,+)解析:f(x)=2x2-x3,f(x)=4x-3x2,由f(x)0得0x43.故選A.5.如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象,則下面判斷正確的是(C)(A)在區(qū)間(-2,1)上f(x)是增函數(shù)(B)在(1,3)上f(x)是減函數(shù)(C)在(4,5)上f(x)是增函數(shù)(D)當(dāng)x=4時,f(x)取極大值解析:由導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象知,f(x)在(-2,1)上先減后增,在(1,3)上先增后減,在(

4、4,5)上單調(diào)遞增,x=4是f(x)的極小值點,故A,B,D錯誤.故選C.6.函數(shù)y=x4-4x+3在區(qū)間-2,3上的最小值為(D)(A)72 (B)36 (C)12(D)0解析:y=4x3-4,令y=0,則4x3-4=0,x=1,當(dāng)x1時,y1時,y0得y極小值=yx=1=0,得ymin=0.故選D.7.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有極大值和極小值,則a的取值范圍為(D)(A)(-1,2) (B)(-3,6)(C)(-,-1)(2,+)(D)(-,-3)(6,+)解析:因為f(x)有極大值和極小值,所以導(dǎo)函數(shù)f(x)=3x2+2ax+(a+6)有兩個不等零點,所以=4a2-1

5、2(a+6)0,得a6.故選D.8.設(shè)底為正三角形的直棱柱的體積為V,那么其表面積最小時,底面邊長為(C)(A)3V (B)32V (C)34V (D)23V解析:設(shè)底面邊長為x,側(cè)棱長為l,則V=12x2sin 60l,所以l=4V3x2,所以S表=2S底+3S側(cè)=x2sin 60+3xl=32x2+43Vx,S表=3x-43Vx2.令S表=0,所以x3=4V,即x=34V.又當(dāng)x(0,34V)時,S表0,所以當(dāng)x=34V時,表面積最小.故選C.9.已知函數(shù)f(x)=ex-mx+1的圖象是曲線C,若曲線C不存在與直線y=ex垂直的切線,則實數(shù)m的取值范圍是(D)(A)(-,-1e)(B)1e

6、,+)(C)(-,1e)(D)(-,1e解析:函數(shù)f(x)=ex-mx+1的導(dǎo)數(shù)為f(x)=ex-m,設(shè)切點為(s,t),即有切線的斜率為es-m,若曲線C不存在與直線y=ex垂直的切線,則關(guān)于s的方程es-m=-1e無實數(shù)解,由于es0,即有m-1e0,解得m1e.故選D.10.已知向量a=(ex+x22,-x),b=(1,t),若函數(shù)f(x)=ab在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞增,則t的取值范圍是(A)(A)(-,1e-1(B)(e+1,+)(C)(1e-1,e+1)(D)(-,1e-1)解析:f(x)=ex+x22-tx,f(x)=ex+x-t,由題意得ex+x-t0,即tex+x在(-1,

7、1)上恒成立,所以t1e-1.故選A.11.當(dāng)x-2,1時,不等式ax3-x2+4x+30恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(C)(A)-5,-3(B)-6,-98(C)-6,-2(D)-4,-3解析:顯然x=0時,對任意實數(shù)a,已知不等式恒成立;令t=1x,若0x1,則原不等式等價于a-3x3-4x2+1x=-3t3-4t2+t,t1,+),令g(t)=-3t3-4t2+t,則g(t)=-9t2-8t+1=-(9t-1)(t+1),由于t1,故g(t)0,即函數(shù)g(t)在1,+)上單調(diào)遞減,最大值為g(1)=-6,故只要a-6;若-2xk1,則下列結(jié)論中一定錯誤的是(C)(A)f(1k)1k-1(

8、C)f(1k-1)kk-1解析:因為f(x)k1,構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-kx,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,又1k-10,所以g(1k-1)g(0)即f(1k-1)-kk-1-1,得到f(1k-1)1k-1,所以C選項一定錯誤.A,B,D都有可能正確.故選C.二、填空題(每小題5分,共20分)13.已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex,f(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f(0)的值為.解析:f(x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,所以f(0)=3.答案:314.已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖象在點(1,f(1)處的切線過點(2,7),則a=.解析:因為f(1)=2+a,f(1

9、)=3a+1,所以切線方程為y-(2+a)=(3a+1)(x-1),又切線過點(2,7),所以5-a=3a+1,得a=1.答案:115.函數(shù)y=x3+x2-5x-5的單調(diào)遞增區(qū)間是.解析:由y=3x2+2x-50得x1.答案:(-,-35),(1,+)16.已知函數(shù)f(x)=x-1x+1,g(x)=x2-2ax+4,若對于任意x10,1,存在x21,2,使f(x1)g(x2),則實數(shù)a的取值范圍是.解析:由于f(x)=1+1(x+1)20,因此函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增,所以x0,1時,f(x)min=f(0)=-1.根據(jù)題意可知存在x1,2,使得g(x)=x2-2ax+4-1,即x2-2

10、ax+50,即ax2+52x能成立,令h(x)=x2+52x,則要使ah(x)在x1,2能成立,只需使ah(x)min,又函數(shù)h(x)=x2+52x在x1,2上單調(diào)遞減,所以h(x)min=h(2)=94,故只需a94.答案:94,+)三、解答題(共70分)17.(本小題滿分10分)已知函數(shù)f(x)=x3+x-16.(1)求曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線的方程;(2)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-14x+3垂直,求切點坐標(biāo)與切線的方程.解:(1)因為f(x)=3x2+1,所以f(x)在點(2,-6)處的切線的斜率k=f(2)=13.所以切線的方程為y=13(x-2)+(-

11、6),即y=13x-32.(2)因為切線與直線y=-x4+3垂直,所以切線的斜率為4.設(shè)切點的坐標(biāo)為(x0,y0),則f(x0)=3x02+1=4,所以x0=1,所以x0=1,y0=-14或x0=-1,y0=-18.即切點坐標(biāo)為(1,-14)或(-1,-18).切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.18.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a0.(1)討論f(x)在其定義域上的單調(diào)性;(2)當(dāng)x0,1時,求f(x)取得最大值和最小值時的x的值.解:(1)f(x)的定義域為(-,+),f(x)=1+a-2x-

12、3x2.令f(x)=0,得x1=-1-4+3a3,x2=-1+4+3a3,x1x2.所以f(x)=-3(x-x1)(x-x2).當(dāng)xx2時,f(x)0;當(dāng)x1x0.故f(x)在(-,-1-4+3a3)和(-1+4+3a3,+)內(nèi)單調(diào)遞減,在(-1-4+3a3,-1+4+3a3)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)因為a0,所以x10.當(dāng)a4時,x21.由(1)知,f(x)在0,1上單調(diào)遞增.所以f(x)在x=0和x=1處分別取得最小值和最大值.當(dāng)0a4時,x21.由(1)知,f(x)在0,x2上單調(diào)遞增,在x2,1上單調(diào)遞減.所以f(x)在x=x2=-1+4+3a3處取得最大值.又f(0)=1,f(1)=a,所

13、以當(dāng)0a1時,f(x)在x=1處取得最小值;當(dāng)a=1時,f(x)在x=0處和x=1處同時取得最小值;當(dāng)1a4時,f(x)在x=0處取得最小值.19.(本小題滿分12分)給定函數(shù)f(x)=x33-ax2+(a2-1)x和g(x)=x+a2x.(1)求證:f(x)總有兩個極值點;(2)若f(x)和g(x)有相同的極值點,求a的值.(1)證明:因為f(x)=x2-2ax+(a2-1)=x-(a+1)x-(a-1),令f(x)=0,解得x1=a+1,x2=a-1.當(dāng)x0;當(dāng)a-1xa+1,f(x)0.所以x=a-1為f(x)的一個極大值點.同理可證x=a+1為f(x)的一個極小值點.所以f(x)總有兩

14、個極值點.(2)解:因為g(x)=1-a2x2=(x-a)(x+a)x2.令g(x)=0,則x1=a,x2=-a.因為f(x)和g(x)有相同的極值點,且x1=a和a+1,a-1不可能相等,所以當(dāng)-a=a+1時,a=-12;當(dāng)-a=a-1時,a=12.經(jīng)檢驗,當(dāng)a=-12和a=12時,x1=a,x2=-a都是g(x)的極值點.20.(本小題滿分12分)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為3元,并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3a5)的管理費,預(yù)計當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元(9x11)時,一年的銷售量為(12-x)2萬件.(1)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)

15、每件產(chǎn)品的售價為多少元時,分公司一年的利潤L最大,并求出L的最大值Q(a).解:(1)分公司一年的利潤L(萬元)與售價x的函數(shù)關(guān)系式為L=(x-3-a)(12-x)2,x9,11.(2)L(x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-3x).令L=0,得x=6+23a或x=12(不合題意,舍去).因為3a5,所以86+23a283.在x=6+23a兩側(cè)L的值由正變負(fù).所以當(dāng)86+23a9,即3a92時,Lmax=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).當(dāng)96+23a283,即92a5時,Lmax=L(6+23a)=(6+23a-3-a)12-(6

16、+23a)2=4(3-13a)3.所以Q(a)=9(6-a),3a92,4(3-13a)3,92a5.綜上,若3a92,則當(dāng)每件售價為9元時,分公司一年的利潤L最大,最大值Q(a)=9(6-a)(萬元);若92a5,則當(dāng)每件售價為(6+23a)元時,分公司一年的利潤L最大,最大值Q(a)=4(3-13a)3(萬元).21.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=x3+bx2+cx-1,當(dāng)x=-2時有極值,且在x=-1處的切線的斜率為-3.(1)求函數(shù)f(x)的解析式;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間-1,2上的最大值與最小值;(3)若過點P(1,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實數(shù)m的取值范圍.

17、解:(1)f(x)=3x2+2bx+c,f(x)在x=-2時有極值,且在x=-1處的切線的斜率為-3,可有f(-2)=0,f(-1)=-3,b=3,c=0,函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=x3+3x2-1.(2)由(1)知f(x)=3x2+6x,令f(x)=0,有x1=0,x2=-2.所以,當(dāng)x-1,0時,f(x)0,f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增.所以f(x)min=f(0)=-1.又f(-1)=1,f(2)=19,所以f(x)max=19.(3)設(shè)切點為(x0,x03+3x02-1),切線斜率為k=f(x0)=3x02+6x0,所以切線方程為y-(x03+3x02-1)=(3x02+6x0

18、)(x-x0) ,又切線過點P(1,m),代入化簡為m=-2x03+6x0-1,令y=m 與 h(x0)=-2x03+6x0-1,h(x0)=-6x02+6,令h(x0)=0,得x1=-1,x2=1;h(x0)在(-,-1),(1,+)單調(diào)遞減,(-1,1)上單調(diào)遞增, h(-1)=-5,h(1)=3.過點P(1,m)可作曲線y=f(x)的三條切線,即存在三個x0,也即是y=m與h(x)有三個交點.故可知-5m3,即m的取值范圍為(-5,3).22.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-x+1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)證明當(dāng)x(1,+)時,1x-1lnx1,證明當(dāng)x(0,1)時,1+(c-1)xcx.(1)解:由題設(shè),f(x)的定義域為(0,+),f(x)=1x-1,令f(x)=0解得x=1.