特征方程法介紹

1、特征方程法 攻克遞推數列通項公式 【內容摘要】用特征方程法求數列通項公式并非競賽的專利，普通的學生也可以掌握，利用本文的三個定理，可以快捷的求出2008年高考數學（廣東卷陜西卷）的數列壓軸題的通項公式?！娟P 鍵 詞】特征方程 遞推數列 通項公式【正 文】2008年高考廣東的文科數學和理科數學都是以數列作為壓軸題。從得分上看，文科數學的第21題數列題的平均分是0.14分 ，共有26萬多考生得0分，2位考生得滿分；理科數學的第21題數列題的平均分是0.71，共有16萬多位考生得0分， 103位考生得滿分。這兩個壓軸題的關鍵就是通項公式的求解。這兩個題通項公式的求解方法很多，用一般的方法需要很強的構

2、造能力，而用數學競賽中的特征方程法求解是比較快捷的。而且這個方法，普通學生也可以掌握，只需掌握以下三個定理。一、一階線性遞推數列定理1：已知數列的項滿足其中,稱方程為數列的特征方程，設特征方程的根為，則（1）當時，數列為常數數列；（2）當是以為公比的等比數列。例1已知數列滿足：，求解：相應特征方程為所以數列是首項為的等比數列. 例2已知數列滿足遞推關系：其中為虛數單位。當取何值時，數列是常數數列？解：相應特征方程為則特征根要使為常數數列，則必須二、二階線性遞推數列定理2：已知數列的項滿足，稱方程，為數列的特征方程。若是特征方程的兩個根，則（1）當時，數列的通項為，其中A，B由初始值決定；（2）

3、當時，數列的通項為，其中，由初始值決定。例3（2008年高考廣東卷文科數學第21題）設數列滿足， ，數列滿足是非零整數，且對任意的正整數m和自然數k，都有（1）求數列和的通項公式；（2）記，求數列的前n項和Sn.解：其中數列的通項公式的求解如下：數列相應的特征方程為，特征根為 可設。又由，于是 ，故例題4.（2008年高考廣東卷理科數學第21題）設為實數，是方程的兩個實根，數列滿足，（）（1）證明：，；（2）求數列的通項公式；（3）若，求的前項和解：其中數列的通項公式的求解如下：數列相應的特征方程為，特征根為 當時，可設，由，得 ， 當時，可設，由，得 ，三、一次分式遞推數列定理3：已知數列的項滿足： 且對于，都有（其中p、q、r、h，且），稱方程為數列的特征方程.（1）當特征方程有兩個相同的特征根時，（i） 若則數列為常數數列（ii）若，則數列為等差數列。（2）當特征方程有兩個相異的特征根、時，則數列為等比數列。例題5（2008年高考陜西卷數學第22題）已知數列的首項，（）求的通項公式；（）證明：對任意的，；（）證明：解：其中數列的通項公式的求解如下：數列相應的 特征方程為，特征根為所以數列為等比數列，由，得數列的首項是，所以， 可