高考數(shù)學大題專練之立體幾何

1、立體幾何專練1、如圖，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的菱形，側(cè)棱，棱AA1與底面所成的角為，點F為DC1的中點.(I)證明：OF/平面； （思考證線面平行的方法）(II)求三棱錐的體積. （思考一下錐體的體積公式）2、如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，是上任意一點(1) 求證：；(2) 當面積的最小值是9時，證明平面（線面垂直的證明，試試用兩種方法做）3如圖，在四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，PD平面ABCD，E、F分別是PB、AD的中點，PD=2（1）求證：BCPC； （2）求證：EF/平面PDC； （3）求三棱錐BAEF的體積。4、如圖所示,三棱柱中,

2、平面平面,又,與相交于點.()求證:平面;()求與平面所成角的正弦值;5、如圖，在梯形中，四邊形為矩形，平面平面，（）求證：平面；（）設(shè)點為中點，求二面角的余弦值6、已知正四棱錐PABCD中，底面是邊長為2的正方形，高為M為線段PC的中點() 求證：PA平面MDB；() N為AP的中點，求CN與平面MBD所成角的正切值7、如圖，在矩形ABCD中，AB5，BC3，沿對角線BD把ABD折起，使A移到A1點，過點A1作A1O平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求證：BCA1D；(2)求直線A1B與平面BCD所成角的正弦值. 8、如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點E在線段A

3、D上，且CEAB。（1）求證：CE平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45，求四棱錐P-ABCD的體積9、如圖，在直三棱柱中，90,是的中點. （）求異面直線與所成的角；（）若為上一點，且，求二面角的大小.10、如下圖（圖1）等腰梯形PBCD，A為PD上一點，且ABPD，AB=BC，AD=2BC，沿著AB折疊使得二面角P-AB-D為的二面角，連結(jié)PC、PD，在AD上取一點E使得3AE=ED，連結(jié)PE得到如下圖（圖2）的一個幾何體 （1）求證：平面PAB平面PCD； （2）求PE與平面PBC所成角的正弦值11、如圖，已知矩形的邊與正方形所在平面垂直，是線段的中點。(1)

4、求異面直線與直線所成的角的大小；(2)求多面體的表面積。12、如圖所示，四棱錐P-ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形，PA面ABCD，PA=2,過點A作AEPB,AFPC,連接EF（1）求證：PC面AEF；（2）若面AEF交側(cè)棱PD于點G（圖中未標出點G）,求多面體PAEFG的體積。13、如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，是上任意一點。（1）求證：；（2）當面積的最小值是9時，在線段上是否存在點，使與平面所成角的正切值為2？若存在？求出的值，若不存在，請說明理由14、如圖，已知直四棱柱，底面為菱形，為線段的中點，為線段的中點 （）求證：平面；（）當?shù)谋戎禐槎嗌贂r，平面，并說明理由15

5、、如圖，AC 是圓 O 的直徑，點 B 在圓 O 上，交 AC 于點 M，平面，AC4，EA3，F(xiàn)C1（I）證明：EMBF；（II）求平面 BEF 與平面ABC 所成的二面角的余弦值16、已知四棱錐的底面為菱形，且，,為的中點.（）求證：平面；（）求點到面的距離答 案1、如圖，棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是邊長為2的菱形，側(cè)棱，棱AA1與底面所成的角為，點F為DC1的中點.(I)證明：OF/平面；(II)求三棱錐的體積.解：（I）四邊形ABCD為菱形且， 是的中點 . 又點F為的中點, 在中，, 平面，平面 , 平面 （II）四邊形ABCD為菱形, , 又，且平面 , 平面, 平

6、面 , 平面平面.在平面內(nèi)過作，則，是與底面所成的角，.在， 故三棱錐 底面上的高為，又，所以，三棱錐的體積 .2、如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，是上任意一點(1) 求證：；(2) 當面積的最小值是9時，證明平面解：（1）證明：連接，設(shè)與相交于點。 因為四邊形是菱形，所以。 又因為平面，平面為上任意一點，平面，所以（2）連由（I），知平面，平面，所以在面積最小時，最小，則，解得 由且得平面則，又由 得，而，故平面。3、在四棱錐P-ABCD的底面是邊長為2的正方形，PD平面ABCD，E、F分別是PB、AD的中點，PD=2（1）求證：BCPC； （2）求證：EF/平面PDC； （3）求三棱

7、錐BAEF的體積。解：（）四邊形ABCD是正方形BCDC 又PD面ABCD, BC面ABCDBCPD, 又PDDC=D BC面PDC 從而BCPC（）取PC的中點G，連結(jié)EG，GD，則四邊形EFGD是平行四邊形。 EF/GD, 又EF/平面PDC。（）取BD中點O，連接EO，則O/PD，PD平面ABCD，EO底面ABCD， 4、如圖所示,三棱柱中,平面平面,又,與相交于點.()求證:平面;()求與平面所成角的正弦值;【解】()由題知,所以為正三角形,所以又因為,且，所以為正三角形,又平行四邊形的對角線相交于點,所以為的中點,所以，又平面平面,且平面平面,且平面，所以平面()解法一連結(jié)交于,取中

8、點,連結(jié),則,又平面 所以平面, 所以直線與平面所成角為. 而在等邊中,所以,同理可知,在中,所以中,.所以與平面所成角的正弦值為. 解法二由于,平面,所以平面, 所以點到平面的距離即點到平面的距離,由平面,所以到平面的距離即, 也所以與平面所成角的正弦值為, 而在等邊中,所以,同理可知,所以,又易證平面,所以,也所以, 所以，即與平面所成角的正弦值為.5、如圖，在梯形中，四邊形為矩形，平面平面，（）求證：平面；（）設(shè)點為中點，求二面角的余弦值(1)證明：，則，則得，面平面，面平面平面（II）過作交于點，連,則為二面角的平面角，在中，則二面角的余弦值為6、已知正四棱錐PABCD中，底面是邊長為

9、2的正方形，高為M為線段PC的中點() 求證：PA平面MDB；() N為AP的中點，求CN與平面MBD所成角的正切值()證明：在四棱錐PABCD中，連結(jié)AC交BD于點O，連結(jié)OM，PO由條件可得PO，AC2，PAPC2，COAO因為在PAC中，M為PC的中點，O為AC的中點，所以O(shè)M為PAC的中位線，得OMAP，又因為AP平面MDB，OM平面MDB，所以PA平面MDB () 解：設(shè)NCMOE，由題意得BPBC2，且CPN90因為M為PC的中點，所以PCBM，同理PCDM，故PC平面BMD所以直線CN在平面BMD內(nèi)的射影為直線OM，MEC為直線CN與平面BMD所成的角，又因為OMPA，所以PNC

10、MEC在RtCPN中，CP2，NP1，所以tanPNC，故直線 CN與平面BMD所成角的正切值為27、如圖，在矩形ABCD中，AB5，BC3，沿對角線BD把ABD折起，使A移到A1點，過點A1作A1O平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求證：BCA1D；(2)求直線A1B與平面BCD所成角的正弦值.解：(1)因為A1O平面BCD，BC平面BCD，BCA1O，因為BCCD，A1OCDO，BC面A1CD.因為A1D面A1CD，BCA1D.(2)連結(jié)BO，則A1BO是直線A1B與平面BCD所成的角.因為A1DBC，A1DA1B，A1BBCB，A1D面A1BC.A1C面A1BC，A1DA1C.在R

11、tDA1C中，A1D3，CD5，A1C4.根據(jù)SA1CDA1DA1CA1OCD，得到A1O，在RtA1OB中，sinA1BO.所以直線A1B與平面BCD所成角的正弦值為.8、如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，點E在線段AD上，且CEAB。（1）求證：CE平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45，求四棱錐P-ABCD的體積解：（I）證明：因為PA平面ABCD，CE平面ABCD，所以PACE，因為ABAD，CEAB，所以CEAD又PAAD=A，所以CE平面PAD（II）由（I）可知CEAD在RtECD中，DE=CD， cos45=1，CE=CD，si

12、n45=1，又因為AB=CE=1，ABCE所以四邊形ABCE為矩形所以=又PA平面ABCD，PA=1所以9、如圖，在直三棱柱中，90,是的中點.（）求異面直線與所成的角；（）若為上一點，且，求二面角的大小.解法一：（）取的中點，連，則，或其補角是異面直線與所成的角.設(shè)，則，.在中，.異面直線與所成的角為.（）由（）知，.因為三棱柱是直三棱柱，平面，又?.?.即得，所得是的中點.連結(jié)，設(shè)是的中點，過點作于，連結(jié)，則.又平面平面?平面.而，是二面角的平面角.由得.即二面角的為.所求二面角為.解法二：（）如圖分別以、所在的直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系.設(shè)，則、.，.異面直線與所成的角為.（）設(shè)

13、，則，由得，知，.設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得.易知平面的一個法向量，.二面角的大小為. （）.10、如下圖（圖1）等腰梯形PBCD，A為PD上一點，且ABPD，AB=BC，AD=2BC，沿著AB折疊使得二面角P-AB-D為的二面角，連結(jié)PC、PD，在AD上取一點E使得3AE=ED，連結(jié)PE得到如下圖（圖2）的一個幾何體 （1）求證：平面PAB平面PCD； （2）求PE與平面PBC所成角的正弦值解：（1）證明：，又二面角P-AB-D為 ，又AD=2PA 有平面圖形易知：AB平面APD，又，且 ，又，平面PAB平面PCD （2）設(shè)E到平面PBC的距離為，AE/平面PBC 所以A 到平面PBC

14、的距離亦為 連結(jié)AC，則，設(shè)PA=2 = ，設(shè)PE與平面PBC所成角為 11、如圖，已知矩形的邊與正方形所在平面垂直，是線段的中點。(1)求異面直線與直線所成的角的大小；(2)求多面體的表面積。解：（1）因為，所以即為異面直線與所成的角（或其補角）。連結(jié)，在中，所以，又，所以，所以是等邊三角形，所以，即異面直線與所成的角為；（2） ，。12、如圖所示，四棱錐P-ABCD,底面ABCD是邊長為2的正方形，PA面ABCD，PA=2,過點A作AEPB,AFPC,連接EF（1）求證：PC面AEF；（2）若面AEF交側(cè)棱PD于點G（圖中未標出點G）,求多面體PAEFG的體積。解析：（1）證明：PA面AB

15、CD,BC在面內(nèi)， PABC BABC,BCBA=B,BC面PAB，又AE在面PAB內(nèi) BCAEAEPB,BCPB=B, ,AE面PBC又PC在面PBC內(nèi)AEPC, AEPC, AEAF=A, PC面AEF （2）PC面AEF, AGPC, AGDC PCDC=C AG面PDC, GF在面PDC內(nèi)AGGFAGF是直角三角形，由（1）可知AEF是直角三角形，新課標第一網(wǎng) AE=AG=,EF=GF=, 又AF=,PF=, 13、如圖，在四棱錐中，平面，四邊形是菱形，是上任意一點。（1）求證：；（2）當面積的最小值是9時，在線段上是否存在點，使與平面所成角的正切值為2？若存在？求出的值，若不存在，請

16、說明理由解：（1）證明：連接，設(shè)與相交于點。 因為四邊形是菱形，所以。 又因為平面，平面 為上任意一點，平面，所以（2）連由（I），知平面，平面，所以在面積最小時，最小，則，解得 由且得平面則，又由 得，而，故平面作交于點，則平面,所以就是與平面所成角.在直角三角形中，所以，設(shè)，則。由得。由得，即14、如圖，已知直四棱柱，底面為菱形，為線段的中點，為線段的中點 （）求證：平面；（）當?shù)谋戎禐槎嗌贂r，平面，并說明理由（）證明：連接,由題意可知點為的中點因為點為的中點在中，分又面，分（）當時， 分四邊形為菱形，且，四棱柱為直四棱柱，四邊形為矩形又，四邊形為正方形， 10分在直四棱柱中，四邊形為菱形，又，13分,15、如圖，AC 是圓 O 的直徑，點 B 在圓 O 上，交 AC 于點 M，平面，AC4，EA3，F(xiàn)C1（I）證明：EMBF；（