數(shù)學(xué)物理方程期末試卷

1、2012學(xué)年第二學(xué)期數(shù)學(xué)與物理方程期末試卷出卷人：歐崢1、長度為 l 的弦左端開始時(shí)自由，以后受到強(qiáng)度為的力的作用，右端系在彈性系數(shù)為k 的彈性支承上面；初始位移為初始速度為試寫出相應(yīng)的定解問題。(10分)2、長為的均勻桿，側(cè)面絕熱，一端溫度為0度，另一端有已知的恒定熱流進(jìn)入，設(shè)單位時(shí)間流入單位截面積的熱量為，桿的初始溫度分布是，試寫出其定解問題。(10分)3、試用分離變量法求定解問題(10分)： .4、分離變量法求定解問題(10分)5、利用行波法，求解波動(dòng)方程的特征問題（又稱古爾沙問題）(10分)： 6、用達(dá)朗貝爾公式求解下列一維波動(dòng)方程的初值問題（10分）7、用積分變換法求解定解問題（10

2、分）：8、用積分變換法求解定解問題(10分)：9、用格林函數(shù)法求解定解問題(10分)：10、寫出格林函數(shù)公式（三維）及滿足的條件，并解釋其物理意義。(10分)考試內(nèi)容分析 用數(shù)理方程研究物理問題的一般步驟；數(shù)理方程的建立(導(dǎo)出),包括三類典型方程的建立(導(dǎo)出)推導(dǎo)過程。這里的1,2兩道題就是考察學(xué)生在實(shí)際物理背景下能否寫出定解問題。這些定解問題并不復(fù)雜，主要就是讓學(xué)生了解一下。 3,4兩道題主要考察分離變量法的精神、解題步驟和適用范圍。第3題是最基本的分離變量法的運(yùn)用，分離變量法的主要思想:1、將方程中含有各個(gè)變量的項(xiàng)分離開來，從而原方程拆分成多個(gè)更簡單的只含1個(gè)自變量的常微分方程；2、運(yùn)用線

3、性疊加原理，將非齊次方程拆分成多個(gè)齊次的或易于求解的方程；3、利用高數(shù)知識(shí)、級(jí)數(shù)求解知識(shí)、以及其他巧妙方法，求出各個(gè)方程的通解；4、最后將這些通解“組裝”起來。第4題是非齊次方程，主要考察學(xué)生對非齊次方程的處理能力。 5，6兩道題是考察行波法。第5題就是書本中一維波動(dòng)方程的DAlembert公式的推導(dǎo)，是最最基礎(chǔ)的東西，在這里考察學(xué)生平時(shí)的基礎(chǔ)，題目不難但是能很好的考察學(xué)生對行波法的理解。第6題考察了DAlembert公式的應(yīng)用，同時(shí)又因?yàn)榉匠淌椒驱R次的，也考察了方程的齊次化。 第7,8兩道題是對積分變換法的考察。第7題是對拉普拉斯變換的考察拉普拉斯變換的基本概念以及常見函數(shù)的拉普拉斯正變換；

4、利用拉普拉斯變換的基本定理，拉普拉斯變換表以及部分分式展開法對常見函數(shù)進(jìn)行拉普拉斯反變換。第8題主要考察傅里葉變換的基本定理及其性質(zhì)。 9,10兩道題是考察格林函數(shù)法。第9題有些難度，是一道二維拉普拉斯的狄利克雷問題，主要考察對第二格林公式的理解及其應(yīng)用。第10題看似比較簡單，但是也是大家比較容易忽略的問題，不一定能將其完整的解答。這里還要求你寫出其物理意義，意圖當(dāng)然不言而喻了，就是想體現(xiàn)數(shù)學(xué)物理方程這門課的意義,將數(shù)學(xué)與物理結(jié)合起來，了解古典方程的類型，明白其物理意義和現(xiàn)象。答案及分析1、解: 這是弦的自由振動(dòng)，其位移函數(shù)滿足 （2分） 其中.由于左端開始時(shí)自由，以后受到強(qiáng)度為的力的作用，所

5、以因此 （2分） 又右端系在彈性系數(shù)為k 的彈性支承上面，所以 即 （2分） 而初始條件為 （2分） 因此，相應(yīng)的定解問題為 （2分）2、解：側(cè)面絕熱，方程為 （3分）邊界條件為 （3分）初始條件為 （3分）因此，相應(yīng)的定解問題為： （1分）3、解 令（2分），代入原方程中得到兩個(gè)常微分方程：，（2分），由邊界條件得到，對的情況討論，只有當(dāng)時(shí)才有非零解，令，得到為特征值，特征函數(shù)(1分)，再解，得到（2分），于是（1分）再由初始條件得到（1分），所以原定解問題的解為 （1分）4、解：令 （1分）將其代入定解問題可以得到： （1分） （1分）(2)的解為： （2分）對于(1)，由分離變量法可得一

6、般解為 （2分）由初始條件可求得： (2分)所以，原定解問題的解為： (1分)5、解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) （2分）令 x-at=0 得 =F（0）+G（2x） （2分）令 x+at=0 得 =F（2x）+G(0) （2分）所以 F(x)=-G(0). G（x）=-F(0). （2分）且 F（0）+G(0)= （1分）所以 u(x,t)=+- （1分）即為古爾沙問題的解。6、解令(1分)，代入原方程中，將方程齊次化，因此(2分)，再求定解問題 (2分)由達(dá)朗貝爾公式得到以上問題的解為(4分)故 (1分)7、解 對y取拉普拉斯變換(1分)，對方程和邊界條件同時(shí)對y取拉普拉

7、斯變換得到(3分)，解這個(gè)微分方程得到(3分)，再取拉普拉斯逆變換有(2分)所以原問題的解為.(1分)8、解：對于初值問題關(guān)于x作Fourier變換，得：（2分）該方程變?yōu)閹?shù)的常微分方程的初值問題。解得 （2分）于是 （2分）則由，得：。 （2分）作像函數(shù)的Fourier逆變換 （2分）9、解：設(shè)為下半平面中任意一點(diǎn)。已知二維調(diào)和函數(shù)的積分表達(dá)式為 (1分)設(shè)為調(diào)和函數(shù)，則由第二格林公式知 （2）（1）（2）可得 (2分)若能求得滿足 （3）則定義格林函數(shù)，則有 (2分)由電象法可知，為的象點(diǎn)，故可取 (1分)顯然其滿足（3）。從而可得格林函數(shù) (3分)故而 (1分)10、解：（1）格林函數(shù)公式（三維）為：G（M，M）= g（M，M） （2分）其中函數(shù)g滿足的條件為：式中為區(qū)域的邊界曲面（3分）（2）格林函數(shù)的物理意義：在某個(gè)閉合導(dǎo)電曲面內(nèi)M