2020高考人教版文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義：平面向量與復(fù)數(shù)課時(shí)3含答案

1、平面向量的數(shù)量積I復(fù)習(xí)目標(biāo)1理解和掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義.2 掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)、運(yùn)算律及其運(yùn)算.3掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.L課前知識(shí)梳理i兩向量的夾角與垂直已知兩個(gè)非零向量a, b,作O)A= a,OB = b,貝U/ AOB =0(0 艮180叫做向量a,b的夾角，特別地，當(dāng)a與b夾角為90時(shí)，我們說(shuō)a與b垂直，記作 a丄b .2. 向量數(shù)量積的定義已知兩個(gè)非零向量 a, b,它們的夾角為 0我們把數(shù)量|a| |b|cos 0叫做a與b的數(shù)量積，記作 a b, 即卩a b=|

2、a| |b|cos 0 .規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為0 .3. a b的幾何意義(1) 一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影.設(shè)0是向量a與b的夾角，貝U |a|cos 0叫做a在b方向上的投影，|b|cos 0叫做b在a方向上的投影.(2) a b的幾何意義：a b等于a的長(zhǎng)度 |a|與b在a方向上的投影|b|cos 0的乘積.4. 向量數(shù)量積的性質(zhì)a, b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為 0(1) 當(dāng) a 與 b 同向時(shí)，a b= |a|b| ;當(dāng) a與 b反向時(shí)，a b= - |a|b| ;特別地，a a= a兩個(gè)向量a, b的夾角為銳角？ a b0且a, b不共線；兩個(gè)向量a, b的夾角為鈍角

3、？ a b0且a, b不共線. 平面向量數(shù)量積的常用公式(1) ( a + b) 2= a2 + 2a b+ b2.(2) ( a - b) 2= a2 - 2a b+ b2.= |a|2 或 |a|= a a .(2) a b=0 a 丄 b .a bcos 0=麗| *(4) |a b| w |a|b|5. 向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1) a b=b a (交換律).(2) ( ；a) b= Xa b) = a (?b)(入 R).(3) (a + b) c= a c+ b c .6. 向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1) 若 a= (xi, yi), b= (x2, 丫2)，貝U a b= X1X2 +

4、(2) 若 a= (x, y),貝U a a= a2= |a|2= x2+ y2 , a|=. x2+ y2(3) 若 A(X1, y1), B(X2, y2),則 |AB|=. X2 X12+ y2-y1 2 ，此時(shí)為兩點(diǎn)間的距離公式.若 a=(X1, y” , b=(X2, y2)，貝U a丄 bX1X2+ yy2 = 0X1X2+ y1y2(5) a,b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角為0,a=(X1,y1),b= (X2,y2)，貝Ucos 0= p ： + f寸2十寸2 .2(3)(a + b) (-a b)= a b .熱身練習(xí)1在邊長(zhǎng)為1的等邊 ABC中，設(shè)BC= a, CA= b,

5、AB = c,貝V a b+ bc+ c a等于(A)3A 2 B. 03C.2 D. 31 EsSd 因?yàn)?a, b = 120 所以 ab= 1 x 1 x cos 120= 亍，同理，b c= c a = 1，所以 a b+ b c+ c a = 已知 a = (1， 1)，b= ( 1,2)，則(2a+ b) a = (C)A. 1 B. 0C. 1 D. 2由題意可得a2 = 2， a b= 3，所以(2a + b) a= 2a2 + a b= 4 3= 1. (2018 北京卷)已知向量 a = (1,0)， b= ( 1， m).若 a丄(ma b)，貝U m= 1 33 因?yàn)?

6、a= (1,0)，b= ( 1，m)，所以 ma b= (m+ 1， m).又 a 丄(ma b)，所以 a (ma b)= 0，即 m+ 1 = 0，解得 m= 1. (2016北京卷)已知向量a = (1，.3)，b= ( .3，1)，貝U a與b夾角的大小為 fS3 由題意得 |a|= ：,：1 + 3 = 2，|b|= %；3 + 1 = 2，a b= 1 x 3 + . 3 x 1 = 2 3.2 22. 若a= (4,2), b= ( 4,3)，貝U a在b方向上的投影是(D)A . 5 B. 56D . 210|a|cos 0= jbj=2.設(shè)a，b的夾角為0，因?yàn)閍 b= |a

7、|bCos 0， 所以a在b上的投影為設(shè)a與b的夾角為0，則cosn因?yàn)? 0， n所以0= .高 向量的數(shù)量積、模已知|a|= 2, |b|= 3, a與b的夾角為120則:(1) (2a b) (a+ 3b) =;(2) |a+ b|=.因?yàn)閨a| = 2, |b|= 3, a與b的夾角為120 1所以 ab= |a|bCos 120 = 2 x 3X ( 3)= 3.2 2(1) (2a b) (a+ 3b) = 2a + 5a b 3b=2|a|2 + 5a b 3|b|2=8 15 27= 34.(2) |a+ b|=a + b2=a2+ 2a b+ b2=4 6+ 9 = 7.(1

8、) 34(2).7(1)求平面向量的數(shù)量積的基本方法：利用定義；利用坐標(biāo)運(yùn)算；利用運(yùn)算律.(2)利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問(wèn)題的處理方法: a2= a a= |a|2 或 |a|= a a; |a)|= Q (abf = 23入 iRi + f2#i+ f 2，解得匕于.（方法二）因?yàn)閑i, e2是互相垂直的單位向量，故可將ei,冊(cè)作為兩個(gè)單位正交基底，建立直角坐標(biāo)系，所以 a= 3ei e2= （ ；：3, i）, b= ei+ ?2= （i, f,所以 |a|= 2, |b|= i + f, a b= 3 一入因?yàn)閍與b的夾角為60所以cos 60 =申- f =

9、2pi+ 入i，所以x= 333 (i)本題考查向量的模、 數(shù)量積的計(jì)算以及兩個(gè)向量的夾角公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力.(2)在數(shù)量積的基本運(yùn)算中，經(jīng)常用到數(shù)量積的定義、模、夾角公式，尤其對(duì)|a|= aa要 引起足夠重視，它能實(shí)現(xiàn)模與數(shù)量積的轉(zhuǎn)化，是求距離的常用方法.變式採(cǎi)究2. (20I8石家莊二模)若兩個(gè)非零向量 a, b滿足|a+ b|= |a b|= 2|b|，則向量a + b與a 的夾角為(A)B.A.2 nC.亍5 nD.y（方法一）因?yàn)?|a+ b|= |a b|, 所以 |a+ b|2= |a b|2,所以ab= 0,又|a+ b|= 2|b|，所以 |a+ b|2= 4|bf

10、,所以 |a|2= 3|bf,所以 |a|= 3|b|,所以 a+ b, a（a+ b ）a = a2 + a b =遲ia+b|a廠 2|b|a| = 2|b|=Tn所以a+ b與a的夾角為-.6（方法二）設(shè)0A = a, OB = b, 0C= a + b,由|a+ b|= |a b|，知平行四邊形 OACB為矩形,|a+ b|= |a b|= 2|b知,所以咖 a+ b, a = 22b = 2,所以a+ b與a的夾角為三6蘭廠向量數(shù)量積的綜合運(yùn)用30（2016天津卷）已知 ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn) D, E分別是邊AB , BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE = 2EF

11、，則Af BC的值為（）A.-5廠1-8咗1C111SZ3先把bc, AF分別用基底Ab, Ac表示出來(lái)，再計(jì)算其數(shù)量積.CEJ （方法一）如圖，由條件可知BC = Ac Ab,-1 -3 -AF = AD + DF = 2AB+ ?DE1 t 3 t=2AB + 4AC,所以 Af bc=（1AB + ；aC）（AC Ab）3 T 21 T T 1 T 2=4AC 4AB AC 2AB .因?yàn)?ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，所以 |AC|= |AB|= 1，/ BAC= 60 所以 Af Bc= 311= 14828亠31（方法二）以BC為x軸，BC的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，則 A（0,

12、石），B（ ?, 0）,i J3i c、d(-4， 4), c(2，0)，由 DE = 2EF，得(4,-當(dāng))=2(xf，怕，則 F(8 -爭(zhēng)),所以 A2 Bc=(1，- 583)(1,0)= 8.B (1)本題考查平面向量的基本定理、向量數(shù)量積的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.(2) 與幾何背景相關(guān)的數(shù)量積計(jì)算問(wèn)題，其基本思路有：基向量法；坐標(biāo)法.(3) 當(dāng)幾何圖形是特殊三角形或四邊形時(shí)，一般采用坐標(biāo)法，即通過(guò)建立直角坐標(biāo)系的 方法，將其轉(zhuǎn)化為向量的坐標(biāo)運(yùn)算.變式探究n3. (2018安徽模擬)在平行四邊形 ABCD中，AB = 4, AD = 3，/ DAB = 3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在 BC, DC 邊上，且 BE= 2EC, DF = FC，則 AE bF = (C)8A . 3 B . 110C. 2D.3C39以a為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則 A(0,0), B(4,0), F(2, 323), E(5,.3),所以 AE= (5,3), BF = (-2,于),所以 AE BF = (5, .3) -2,穿)=5X (-+ 3X 穿=2.課匹“1. 平面向量a與b的數(shù)量積為ab=|a|bCos 0,它是一個(gè)實(shí)數(shù)，而不是向量，其中0是a