新人教A版必修五3.3《二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題》word教案

1、二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題教學(xué)目標(biāo)：會(huì)根據(jù)二元一次不等式確定它所表示的平面區(qū)域；能畫(huà)出二元一次不等式組表示的平面區(qū)域；會(huì)把若干直線圍成的平面區(qū)域用二元一次不等式組 表示。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：二元一次不等式表示平面區(qū)域 ，確定二元一次不等式表示 的平面區(qū)域。在現(xiàn)實(shí)生活中，有許多的不等關(guān)系可以用不同的數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫(huà)和研究， 這 里我們學(xué)習(xí)一種不等關(guān)系的模型?？磦€(gè)實(shí)際例子：一家銀行的信貸部計(jì)劃年初投入 25000000元用于企業(yè)和個(gè)人貨款，希望這 筆資金至少可帶來(lái)30000元的收益，其中從企業(yè)貸款中獲益 12%，從個(gè)人貸款 中獲益10%，那么，信貸部應(yīng)該如何分配資金呢？這個(gè)問(wèn)題存在一些不等

2、關(guān)系，應(yīng)該用什么不等式模型來(lái)刻劃它們呢？設(shè)用于企業(yè)貸款的資金為x元，用于個(gè)人貸款的資金為y元。資金總數(shù)為25000000元，得到x+y 30000,即 12x+10y 3000000,考慮到企業(yè)貸款和個(gè)人貸款的資金數(shù)都不能是負(fù)值，于是x 0,y 0 件分配資金滿足條卞:x +2500000012103000000 x工0八0滿足二元一次不等式（組）的x和y的取值構(gòu)成有序?qū)崝?shù) 對(duì)（x,y）,所有這樣的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x,y ）構(gòu)成的集合稱為 二元一次不等式（組）的解集。有序?qū)崝?shù)對(duì)就可以看成 是平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而，二元一次不等式（組）的解 集就可以看成是直角坐標(biāo)系內(nèi)的點(diǎn)構(gòu)成的集合。一元一次不等式（組

3、）的解集所表示的圖形一一數(shù)軸上的區(qū)間如：不等式組丿x 3 0的解集為數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間（如圖）：.jX-4v0扌在直角坐標(biāo)系內(nèi)，二元一次不等式（組）的解集表示什么圖形？先研究具體的二元一次不等式x-y6的解集所表示的圖形。如圖：在平面直角坐標(biāo) 系內(nèi)，x-y=6表示 條直線。 平面內(nèi)所有的點(diǎn)被直線分 成三類(lèi)： 第一類(lèi)：在直線x-y=6上的 占；八、）第二類(lèi)：在直線x-y=6左上 方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)；第三類(lèi)：在直線x-y=6右下 方的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)。r$r.3r-6* 斗坯1yrJ.3嚴(yán)9設(shè)點(diǎn)是-3-2-10123點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y1點(diǎn)A的縱坐標(biāo)y2直線x-y=6上的點(diǎn),選取點(diǎn)，使匕的坐標(biāo)滿足不等式 x-y6，

4、完成課本第83頁(yè)的表格問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)P有相同的橫坐標(biāo)時(shí)，它們的縱坐標(biāo)有什么關(guān)系？根據(jù)此 說(shuō)說(shuō)，直線x-y=6左上方的坐標(biāo)與不等式x-y6有什么關(guān)系？直線x-y=6右下方 點(diǎn)的坐標(biāo)呢？在平面直角坐標(biāo)系中，以二元一次不等式x-y6的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線x-y=6的左上方；反過(guò)來(lái)，直線x-y=6左上方的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足不等式x-y6。因此，在平面直角坐標(biāo)系中，不等式x-y6表示直線x-y=6右下方的區(qū)域；如圖,直線 叫做這兩個(gè)區(qū)域的邊界。二元一次不等式 Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線 Ax+By+C=O某 一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）二元一次不等式Ax+By+C

5、0表示的平面區(qū)域包括邊界，把直線畫(huà)成實(shí)線。由于對(duì)在直線 Ax+By+C=O同一側(cè)的所有點(diǎn)（x,y），把它的坐標(biāo)（x,y）代入 Ax+By+C，所得到實(shí)數(shù)的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點(diǎn)（xo,yo），從Axo+Byo+C的正負(fù)即可判斷 Ax+ By+C0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū) 域（特殊地，當(dāng)Cm0時(shí)，常把原點(diǎn)作為此特殊點(diǎn)）例1畫(huà)出不等式x+4yv4表示的 解：先畫(huà)直線x+4y=4 （畫(huà)成虛線） x+4y-4, v 0+4X 0-4=-4 V 0,二原點(diǎn)在 域內(nèi)，不等式x+4yc4表示的區(qū)域如J平面區(qū)域。：_ - i.取原點(diǎn)（0， 0），代入x + 4y c4表示的平面區(qū)圖：i3

6、34例2用平面區(qū)域表示.不等式組3x 12的解集。分析：不等l/v2y3式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面點(diǎn)集的交集，因而是畑各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分。1；申 1解：不等式y(tǒng)v-3x+12表示直線y-3x + 12右下方的區(qū)域，xc2y表示直線x =2y右上方的區(qū)域，取兩區(qū)域重疊的部分，如圖的陰影部分就表示原不等式 組的解集。練習(xí)：（1）畫(huà)出不等式（x+2y+1）（x-y+4） 0表示的平面區(qū)域。（2）由直線x+y+2=0，x+2y+1=0和2x+y+1=0圍成的三角形區(qū)域（包括邊界）用不等式可表示為。例3、要將兩種大小不同的鋼解：設(shè)需要截第一種鋼板x張，第二板截成A. B

7、. C三種規(guī)格，每張鋼 板可同時(shí)截得三種規(guī)格的小鋼板的 塊數(shù)如下表所示：今需要A. B. C 三種規(guī)格的成品分別為 15, 18, 27 塊，請(qǐng)用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述 要求?！?x + y K15x +2y Z18種鋼板y張，則彳x +3y 2 27x 30y _0圖形表示如下A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123例4、一個(gè)化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車(chē)皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t，硝酸鹽18t ;生產(chǎn)1車(chē)皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t，硝酸鹽15t?，F(xiàn)庫(kù)存磷酸鹽10t,硝酸鹽66t,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料。 列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平

8、面區(qū)域。解：設(shè)x,y分別為計(jì) 劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥 料的車(chē)皮數(shù)，于是滿足以 下條件4x + y 蘭10 18x +15y 蘭 66x _ 0y-ox4x*y=10例5求不等式|x-2|+|y-2| 所表示的平面區(qū)域的面積分析:：x _2| + |y _2| M2x + y 蘭 6x - y 蘭 2x - y 一 _2x y _2(x_2,y _2)(x2,y 乞 2)(x2,y-2)(x2,y0表示平面區(qū)域的面積以及平面區(qū)域內(nèi)整點(diǎn)的坐合 + 3y 1練習(xí)：（1） 一工廠生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn) 每噸產(chǎn)品的資源需求如下表：該工廠工人有200人,每天只能保證160千瓦時(shí)的用電額度，每天用煤不得超

9、過(guò)品種電力/千瓦時(shí)煤/噸工人/人甲235乙852150 噸，請(qǐng)?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫(huà)出每天甲乙兩種產(chǎn)品允許的產(chǎn)量范圍。5x + 2y M 2002x +8y 蘭 160解：設(shè)甲，乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)x,y噸，則3x+5y蘭150x 30y -0(2) 某工廠用兩種不同的原料均可生產(chǎn)同一產(chǎn)品，若采用甲種原料，每噸成 本1000元，運(yùn)費(fèi)500元；若采用乙種原料，每噸成本1500元，運(yùn)費(fèi)400元。若 每日預(yù)算總成本不得超過(guò)6000元，運(yùn)費(fèi)不得超過(guò)2000元，請(qǐng)你列出滿足生產(chǎn)條 件的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域。解：數(shù)據(jù)列表：設(shè)甲, 乙兩種原料分別用x,y噸，”1000x+500y 蘭 600

10、0 z 5000x + 400y 蘭 2000 則yx _ 0y-0成本運(yùn)費(fèi)甲原料1000500乙原料1500400簡(jiǎn)單的詳細(xì)規(guī)劃問(wèn)題問(wèn)題：某工廠有A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使 用4個(gè)A配件耗時(shí)1h,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h，該廠每天最多 可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件，按每天8h計(jì)算，該廠所有可能的 日生產(chǎn)安排是什么？解決問(wèn)題的方法與過(guò)程如下：(1) 用不等式組表示問(wèn)題中 的限制條件:x 2y 84x16設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，又已知條件可得 二元一次不等式組:4y 蘭 12(1)xK0y(2) 畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域：如圖，圖

11、中的陰影部分的整點(diǎn)(坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn))就代表所有可能的日生產(chǎn) 安排。(3) 提出新問(wèn)題：進(jìn)一步，若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬(wàn)元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬(wàn)元，采用 哪種生產(chǎn)安排利潤(rùn)最大？(4) 嘗試解答：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x 件,乙產(chǎn)品y件時(shí)，工廠獲得的利潤(rùn)為z,則z=2x+3y.這樣， 上述問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x,y滿足不等式(1)并且為非負(fù)整數(shù)時(shí)，z的最大值是 多少？把z=2x+3y變形為yZ，這是斜率為一2，在y軸上的截距為Z的直3333線。當(dāng)z 變化時(shí)，可以得到一族互相平行的直線，如圖，由于這些直線的斜率是確定的,因此只要給定一個(gè)點(diǎn)，（例如（1, 2）,就能確定一條直線（），這說(shuō)明，截33距z可以由3平面

12、內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)唯一確定?？梢钥吹?，直線 y=_2x+r與不等式組（1）33的區(qū)域的交點(diǎn)滿足不等式組（1），而且當(dāng)截距z最大時(shí)，z取得最大值。因此，問(wèn)題可以3轉(zhuǎn)化為當(dāng)直線y= 2x+三與不等式組（1）確疋的平面區(qū)域有公共點(diǎn)時(shí)，在區(qū)域內(nèi)找一個(gè)點(diǎn)33P，使直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P時(shí)截距最大。3（5）獲得結(jié)果：由上圖可以看出，當(dāng)實(shí)現(xiàn)y = 2 x+3金國(guó)直線x=4與直線x+2y-8=0的交點(diǎn)M4，332）時(shí)，截距z/3的值最大，最大值為14/3，這時(shí)2x+3y=14.所以，每天生產(chǎn)甲 產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時(shí)，工廠可獲得最大利潤(rùn)14萬(wàn)元。線性規(guī)劃的概念：線性約束條件：在上述問(wèn)題中，不等式組是一組變量 x、y的約束

13、條件， 這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件.線性目標(biāo)函數(shù)：欲求到最大值或最小值的函數(shù) z=2x+y稱為目標(biāo)函數(shù)，又 因?yàn)閦=2x+y是關(guān)于x、y的一次式解析式，又叫線性目標(biāo)函數(shù).線性規(guī)劃問(wèn)題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最 小值的問(wèn)題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問(wèn)題.可行解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解.可行域：由所有可行解組成的集合叫做可行域.最優(yōu)解：使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu) 解.課本第88頁(yè)的問(wèn)題y132x-y=0在上述問(wèn)題中，如果生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利 3萬(wàn)元, 每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利2萬(wàn)元，有應(yīng)當(dāng)如何安排生產(chǎn)才能 獲得最

14、大利潤(rùn)？在換幾組數(shù)據(jù)試試。有上述過(guò)程，你能得出最優(yōu)解與可行域之間的關(guān)系 嗎？B(：；)-212xA(2,-1)x+y-1=02x+y=0例6 課本 P91練習(xí)：（1）求z=2x+y的最大值，使式中的 x、y 滿足約束條件八X,X y叮， y - -1.解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：當(dāng)x=O,y=O時(shí)，z=2x+y=0，點(diǎn)(0,0 )在直線lo：2x+y=O上.作一組與直線lo平行的直線 |：2x+y=t,t R可知，在經(jīng)過(guò)不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的 點(diǎn)且平行于l的直線中，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)A (2, -1 )的直線所對(duì)應(yīng)的t 最大.所以 Zmax=2 X 2-1=3.(2 )求z=3x+5y的最

15、大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件5x +3y 蘭15,円 y Mx +1,x -5y A3.解：不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示：從圖示可知，直線3x+5y=t在經(jīng)過(guò) 不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2，-1 )的直線所對(duì)應(yīng)的t最 小，以經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1.5,2.5)的直線所 對(duì)應(yīng)的t最大.所以Zmn=3 X (-2)+ 5X (-1)=-11. Znax=3X 1.5 + 5 X 2.5=17.例7營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物， 0.07kg蛋白質(zhì)，0

16、.14kg脂肪，花費(fèi)28元；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合 物，0.14kg蛋白質(zhì)，0.07kg脂肪，花費(fèi)21元。為了滿足營(yíng)養(yǎng)專(zhuān)家指出的日常飲 食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物A和食物B多少kg?食物/ kg碳水化合物/ kg蛋白質(zhì)/kg脂肪/ kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07分析：將已知數(shù)據(jù)列 成表格7x+7y Z57x+14y 啟6 二 14x+7yZ6x啟0V -0解：設(shè)每天食用xkg 食物A，ykg食物B,總成 本為z，那么0.105x+ 0.100.0750.07x + 0.140.060.14x+0.07y Z0.06x藝0y-0目標(biāo)函

17、數(shù)為：z= 28x+ 21y作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域把目標(biāo)函數(shù)z= 28x+ 21y變形為y 一 _4X z，它表示斜率為-4/3,隨z變32817，所以4化的一組平行直線系z(mì)/21是直線在y軸上的截距，當(dāng)截距最小時(shí)，z的值最小。 如圖可見(jiàn)，當(dāng)直線z = 28x+ 21y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最小，即z最小。Vx + 7v =5M點(diǎn)是兩條直線的交點(diǎn)，解方程組 /X 7得M點(diǎn)的坐標(biāo)為:14x + 7y = 6zmin = 28x+ 21y= 16,由此可知，每天食用食物 A143g,食物B約571g,能夠滿 足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低成本為16元。例8 一個(gè)化肥

18、廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車(chē)皮甲 鈕18jc+15=6&種肥料的主要原料是磷酸鹽4t，硝酸鹽18t ;生產(chǎn)1車(chē)皮乙種肥 料需要的主要原料是磷酸鹽1t,硝酸鹽15t?，F(xiàn)庫(kù)存磷酸鹽10t, 硝酸鹽66t,在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條 件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫(huà)出相應(yīng)的平面區(qū)域。在上一節(jié)例4中，若生產(chǎn)1車(chē)皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)為 10 000元；生產(chǎn)1 車(chē)皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤(rùn)5000元，那么分別生產(chǎn)甲，乙兩種肥料各多少車(chē)皮，能 夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn)？4 x + y 蘭 1018x + 15y 66x啟0y畠0解：設(shè)x、y分別為計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料的車(chē)皮數(shù)，于是滿足以下條件:能夠產(chǎn)

19、生利潤(rùn)Z萬(wàn)元。目標(biāo)函 數(shù)為Z= x + 0.5y，可行域如圖：把Z= x+ 0.5y變形為y= 2x+ 2z,它表示斜率為2,在y軸上的截距為 2z的一組直線系。由圖可以看出，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn) M時(shí)，截距2z最大, 即z最大。容易求得M點(diǎn)的坐標(biāo)為(2, 2),則Zmin= 3,故生產(chǎn)甲種、乙種肥 料各2車(chē)皮，能夠產(chǎn)生最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為 3萬(wàn)元。例9某廠擬生產(chǎn)甲、乙兩種適銷(xiāo)產(chǎn)品，每件銷(xiāo)售收入分別為 3000元、2000 元，甲、乙產(chǎn)品都需要在 A B兩種設(shè)備上加工，在每臺(tái)A、B上加工1件甲所需 工時(shí)分別為1h、2h, A、B兩種設(shè)備每月有效使用臺(tái)數(shù)分別為 400h和500h。如 何安排生

20、產(chǎn)可使收入最大？x+2y 蘭 4002x+ 500 x_0y-0設(shè)每月生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，生產(chǎn) 乙產(chǎn)品y件，每月收入為z,目標(biāo)函 數(shù)為Z= 3x + 2y,滿足的條件是Z= 3x + 2y變形為y =一3 x z ,它表示斜率為-3/2的直線系，Z與這條直線的 y 22截距有關(guān)。當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，截距最大，Z最大。解方程組：x2y= 400可! 2x y = 500得M (200, 100), Z的最大值Z = 3x + 2y = 800,故生產(chǎn)甲產(chǎn)品200件，乙產(chǎn)yOx=3 x如圖解方程組：丿x y 5x + 5 = 0x + y = 5B 10D10解：設(shè)需要截第一 種鋼板x張，第二種鋼 板y

21、張，則線性約束條 件：設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x, y)滿足(x-0 x3則x +y的最小值 為()A 5例10要將兩種大小不同的鋼板截成 A. B. C三種規(guī)格，每張鋼板可同時(shí)截 得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示：15 5，這個(gè)點(diǎn)不是整數(shù)，經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)整點(diǎn)且使截距z最小的直線是y=-x+12,經(jīng)過(guò)的整點(diǎn)是B(3,9),C(4,8).解：數(shù)形結(jié)合可知當(dāng) x=3，y=1時(shí)，x2+y2的最小值為 10 選 D練習(xí)：(1)已知x、y滿足以下約束條件2；_；：50)C1；品100件，收入最大，為80萬(wàn)元。i i id ii ii2+y=15乳+舒=18答：應(yīng)截第一種鋼板3張，第二種鋼板9張，或第一種鋼板4張，第

22、二種鋼 板8張，兩種截法都最少要兩種鋼板12張。今需要A , B , C三種規(guī)格的成品分別為15, 18, 27塊,請(qǐng)用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖 形表示上述要求各截這兩種鋼板多少?gòu)埧傻盟鐰 , B , C三種規(guī)格成品，且所 使用鋼板張數(shù)最少x遼3取得最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則a的值為解：如圖，作出可行域，作直線I: x+ay = 0，要使目標(biāo)函數(shù)z=x+ay(a0) 取得 最小值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則將I向右上 方平移后與直線x+y = 5重合，故a=12x + y 蘭15 x + 2y 18* x + 3y 3 27 x0 y - 0目標(biāo)函數(shù)z=x+ y，作一組平行直線x + y=t .；:幕27，得

23、“的坐標(biāo)為件更A規(guī)格B規(guī)格C規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123(3)設(shè)實(shí)數(shù)x, y滿足丿x+2y _40,則L的最大值是x2y _3 遲0解：求y的最大值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)和原點(diǎn)的連線的斜率的最大x3值，畫(huà)出可行域，如圖所示，當(dāng)原點(diǎn)和 C：3 連線時(shí)，斜率最大，為2，由此說(shuō)I 2 I明y的最大值為34 _y (4)若不等式組2x y o,x y a(D )B .0 a 1C . 1 a -D .0：a 1 或3(5)求不等式| x-1 | + | y-1 | W2表示的平面區(qū)域的面積 解：| x 1 | + | y- 1 | .4-x _14-x -1jx 乞 1-l-x -1y _1或 y _1或 y _1或 y _1x 亠y