第八章假設(shè)檢驗

1、第八章 假設(shè)檢驗,第一節(jié) 假設(shè)檢驗的基本思想和概念,二、假設(shè)檢驗的相關(guān)概念,三、假設(shè)檢驗的一般步驟,一、假設(shè)檢驗的基本思想,四、小結(jié),一、假設(shè)檢驗的基本思想,在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式、但不知其參數(shù)的情況下, 為了推斷總體的某些性質(zhì), 提出某些關(guān)于總體的假設(shè),假設(shè)檢驗就是根據(jù)樣本對所提出的假設(shè)作出判斷: 是接受, 還是拒絕,例如, 提出總體服從泊松分布的假設(shè),如何利用樣本值對一個具體的假設(shè)進行檢驗,通常借助于直觀分析和理論分析相結(jié)合的做法, 其基本原理就是人們在實際問題中經(jīng)常采用的所謂實際推斷原理:“一個小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的,下面結(jié)合實例來說明假設(shè)檢驗的基本思想,

2、假設(shè)檢驗問題是統(tǒng)計推斷的另一類重要問題,例8-1 某車間用一臺包裝機包裝味精, 包得的袋裝糖的重量是一個隨機變量X, 它服從正態(tài)分布N(, 0.0152).當機器正常時, 其均值=0.5千克.某日開工后為檢驗包裝機是否正常, 隨機地抽取它所包裝的袋裝糖9袋, 稱得凈重為(千克): 0.497 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 問機器是否正常,問題: 根據(jù)樣本值判斷,隨機誤差 和 條件誤差,問題: 根據(jù)樣本值判斷,提出兩個對立假設(shè),再利用已知樣本作出判斷是接受假設(shè) H0 ( 拒絕假設(shè) H1 ) , 還是拒絕假設(shè) H0 (接受假設(shè) H

3、1,如果作出的判斷是接受 H0,即認為機器工作是正常的,否則, 則認為是不正常的,由于要檢驗的假設(shè)設(shè)計總體均值, 故可借助于樣本均值來判斷,于是可以選定一個適當?shù)恼龜?shù)k,由標準正態(tài)分布分位點的定義取,于是拒絕假設(shè)H0, 認為包裝機工作不正常,假設(shè)檢驗過程如下,以上所采取的檢驗法是符合實際推斷原理的,二、假設(shè)檢驗的相關(guān)概念,1. 統(tǒng)計假設(shè),在許多實際問題中,需要根據(jù)理論與經(jīng)驗對總體X的分布函數(shù)或其所含的一些參數(shù)作出某種假設(shè)H0, 這種假設(shè)稱為統(tǒng)計假設(shè)(簡稱假設(shè))。 當統(tǒng)計假設(shè)H0僅僅涉及總體分布的未知參數(shù)時（如假設(shè)H0 ：=0.5）, 稱之為參數(shù)假設(shè); 當統(tǒng)計假設(shè)H0涉及總體的分布函數(shù)形式時（如

4、假設(shè)H0 ：總體X服從泊松分布）, 稱之為非參數(shù)假設(shè),2. 顯著性水平,0,0,0,H,x,n,x,u,則我們拒絕,的差異是顯著的,與,則稱,如果,m,s,m,u/2,3. 檢驗統(tǒng)計量,4. 原假設(shè)與備擇假設(shè),5. 拒絕域與臨界值,當檢驗統(tǒng)計量取某個區(qū)域C中的值時, 我們拒絕原假設(shè)H0, 則稱區(qū)域C為拒絕域(記為W), 拒絕域的邊界點稱為臨界值或臨界點,如在前面實例中,6. 兩類錯誤及記號,假設(shè)檢驗的依據(jù)是: 小概率事件在一次試驗中很難發(fā)生, 但很難發(fā)生不等于不發(fā)生, 因而假設(shè)檢驗所作出的結(jié)論有可能是錯誤的. 這種錯誤有兩類,1) 當原假設(shè)H0為真, 觀察值卻落入拒絕域, 而作出了拒絕H0的判

5、斷, 稱做第一類錯誤, 又叫拒真錯誤, 這類錯誤是“以真為假”. 犯第一類錯誤的概率是顯著性水平,P(x1,x2,xn) W|H0成立,犯第二類錯誤的概率記為,2) 當原假設(shè) H0 不真, 而觀察值卻落入接受域, 而作出了接受 H0 的判斷, 稱做第二類錯誤, 又叫取偽錯誤, 這類錯誤是“以假為真,當樣本容量 n 一定時, 若減少犯第一類錯誤的概率, 則犯第二類錯誤的概率往往增大,若要使犯兩類錯誤的概率都減小, 除非增加樣本容量,P(x1,x2,xn) W|H1成立,假設(shè)檢驗的兩類錯誤,7. 顯著性檢驗,只對犯第一類錯誤的概率加以控制, 而不考慮犯第二類錯誤的概率的檢驗, 稱為顯著性檢驗,8.

6、 雙邊備擇假設(shè)與雙邊假設(shè)檢驗,9. 右邊檢驗與左邊檢驗,右邊檢驗與左邊檢驗統(tǒng)稱為單邊檢驗,三、假設(shè)檢驗的一般步驟,3. 確定檢驗統(tǒng)計量以及拒絕域形式,五、小結(jié),假設(shè)檢驗的基本原理、相關(guān)概念和一般步驟,假設(shè)檢驗的兩類錯誤,第二節(jié) 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗,一、單個總體均值 的檢驗,二、兩個總體均值差的檢驗,三、基于成對數(shù)據(jù)的檢驗,四、小結(jié),一、單個總體 均值 的檢驗,例 某切割機在正常工作時, 切割每段金屬棒的平均長度為10.5cm, 標準差是0.15cm, 今從一批產(chǎn)品中隨機的抽取15段進行測量, 其結(jié)果如下,假定切割的長度服從正態(tài)分布, 且標準差沒有變化, 試問該機工作是否正常,解,查表得,根

7、據(jù)第六章推論6-1(P141)知,在實際中, 正態(tài)總體的方差常為未知, 所以常用 t 檢驗法來檢驗關(guān)于正態(tài)總體均值的檢驗問題,上述利用 t 統(tǒng)計量得出的檢驗法稱為t 檢驗法,例8-2 車輛廠生產(chǎn)的螺桿直徑X服從正態(tài)分布N(, 2),現(xiàn)從中抽取5支,測得直徑(單位:毫米)為: 22.3, 21.5, 22.0, 21.8, 21.4 如果方差2未知，試問直徑均值=21是否成立,解,查表得,故拒絕H0，即螺桿直徑均值不是21,練習 某切割機所切割的每段金屬棒的長度X服從正態(tài)分布, 今從一批產(chǎn)品中隨機的抽取15段進行測量, 其結(jié)果如下,問該機切割的金屬棒的平均長度是否為10.5,解,查表得,故接受H

8、0，即平均長度是為10.5,單個總體 均值的檢驗,當兩個正態(tài)總體的方差均為已知(不一定相等)時, 可用 u 檢驗法來檢驗兩正態(tài)總體均值差的假設(shè)問題,二、兩個總體 的均值檢驗,其拒絕域的形式為,給定顯著性水平,利用t檢驗法檢驗具有相同方差（方差未知）的兩正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗,根據(jù)第六章推論6-3(P141)知,故拒絕域為,使,例8-3 在漂白工藝中考察溫度對針織品斷裂強度的影響,現(xiàn)在70度和80度下分別作8次和6次實驗,測得各自的斷裂強度X和Y的觀測值。經(jīng)計算得,根據(jù)以往經(jīng)驗，可認為X和Y均服從正態(tài)分布，且方差相等，在給定=0.10時，問70度和80度對斷裂強度有無顯著影響,解,即70度和80

9、度對斷裂強度有顯著影響,解,即甲、乙兩臺機床加工的產(chǎn)品直徑無顯著差異,三、基于成對數(shù)據(jù)的檢驗( t 檢驗,有時為了比較兩種產(chǎn)品, 或兩種儀器, 兩種方法等的差異, 我們常在相同的條件下作對比試驗, 得到一批成對的觀察值. 然后分析觀察數(shù)據(jù)作出推斷. 這種方法常稱為配對比較法,例 有兩臺光譜儀Ix , Iy ,用來測量材料中某種金屬的含量, 為鑒定它們的測量結(jié)果有無顯著差異, 制備了9件試塊(它們的成分、金屬含量、均勻性等各不相同), 現(xiàn)在分別用這兩臺機器對每一試塊測量一次, 得到9對觀察值如下,本題中的數(shù)據(jù)是成對的, 即對同一試塊測出一對數(shù)據(jù), 我們看到一對與另一對之間的差異是由各種因素, 如

10、材料成分、金屬含量、均勻性等因素引起的. 這也表明不能將光譜儀Ix 對9個試塊的測量結(jié)果(即表中第一行)看成是一個樣本, 同樣也不能將表中第二行看成一個樣本, 因此不能用t檢驗法作檢驗,假定X、Y分別服從同方差的正態(tài)分布, 問能否認為這兩臺儀器的測量結(jié)果有顯著的差異,解,而同一對中兩個數(shù)據(jù)的差異則可看成是僅由這兩臺儀器性能的差異所引起的. 這樣, 局限于各對中兩個數(shù)據(jù)來比較就能排除種種其他因素, 而只考慮單獨由儀器的性能所產(chǎn)生的影響,記各對數(shù)據(jù)的差為,若兩臺機器的性能一樣,隨機誤差可以認為服從正態(tài)分布, 其均值為零,則按關(guān)于單個正態(tài)分布均值的 t 檢驗, 知拒絕域為,認為這兩臺儀器的測量結(jié)果無

11、顯著的差異,四、小結(jié),本節(jié)學習的正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗有,第三節(jié) 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗,一、單個總體的情況,二、兩個總體的情況,三、小結(jié),一、單個總體 的情況,要求檢驗假設(shè),根據(jù)第六章定理6-4（P140,從而得拒絕域為,例 某廠生產(chǎn)的某種型號的電池, 其壽命長期以來服從方差 =5000 (小時2) 的正態(tài)分布, 現(xiàn)有一批這種電池, 從它生產(chǎn)情況來看, 壽命的波動性有所變化. 現(xiàn)隨機的取26只電池, 測出其壽命的樣本方差 =9200(小時2). 問根據(jù)這一數(shù)據(jù)能否推斷這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化,解,拒絕域為,認為這批電池的壽命的波動性較以往的有顯著的變化,例8-6 某廠生產(chǎn)的

12、銅絲的折斷力XN(, 82), 現(xiàn)隨機抽取10根檢查其折斷力, 測得數(shù)據(jù)的樣本均值為575.2，樣本方差為68.16，問是否可相信該廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力的方差為82,解,查表得,認為該廠生產(chǎn)銅絲的折斷力的方差為82,例 假設(shè)某切割機所切割金屬棒的長度服從正態(tài)分布,在正常工作時, 切割每段金屬棒的長度標準差是0.15cm，今從一批產(chǎn)品中隨機的抽取15段進行測量, 其結(jié)果如下,解,問該機切割的金屬棒長度的標準差有無顯著變化,查表得,認為該機切割的金屬棒長度的標準差 有顯著變化,二、兩個總體 的情況,需要檢驗假設(shè),檢驗問題的統(tǒng)計量,第六章推論6-2（P141,查附表4可得,上述檢驗法稱為 F 檢驗法

13、,檢驗問題的拒絕域為,例1 兩臺車床加工同一零件, 分別取6件和9件測量直徑, 得: 假定零件直徑服從正態(tài)分布, 能否據(jù)此斷定,解,本題檢驗假設(shè),例2 在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率, 試驗是在同一只平爐上進行的. 每煉一爐鋼時除操作方法外, 其它條件都盡可能做到相同.先采用標準方法煉一爐, 然后用建議的新方法煉一爐, 以后交替進行, 各煉了10爐, 其得率分別為(1)標準方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法,79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 8

14、0.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 設(shè)這兩個樣本相互獨立, 且分別來自正態(tài)總體,試對上述數(shù)據(jù)檢驗假設(shè),解,由P139 6.3.8式,認為兩總體方差相等,例3 分別用兩個不同的計算機系統(tǒng)檢索10個資料, 測得平均檢索時間及方差(單位:秒)如下,解,假定檢索時間服從正態(tài)分布, 問這兩系統(tǒng)檢索資料有無明顯差別,根據(jù)題中條件, 首先應檢驗方差的齊性,認為兩系統(tǒng)檢索資料時間無明顯差別,三、小結(jié),第四節(jié) 單邊檢驗,二、單邊檢驗的基本原理,一、單邊檢驗的基本概念,三、小結(jié),一、單邊檢驗的基本概念,一、單邊檢驗的基本概念,右邊檢驗與左邊檢驗統(tǒng)稱為單邊檢驗,二、單邊檢驗的基本原

15、理,下面以單個正態(tài)總體方差已知的情況為例，討論均值的單邊檢驗的拒絕域,故可取,0,1,0,0,檢驗問題,m,m,m,m,H,H,拒絕域為W=,a,u,u,例8-10 有一批子彈，其初速度rN(, 2), 其中=950m/s, =10m/s，經(jīng)過較長時間的存儲后取出9發(fā)子彈試射，測得初速度樣本值為（單位m/s）： 914, 920, 910, 934, 953, 945, 912, 924, 940 假定標準差沒有變化, 試問這批子彈初速度是否起了變化,解,查表得,0,1,0,0,檢驗問題,m,m,m,m,H,H,拒絕域為W=,a,u,u,解,認為該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品沒有達到所要求的精度,例 某自動車床生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸服從正態(tài)分布,按規(guī)定產(chǎn)品尺寸的方差 不得超過0.1, 為檢驗該自動車床的工作精度, 隨機的取25件產(chǎn)品, 測得樣本方差 s2=0.1975, . 問該車床生產(chǎn)的產(chǎn)品是否達到所要求的精度,例 在平爐上進行一項試驗以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率, 試驗是在同一只平爐上進行的. 每煉一爐鋼時除操作方法外, 其它條件都盡可能做到相同.先采用標準方法煉一爐, 然后用建議的新方法煉一爐, 以后交替進行, 各煉了10爐, 其得率分別為(1)標準方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.