第六章第3講基本不等式

1、第3講基本不等式-4：教材回顧夯實(shí)基礎(chǔ))課本溫故追報(bào)求源知識(shí)梳理*_ a + b1. 基本不等式劇w廠(1)基本不等式成立的條件：a0, b0.等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)取等號(hào).2. 算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a0, b0,則a, b的算術(shù)平均數(shù)為誓，幾何平均數(shù)為倔，基本不等式可敘述為: 兩個(gè)正實(shí)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)3.利用基本不等式求最值問(wèn)題 已知x0,(1)如果積 最小)y0，則xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng) x= y時(shí),x+ y有最小值是 血 (簡(jiǎn)記：積定和(2)如果和2x+ y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，xy有最大值是p -(簡(jiǎn)記：和定積最大)做一做1.已知a,

2、b (0,+s)，若ab= 1，貝U a+ b的最小值為 ab的最大值為.;若 a+ b = 1,則解析：由基本不等式得a+ b ab= 2,當(dāng)且僅當(dāng)a= b = 1時(shí)取到等號(hào);abw4當(dāng)且僅當(dāng)a= b= 2時(shí)取到等號(hào).答案：2 1婆點(diǎn)整合1. 辨明兩個(gè)易誤點(diǎn)(1) 使用基本不等式求最值，(2) 連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號(hào)成立的條件一致.2. 活用幾個(gè)重要的不等式a2+ b2 2ab(a,佝+ b 丫abw才丿(a,3. 巧用“拆”“一正，二定、三相等”三個(gè)條件缺一不可;b R)； b+ a2(a, b 同號(hào)).a b/a + bj a2+ b2 b R) ； DJw(a, b R)

3、.“湊”要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“拼”在運(yùn)用基本不等式時(shí)，“正”“定”“等”的條件.做一做2. “a0 且 b0” 是“號(hào)寸Ob”成立的()A .充分不必要條件B .必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件 答案：A43.若x1，貝U X+ 的最小值為X 144解析：X+= X 1 + 1 4+ 1 = 5.X 1X 14當(dāng)且僅當(dāng)X 1=-，即x= 3時(shí)等號(hào)成立.X 1答案：5H 典例剖析考點(diǎn)突破）考點(diǎn)一 一利用基本不等式證明不等式已知 a0, b0 , a+ b = 1, 求證：（1+ax1+1 卜 9.證明 法一：/ a0, b0, a + b

4、= 1,+ a= 1 + 爭(zhēng)=2 + b 同理，1 +A 2 + b 心 a）（i+b （2+除+a） =5+2暫+ a A 5+ 4 = 9，當(dāng)且僅當(dāng) + aX+ br9，當(dāng)且僅當(dāng)a= b = 2時(shí)等號(hào)成立. 法二:（1+離+訃 1+1+b+ib aa=a，即a= b時(shí)取a + b 12=1+ir + ab=1+ab，a, b 為正數(shù)，a+ b = 1,a+ hY 11! = 1,當(dāng)且僅當(dāng)a = b=1時(shí)取121于是七4, -28,當(dāng)且僅當(dāng)a= b= 1時(shí)取abab2（1+1）（1+b1+8=9，1當(dāng)且僅當(dāng)a = b=1時(shí)等號(hào)成立.ab 0, b0, a + b= 1,1 1 a + b=

5、a + 話 4.規(guī)律方法a+ b a + b b a _ lb a1+ Y = 2+ a + b2+ 2丫；= 4，當(dāng)且僅當(dāng)a = b= 時(shí)等號(hào)成立.利用基本不等式證明不等式的方法技巧利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，不等式，對(duì)不滿足使用基本不等式條件的可通過(guò)“變形”來(lái)轉(zhuǎn)換，常見(jiàn)的變形技巧有：拆項(xiàng),并項(xiàng)，也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù)，“1”的代換法等.1.設(shè)a, b, c者E是正數(shù)，求證：虹+乎+辿a+ b + c.a b c要從整體上把握運(yùn)用基本證明：/ a, b, c都是正數(shù)， bc, 77，坐都是正數(shù).a b c皿+ C72c,當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)等號(hào)成立，；+ ab 2

6、a,當(dāng)且僅當(dāng)b= c時(shí)等號(hào)成立，他a bb cc+號(hào) 2b，當(dāng)且僅當(dāng)a= c時(shí)等號(hào)成立.三式相加，得 2厝+罟+琴卜2(a + b+ c)，即乎+評(píng)鬟a+b+c,當(dāng)且僅當(dāng)a = b =c時(shí)等號(hào)成立.考點(diǎn)一 _利用基本不等式求最值(咼頻考點(diǎn)).利用基本不等式求最值是高考的?？純?nèi)容，題型主要為選擇題、填空題. 高考對(duì)利用基本不等式求最值的考查常有以下三個(gè)命題角度：(1) 知和求積的最值； 知積求和的最值；(3)求參數(shù)的值或范圍.$3妙(1)當(dāng)0xm + 2m恒成立,x y)+ s)+ s)(3)(2015吉林長(zhǎng)春調(diào)研則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(A.B.C.D.(汽2) U 4 , (汽4U 2 , (2

7、, 4)(4, 2)n掃一掃 進(jìn)入91導(dǎo)學(xué)網(wǎng)()基本不等式解析(1) 0x2，11 2x+ 1 則 y = 4 2x(1 2x)0，當(dāng)且僅當(dāng)2x= 1 2x,即2xY 12 -廠亦，1x=4時(shí)取到等號(hào),_丄.ymax= g.f Vab0,由題意得0,3a + 4b0,所以F0, bo.又 Iog4(3a + 4b)= log/ab,所以所以所以log 4(3 a + 4b) = log 4(ab),433a+ 4b = ab,故一 + 7= 1.a b7+ 4b+ 3a A 7+寸號(hào) = 7 +473,當(dāng)且僅當(dāng)警曽時(shí)取a + b= (a + b)等號(hào).故選D.(

8、3)x + 2y= (x+ 2y)(| + y= 2+ 加+ 2 8，當(dāng)且僅當(dāng) 牛:，即x= 2y時(shí)等號(hào)成立.由 X+ 2ym + 2m 恒成立，可知 m + 2m8, m + 2m 80，解得4m 0時(shí)，f(x)=X2百的最大值為.4(2) 若x0， a* 1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn) A，若點(diǎn)A在直線+ = 1 上,m n且m，n0，貝U 3m+n的最小值為 .已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a + 2b = 1，貝U a2+ 4b2 +晶的最小值為 .2x 22解析：(1廠 x 0，.f(x)=2 =十 2= 1，x + 1 x + x當(dāng)且僅當(dāng)x=1，即 x= 1時(shí)取等號(hào)./ x3，.x 30，44f(x)=

9、+ x=+ (x 3) + 3x 3x 34( 3 X)+ 3X-氐+( 3 X)卜1，4當(dāng)且僅當(dāng)=3 x，3 x即X = 1時(shí)，等號(hào)成立.故f(x)的最大值為1.(3)易知函數(shù)y= a + 2(a0 , a1)恒過(guò)定點(diǎn)(一3, 1)，所以A( 3, 1).又因?yàn)辄c(diǎn) A 在直線 m+ y= 1 上，所以 m+ n= 1所以 3m+ n= (3m + n) g+；)= 10 + 罟 + 詈10 + 2/罟晉=16，當(dāng)且僅當(dāng)m= n時(shí)，等號(hào)成立，所以 3m+n的最小值為16.因?yàn)閍0, b0, 1 = a+ 2b/ab,所以ab8當(dāng)且僅當(dāng)a = 2b = 時(shí)等號(hào)成立.又 因?yàn)?a2+ 4b2 +

10、Ob2a (2b)+= 4ab+ 秸，令 t = ab,所以 f(t)= 4t+f.因?yàn)?f(t)在(0, f上單調(diào)遞減，所以f(t)min =171，此時(shí)a = 2b =夕答案：(1)1(2) - 1(3)1617考點(diǎn)三 利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題小王大學(xué)畢業(yè)后，決定利用所學(xué)專業(yè)進(jìn)行自主創(chuàng)業(yè)經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，生產(chǎn)某小型電子產(chǎn)品需投入年固定成本為 3萬(wàn)元，每生產(chǎn)x萬(wàn)件，需另投入流動(dòng)成本為 W(x)萬(wàn)元， 在年產(chǎn)量不足8萬(wàn)件時(shí)，W(x)= 1x2 + x(萬(wàn)元)在年產(chǎn)量不小于 8萬(wàn)件時(shí)，W(x)= 6x +100 3x38(萬(wàn)元)每件產(chǎn)品售價(jià)為 5元通過(guò)市場(chǎng)分析，小王生產(chǎn)的商品能當(dāng)年全部售完.(1)

11、 寫(xiě)出年利潤(rùn)L(x)(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)件)的函數(shù)解析式；(注：年利潤(rùn)=年銷售收入固定成本流動(dòng)成本)(2) 年產(chǎn)量為多少萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解(1)因?yàn)槊考唐肥蹆r(jià)為 5元，貝y x萬(wàn)件商品銷售收入為 5x萬(wàn)元，依題意得，當(dāng)0x 8 時(shí)，L(x) = 5x x+ 100 1 2 (gx + 4x 3, 0x8.所以 L(xr 8.1 2(2)當(dāng) 0x 8 時(shí)，L(x) = 35 (+ 晉35 2寸= 35 20= 15,此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)x= 100時(shí)，即x= 10時(shí)，L(x)取得最大值15萬(wàn)元.x915，所以當(dāng)年產(chǎn)量為10萬(wàn)件時(shí)，小王在這一商品的生產(chǎn)中

12、所獲利潤(rùn)最大最大利潤(rùn)為15萬(wàn)元.規(guī)律方法應(yīng)用基本不等式解實(shí)際問(wèn)題的步驟：理解題意，設(shè)變量；建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象成求函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題；在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的寫(xiě)出正確答案.3.某化工企業(yè)2014年年底投入100萬(wàn)元，購(gòu)入一套污水處理設(shè)備.該設(shè)備 0.5萬(wàn)元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬(wàn)元.設(shè)該企業(yè)使用該設(shè)備2萬(wàn)元， x年的年平最大值或最小值； 每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是 由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加 均污水處理費(fèi)用為 y(單位：萬(wàn)元).(1) 用x表示y；(2) 當(dāng)該企業(yè)的年平均污水處理費(fèi)用最低時(shí)，企業(yè)需重新更換新的污水處理設(shè)備，則該 企業(yè)幾年后

13、需要重新更換新的污水處理設(shè)備.解: (1)由題意得，y=100+ 0.5x+( 2+ 4 + 6IT2x)100 *即 y = x+ + 1.5(x N ).(2)由基本不等式得：x= T，即x= 10時(shí)取等號(hào).y=1.52 寸+ 1.5= 21.5，當(dāng)且僅當(dāng)故該企業(yè)10年后需要重新更換新的污水處理設(shè)備.0).因?yàn)?x +4 C且僅當(dāng) x= 4，即 x= 2時(shí)取“=”)所以 ymin = 80 + 20 X 4 = 160(元).答案160考題溯源本題源于教材人教 A版必修5 P99例2 “某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯 水池，其容積為4 800 m3,深為3 m .如果池底每平方米的造價(jià)為1

14、50元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？”只對(duì)題目數(shù)字作一變動(dòng)，其解法完全相同.如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建成一個(gè)更大的矩形花壇AMPN ,要求 B點(diǎn)在AM 上, D點(diǎn)在AN上，且對(duì)角線 MN過(guò)點(diǎn)C,已知 AB= 3米，AD = 2米.dR(1)要使矩形AMPN的面積大于32平方米，則DN的長(zhǎng)應(yīng)在什么范圍內(nèi)？ 當(dāng)DN的長(zhǎng)度為多少時(shí)，矩形花壇 AMPN的面積最??？并求出最小值.解：(1)設(shè)DN的長(zhǎng)為x(x0)米，則 |AN|= (x+2)米.IDJNJ= JDCl|AN| |AM|，3 (x+ 2)|AM|=x,_3 (x+ 2)S 矩形 AMP

15、N = |AN| |AM| =入2 ,3 ( x+ 2)由 S矩形 AMPN32, 得32.x又 x0，得 3x2- 20x + 120,2解得0x6,即DN長(zhǎng)的取值范圍是(0, 3)U (6，+ 8).(單位：米)2(2)矩形花壇的面積為3x2 + 12x + 123 (X+ 2) y=，xx12 =3x+ + 12(x0)12匚 + 12= 24,12當(dāng)且僅當(dāng)3x=即x= 2時(shí)，矩形花壇的面積最小，為 24平方米.X亦蓊jii竦:蔭耘面奠；基硼達(dá)標(biāo)2 2 21. （2015青島模擬）設(shè)a, b R，已知命題p: a2+ b2 2融 B.f + a2D. a2+ b22abC上 + b 2A

16、不成立，當(dāng)a, b 一正一負(fù)時(shí)，B不成立，當(dāng)a = b 時(shí)，D不成立，因此只有選項(xiàng) C是正確的.3.若2X + 2y= 1,則X + y的取值范圍是（A . 0, 2B.C. 2，+g ）D.lb a解析：選C.當(dāng)a, b都是負(fù)數(shù)時(shí)，)-2, 0解析：選D. 2X+ 2y 2寸2= 2寸2X+ y（當(dāng)且僅當(dāng)( g, 22x = 2y時(shí)等號(hào)成立)，.2yw2 ,12X+ yw 4，得 x+ yw 2.1 24. (2015湖北黃岡模擬)設(shè)a1, b0,若a + b= 2,則一-+ -的最小值為()a 1bA . 3+ 2 近B . 6C. 4迄D . 2/2解析：選 A.由 a + b= 2，可

17、得(a 1)+ b= 1.12 f 1,2)b 2 (a 1)L因?yàn)?a1, b0，所以+ -= i 4+ b l(a 1 + b)=+ 3吋2 + 3.a 1 b 迢1 丿a 1b當(dāng)且僅當(dāng)丄=2（ 1），即a =迄,b= 2 迄時(shí)取等號(hào).a 1b5. （2015山東青島質(zhì)檢）在實(shí)數(shù)集R中定義一種運(yùn)算“*，”對(duì)任意a, b R, a*b為唯一確定的實(shí)數(shù)，且具有性質(zhì)：（1）對(duì)任意 a R, a*0 = a;（2）對(duì)任意 a, b R, a*b= ab+ （a*0） + （b*0）.貝網(wǎng)數(shù)f（x）= （eX）*的最小值為（）eA. 2C. 6B. 3D. 8解析：選B.依題意可得f(x) = (e

18、X)*ex= eX+ex+ 1 2/eX+ 1 = 3,當(dāng)且僅當(dāng)x= 0時(shí)“=”成立，所以函數(shù)f(x) = )*4的最小值為3,故選B.e6. 已知各項(xiàng)為正的等比數(shù)列 an中，a4與ai4的等比中項(xiàng)為2羽，則2a7+ aii的最小值 為.解析：由已知 a4a14= (22)2= 8.再由等比數(shù)列的性質(zhì)有a4a14= a7a11= 8.又a70, a110,2a7 + a112/207011 = 8.當(dāng)且僅當(dāng)2a7= a11時(shí)等號(hào)成立.答案：87. 某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系為y= X2+ 18x 25

19、(x N ).則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn) 轉(zhuǎn)年時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，最大值是 萬(wàn)元.解析：每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為?= 18 (x +乎)，而x0，故fw 18 2羽5= 8, 當(dāng)且僅當(dāng)x= 5時(shí)，年平均利潤(rùn)最大，最大值為8萬(wàn)元.答案：58&已知a, b R，且ab= 50,則|a+ 2b|的最小值是”.解析：依題意得，a, b同號(hào)，于是有|a+ 2b|= |a|+ |2b|迭/|a|憶b|= 2小2莎|= 2100 =20,當(dāng)且僅當(dāng)|a|= |2b|= 10時(shí)取等號(hào)，因此|a+ 2b|的最小值是 20.答案：20389. (1)當(dāng)x2時(shí)，求函數(shù) y= x+ 設(shè)0x2，求函數(shù)y = /X (4 2x)

20、的最大值.罰，八 183解: (1)y = 2(2x 3) + 22x 3的最大值;3 +3.3當(dāng)x0,3 2x23 2x 丁+32；2當(dāng)且僅當(dāng)322 *x81x= 2時(shí)取等號(hào).3于是 yw 4 + 2= = ，即3 2x2,故函數(shù)的最大值為一12x 3/ 0x0,(4 2x)=J2x ( 2 x)x+ 2 - x=/2,當(dāng)且僅當(dāng)x= 2 X,即卩x= 1時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x= 1時(shí)，函數(shù)y=px(42x)的最大值為10.已知 x0, y0,且 2x+ 8y xy= 0，求 (1)xy的最小值；(2)x + y的最小值.解：(1)由 2x+ 8y xy= 0,得 8+ -= 1,X y ，又 x0,

21、 y0,則 1 = 8+ 2 2、辱=基.X y Vxy vXy 得 xy 64,當(dāng)且僅當(dāng)x= 16, y = 4時(shí)，等號(hào)成立. 所以xy的最小值為64.由 2x+ 8y xy= 0,得 8+ -= 1,X y ，則 X + y= + -+y)=10 + 空+ % 10 + 2、尊=18.y X y X當(dāng)且僅當(dāng)x= 12且y= 6時(shí)等號(hào)成立， x+ y的最小值為18.能力提升1.不等式X2 + xa + b對(duì)任意a, b （0 ,+s）恒成立，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）b a0）1）B. ( s, 2) U (1 ,+s )D. ( s, 4) U (2 ,+s )2 a b2X+ xb + a

22、對(duì)任意a, b (0,+s )恒成立，則X +A . （ 2,C. （ 2,解析：選C.根據(jù)題意，由于不等式+ a2、/|1 = 2，當(dāng)且僅當(dāng)a= b時(shí)等號(hào)成立，二x2+ x2，求解此一元二次但丄XXt+ a 丿min，不等式可知2x0, y0, z0）,XVxy11 一- = 22=/ W = 1.z X 3xy+ 4y x+ 4- 34 3y X當(dāng)且僅當(dāng)X=篡即x= 2y時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)； 1221212d.丫，+ _=7+_尹=卡 +_= r 1+1,y z 2y y 2yyy7/3. （2015云南統(tǒng)一檢測(cè)）已知a0, b0，方程為by 1 = 0對(duì)稱，則3a土型的最小值為.ab解析：

23、該曲線表示以（2, 1）為圓心的圓，由題意知直線ax by 1 = 0經(jīng)過(guò)圓心（2,z= X2 3xy+ 4y2= 4y2- 6y2 + 4y2= 2y2,2X2 1 2二當(dāng)y= 1時(shí)，2+-的最大值為1.x y zX2 + y2 4x+ 2y= 0的曲線關(guān)于直線 ax解析：(1)當(dāng) 1 = 6.05 時(shí)，F(xiàn)=0 , y0,且 2x+ 5y= 20. 求：（1）u = Ig x+ Ig y的最大值； （2）1十1的最小值. x y解：（1） / x0, y0,由基本不等式，得 2x十5yFcxy.2x十 5y = 20,.2寸 10xyw 20, xy 2寸罟晉+ 7= 4/3 + 7（當(dāng)且僅當(dāng)a= 2 血 b= 23 3時(shí)等號(hào)成立）.答案：4/3 +