小學(xué)奧數(shù)染色與操作問題教師版

1、標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 一、染色問題 這里的染色問題不是要求如何染色，然后問有多少種染色方法的那類題目，它指的是一種解題方法.染色方法是一種將題目研究對象分類的形象化方法，通過將問題中的對象適當(dāng)染色，我們可以更形象地觀察分析出其中所蘊(yùn)含的關(guān)系，再經(jīng)過一定的邏輯推理，便能得出問題的答案.這類問題不需要太多的數(shù)學(xué)知識，但技巧性，邏輯性較強(qiáng)，要注意學(xué)會幾種典型的染色問題. 二、操作問題 實(shí)際操作與策略問題這類題目能夠很好的提高學(xué)生思考問題的能力，激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)規(guī)律的興趣，并通過尋找最佳策略過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力，這也是各類考試命題者青睞的這類題目的原因。 模塊一、染色問題 【例 1】 六年級一

2、班全班有35名同學(xué)，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每個座位的前后左右四個位置都叫做它的鄰座如果要讓這35名同學(xué)各人都恰好坐到他的鄰座上去，能辦到嗎?為什么？ 【解析】 劃一個57的方格表，其中每一個方格表示一個座位將方格黑白相間地染上顏色，這樣黑色座位與白色座位都成了鄰座因此每位同學(xué)都坐到他的鄰座相當(dāng)于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格而實(shí)際圖中有17個黑格18個白格，個數(shù)不等，故不能辦到 【鞏固】 右圖是某一湖泊的平面圖，圖中所有曲線都是湖岸. (1)如果P點(diǎn)在岸上，那么A點(diǎn)是在岸上還是在水中？ (2)某人過此湖泊，他下水時脫鞋，上岸時穿鞋.如果他從A點(diǎn)出發(fā)走到某點(diǎn)B，他穿鞋與脫鞋的

3、總次數(shù)是奇數(shù)，那么B點(diǎn)是在岸上還是在水中？為什么？ 【解析】 （1）已知P點(diǎn)在陸地上，如果在圖上用陰影表示陸地，就可以看出A點(diǎn)在水中. （2）從水中經(jīng)過一次陸地到水中，脫鞋與穿鞋的次數(shù)的和為2，由于A點(diǎn)在水中，所以不管怎么走，走在水中時，脫鞋、穿鞋的次數(shù)的和總是偶數(shù).既然題中說“脫鞋的次數(shù)與穿鞋的次數(shù)的和是個奇數(shù)”，那么B點(diǎn)必定在岸上. 【鞏固】 某班有45名同學(xué)按9行5列坐好老師想讓每位同學(xué)都坐到他的鄰座(前后左右)上去，問這能否辦到? 第十一講：染色與操作問題 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 【解析】 將59長方形自然染色，發(fā)現(xiàn)黑格的鄰座都是白格，白格的鄰座都是黑格，因此每位同學(xué)都坐到他的鄰座相當(dāng)于所

4、有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格而實(shí)際圖中有23個黑格22個白格，個數(shù)不等，故不能辦到 【例 2】 右圖是某一套房子的平面圖，共12個房間，每相鄰兩房間都有門相通請問：你能從某個房間出發(fā)，不重復(fù)地走完每個房間嗎? 【解析】 如圖所示，將房間黑白相間染色，發(fā)現(xiàn)只有5個白格，7個黑格因?yàn)槊看沃荒苡珊诘桨谆蛴砂椎胶?，路線必然黑白相問，顯然應(yīng)該從多的白格開始但路線上1白1黑1白1黑直到5白5黑后還余2黑，不可能從黑格到黑格，故無法實(shí)現(xiàn)不重復(fù)走遍 【鞏固】有一次車展共66=36個展室，如右圖，每個展室與相鄰的展室都有門相通，入口和出口如圖所示參觀者能否從入口進(jìn)去，不重復(fù)地參觀完每個展室再從出口出來

5、? 【解析】 如右下圖，對每個展室黑白相間染色，同樣每次只能黑格到白格或白格到黑格入口和出口處都是白格，故路線黑白相間，首尾都是白格，于是應(yīng)該白格比黑格多1個，而實(shí)際上白格、黑格都是18個，故不可能做到不重復(fù)走遍每個展室 【例 3】 在一個正方形的果園里，種有63棵果樹，加上右下角的一間小屋，整齊地排列成八行八列，如圖（1）.守園人從小屋出發(fā)經(jīng)過每一棵樹，不重復(fù)也不遺漏(不許斜走)，最后又回到小屋，行嗎？如果有80棵果樹，如圖（2），連小屋排成九行九列呢？ 【解析】 下圖(1)中可以回到小屋，守園人只能黑白相間地走，走到的第奇數(shù)棵樹是白的，第偶數(shù)棵樹是黑的，走到第63棵樹應(yīng)是白的，在小屋相鄰的

6、樹都標(biāo)注白色，所以可以回到小屋.圖(2)不行,從小屋出發(fā),當(dāng)走到80棵樹應(yīng)是黑色, 而黑樹與小木屋不相鄰，無法直接回到小木屋. 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 【例 4】 右圖是半張中國象棋盤，棋盤上已放有一只馬. 眾所周知，馬是走“日”字的. 請問：這只馬能否不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每一個點(diǎn)，然后回到出發(fā)點(diǎn)？ 【解析】 馬走“日”字，在中國象棋盤上走有什么規(guī)律呢？為方便研究規(guī)律，如下圖所示，先在棋盤各交點(diǎn)處相間標(biāo)上和，圖中共有22個和23個 . 因?yàn)轳R走“日”字，每步只能從跳到，或由跳到，所以馬從某點(diǎn)跳到同色的點(diǎn)（指或），要跳偶數(shù)步；跳到不同色的點(diǎn)，要跳奇數(shù)步?，F(xiàn)在馬在點(diǎn)，要跳回這一點(diǎn)，應(yīng)跳偶數(shù)步，可

7、是棋盤上共有23+22=45（個）點(diǎn)，不可能做到不重復(fù)地走遍所有的點(diǎn)后回到出發(fā)點(diǎn). 如果馬的出發(fā)點(diǎn)不是在點(diǎn)上而是在點(diǎn)上，那么這只馬能不能不重復(fù)地走遍這半張棋盤上的每個點(diǎn)，最后回到出發(fā)點(diǎn)上呢？按照上面的分析，顯然也是不可能的. 但是如果放棄“回到出發(fā)點(diǎn)”的要求，那么情況就不一樣了. 從某點(diǎn)出發(fā)，跳遍半張棋盤上除起點(diǎn)以外的其它44點(diǎn)，要跳44步，44是偶數(shù)，所以起點(diǎn)和終點(diǎn)應(yīng)是同色的點(diǎn)（指或）. 因?yàn)?4步跳過的點(diǎn)與點(diǎn)各22個，所以起點(diǎn)必是，終點(diǎn)也是. 也就說是，當(dāng)不要求回到出發(fā)點(diǎn)時，只要從出發(fā)，就可以不重復(fù)地走遍半張棋盤上的所有點(diǎn). 【例 5】 右圖是由14個大小相同的方格組成的圖形. 試問能不能

8、剪裁成7個由相鄰兩方格組成的長方形？ 【解析】 將這14個小方格黑白相間染色（見右下圖），有8個黑格，6個白格. 相鄰兩個方格必然是一黑一白，如果能剪裁成7個小長方形，那么14個格應(yīng)當(dāng)是黑、白各7個，與實(shí)際情況不符，所以不能剪裁成7個由相鄰兩個方格組成的長方形. 【鞏固】 右圖是由40個小正方形組成的圖形，能否將它剪裁成20個相同的長方形？ 【解析】 將40個小正方形想剪裁成20個相同的長方形，就是將圖形分割成20個12的長方形，將其黑白相間染色后，發(fā)現(xiàn)有21黑，19白，黑白格數(shù)不等，而12的小矩形一次覆蓋黑白格各一個. 【鞏固】 下面的三個圖形都是從44的正方形紙片上剪去兩個11的小方格后得

9、到的. 問：能否把它們分別剪成12的七個小矩形. 【解析】 如右上圖，（1）能，黑白格數(shù)相等；（2）（3）不能，黑白格數(shù)不等，而12的小矩形一次覆蓋黑白格各一個. 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 【例 6】 用11 個和5 個能否蓋住88的大正方形? 【解析】 如右圖，對88 正方形黑白相問染色后，發(fā)現(xiàn)必然蓋住2白2黑，5個則蓋住10白10 黑則蓋住了3白1黑或3黑1白，從奇偶性考慮，都是奇數(shù)而這種形狀共11個，奇數(shù)個奇數(shù)相加仍為奇數(shù)，故這種形狀蓋住的黑格和白格都是奇數(shù)，加另一種形狀的10白10黑，兩種形狀共蓋住奇數(shù)個白格奇數(shù)個黑格但實(shí)際染色后共32個白格32個黑格，故不可能按題目要求蓋住注： 本題中每個

10、蓋3白1黑或3黑1白，11個這種形狀蓋住的不一定是33白11黑或33黑11白，因?yàn)榭赡芤徊糠稚w3白1黑，另一部分蓋3黑1白.這是一個容易犯錯的地方. 【鞏固】 能否用9 個所示的卡片拼成一個66的棋盤？ 【解析】 不能. 將66的棋盤黑白相間染色（見右圖），有18個黑格. 每張卡片蓋住的黑格數(shù)不是1就是3，9張卡片蓋住的黑格數(shù)之和是奇數(shù)，不可能蓋住18個黑格. 【鞏固】 9個14的長方形不能拼成一個66的正方形，請你說明理由！ 【解析】 本題若用傳統(tǒng)的自然染色法，不能說明問題. 我們對66正方形用四種顏色染色，因?yàn)橐?4來覆蓋為了方便起見，這里用1、2、3、4分別代表四種顏色也為了使每個14

11、長方形在任何位置蓋住的都一樣，我們采用沿對角線染色，如右圖這樣，可以發(fā)現(xiàn)無論將14長方形放于何處，蓋住的必然是1、2、3、4各一個要不重疊地拼出66，需9個14長方形，則必然蓋住1、2、3、4各9個但實(shí)際上圖中一共是9個l、10個2、9個3、8個4，因而不可能用9個14長方形拼出66正方形 【鞏固】 用若干個22和33的小正方形不能拼成一個1111的大正方形，請你說明理由！ 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 【解析】 如右圖所示，將22或33的小正方形沿格線擺在右圖的任何位置，必定蓋住偶數(shù)個陰影方格，而陰影方格共有77個，是奇數(shù)，所以只用22和33的小正方形，不可能拼成1111的大正方形. 【例 7】 對于

12、表（1），每次使其中的任意兩個數(shù)減去或加上同一個數(shù)，能否經(jīng)過若干次后（各次減去或加上的數(shù)可以不同），變?yōu)楸恚?）？為什么？ 【解析】 因?yàn)槊看斡袃蓚€數(shù)同時被加上或減去同一個數(shù)，所以表中九個數(shù)碼的總和經(jīng)過變化后，等于原來的總和加上或減去那個數(shù)的2倍，因此總和的奇偶性沒有改變。原來九個數(shù)的總和為1+2+9=45，是奇數(shù)，經(jīng)過若干次變化后，總和仍應(yīng)是奇數(shù)，與右上表九個數(shù)的總和是4矛盾。所以不可能變成右上表. 模塊二、操作問題 【例 8】 右圖是一個圓盤，中心軸固定在黑板上.開始時，圓盤上每個數(shù)字所對應(yīng)的黑板處均寫著0.然后轉(zhuǎn)動圓盤，每次可以轉(zhuǎn)動90的任意整數(shù)倍，圓盤上的四個數(shù)將分別正對著黑板上寫數(shù)的

13、位置，將圓盤上的數(shù)加到黑板上對應(yīng)位置的數(shù)上.問：經(jīng)過若干次后，黑板上的四個數(shù)是否可能都是999？ 【解析】 不可能.因?yàn)槊看渭由系臄?shù)之和是 1234=10，所以黑板上的四個數(shù)之和永遠(yuǎn)是10的整數(shù)倍. 9994=3996，不是10的倍數(shù)，所以黑板上的四個數(shù)不可都是999. 【例 9】 有7個蘋果要平均分給12個小朋友，園長要求每個蘋果最多分成5份應(yīng)該怎樣分？ 【解析】 顯然每人應(yīng)該分127124+12331+41 于是，拿4個蘋果，每個蘋果3等分；拿3個蘋果，每個蘋果4等分 【例 10】 有一位老人，他有三個兒子和十七匹馬.他在臨終前對他的兒子們說：“我已經(jīng)寫好了遺囑，我把馬留給你們，你們一定要

14、按我的要求去分.”老人去世后，三兄弟看到了遺囑.遺囑上寫著：標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 “我把十七匹馬全都留給我的三個兒子. 長子得12，次子得13，給幼子19.不許流血，不許殺馬.你們必須遵從父親的遺愿！”請你幫助他們分分馬吧！ 【解析】 這三個兄弟迷惑不解，盡管他們在學(xué)校里學(xué)習(xí)成績都不錯，可是他們還是不會用17除以2、用17除以3、用17除以9，又不讓馬流血.于是他們就去請教當(dāng)?shù)匾晃还J(rèn)的智者.這位智者看了遺囑以后說：“我借給你們一匹馬，去按你們父親的遺愿分吧！”老人原有17匹馬，加上智者借給的一匹，一共18匹.于是三兄弟按照18匹馬的12、13和19，分別得到了九匹、六匹和兩匹.9+6+2=17

15、（匹）.還剩下一匹，是智者借給的那匹，還給智者. 【鞏固】 甲、乙、丙、丁分29頭羊. 甲、乙、丙、丁分別得1111,25610，應(yīng)如何分？ 【解析】 借一頭羊，甲、乙、丙、丁依次分得15，6，5，3頭羊，再將借得1頭羊還回去. 【例 11】 8個金幣中，有一個比真金幣輕的假金幣，你能用天平稱兩次就找出來嗎（天平無砝碼）? 【解析】 講解此題前，教師可先問學(xué)生：“3個金幣，有1個假的比較輕，你稱1次能把它找出來么？”將8個金幣分成：3+3+2，3組，把3和3進(jìn)行稱量，如果重量相同，稱剩下的2個金幣即可找到假幣；如果重量不同，將比較重的3個金幣拿出，用天平稱量2個，剩下1個，天平不平衡易得答案，

16、若此時天平平衡則剩下的那個是假的. 【鞏固】 9個金幣中，有一個比真金幣輕的假金幣，你能用天平稱兩次就找出來嗎（天平無砝碼）? 【解析】 第一次在左右兩托盤各放置3個：(一)如果不平衡，那么較輕的一側(cè)的3個中有一個是假的從中任取兩個分別放在兩托盤內(nèi)：如果不平衡，較低的一側(cè)的那個是假的；如果平衡，剩下的一個是假的；(二)如果平衡，剩下的三個中必有一個為假的從中任取兩個分別放在兩托盤內(nèi)：如果不平衡，較低的一側(cè)的那個是假的；如果平衡，剩下的那個是假的這類稱量找假幣的問題，一定要會分類，并盡量是每一類對應(yīng)天平稱量時的不同狀態(tài)(輕，重，平)，所以分成3堆是很常見的分法 【例 12】 據(jù)說有一天，韓信騎馬

17、走在路上，看見兩個人正在路邊為分油發(fā)愁.這兩個人有一只容量10斤的簍子，里面裝滿了油；還有一只空的罐和一只空的葫蘆，罐可裝7斤油，葫蘆可裝3斤油.要把這10斤油平分，每人5斤. 但是誰也沒有帶秤，只能拿手頭的三個容器倒來倒去.應(yīng)該怎樣分呢？ 【解析】 韓信給兩人說了一句話：“葫蘆歸簍，簍歸罐”，兩人按此分油，果然把油分成了兩半.具體做法如下表： 韓信的話指明了倒油的方向，始終按從簍向罐中倒，從罐向葫蘆中倒，從葫蘆向簍中倒的方向操作.按照相反的方向倒，即“葫蘆歸罐，罐歸簍”怎樣?我們試試 . 看來也行，只是多倒了一次.要注意的是：保持一定的方向很重要. 如果在倒油的過程中，出現(xiàn)從甲倒向乙，又從乙

18、倒回甲(這兩步不一定挨著)，那么這兩步相互抵消，肯定可以簡化掉，所以最佳的倒油方法是始終按一個方向倒. 【鞏固】 大桶能裝5千克油，小桶能裝4千克油，你能用這兩只桶量出6千克油嗎?怎么量？ 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 【解析】 先將5千克的桶倒?jié)M油；再用大桶將小桶倒?jié)M，大桶中還有5-4=1(千克)油；然后將小桶倒空，將大桶中1千克倒到小桶中；最后注滿大桶，連小桶中共是5+1=6(千克)這道題要學(xué)會借助于大桶小桶容積的差量出想獲得的中間量(1千克) 【鞏固】 有一個小朋友叫小滿，他學(xué)會了韓信分油的方法，心里很是得意. 一天，他遇到了兩位農(nóng)婦. 兩位農(nóng)婦有兩個各裝滿了10升奶的罐子，還有一個5升和一個4升

19、的小桶，她們請求小滿就用這些容器將罐子中的奶給兩個小桶中各倒入2升奶.小滿按照韓信分油的方法，略加變通，就將奶分好了！你說說具體的做法！ 【解析】 答案如表所示 【例 13】 有大，中，小3個瓶子，最多分別可以裝入水1000克，700克和300克.現(xiàn)在大瓶中裝滿水，希望通過水在3個瓶子間的流動使得中瓶和小瓶上標(biāo)出100克水的刻度線，問最少要倒幾次水 【解析】 通過對三個數(shù)字的分析，我們發(fā)現(xiàn)700-300-300=100，是計算步數(shù)最少的得到100的方法而由于我們每計算一步就相當(dāng)于倒一次水，所以倒水最少的方案應(yīng)該是： 1大瓶往中瓶中倒?jié)M水 2中瓶往小瓶中倒?jié)M水，這時中瓶中還剩下400克水 3小瓶

20、中水倒回大瓶 4中瓶再往小瓶中倒?jié)M水，這時中瓶中只剩下100克水，標(biāo)記 5小瓶中水倒回大瓶 6中瓶中100水倒入小瓶，標(biāo)記所以最少要倒6次水 本題關(guān)鍵是，小瓶中的水每次都要倒掉，不然無法再往小瓶中倒水的 【例 14】 老師在黑板上畫了9個點(diǎn)，要求同學(xué)們用一筆畫出一條通過這9個點(diǎn)的折線(只許拐三個彎兒)你能辦到嗎? 【解析】 大家開始嘗試多次之后可能會得出“不可能”的結(jié)論，但是大家不要忽略一點(diǎn)，題中并沒要求所有折線只能限定在這9個點(diǎn)的范圍之內(nèi)我們把折線的范圍沖破本題9個點(diǎn)所限定的正方形，那么問題就容易解決了，如上右圖。 【例 15】 你有四個裝藥丸的罐子，每個藥丸都有一定的重量，被污染的藥丸是沒

21、被污染的重量1.只稱量一次，如何判斷哪個罐子的藥被污染了？ 【解析】 第一瓶拿一個藥丸，第二瓶拿兩個藥丸，第三瓶拿三個，第四瓶拿四個，稱一下比標(biāo)準(zhǔn)的10個藥丸重多少，重多少就是第幾個瓶子里的藥丸被污染. 【例 16】 如右圖所示，將112順次排成一圈. 如果報出一個數(shù)a（在112之間），那么就從數(shù)a的位置順時針走a個數(shù)的位置. 例如a=3，就從3的位置順時針走3個數(shù)的位置到達(dá)6的位置；a=11，就從11的位置順時針走11個數(shù)的位置到達(dá)10的位置. 問：a是多少時，可以走到7的位置？ 標(biāo)準(zhǔn)文檔 實(shí)用文案 【解析】 不存在.當(dāng)1a6時，從a的位置順時針走a個數(shù)的位置，應(yīng)到達(dá)2a的位置；當(dāng)7a12時

22、，從a的位置順時針走a個數(shù)的位置，應(yīng)到達(dá)2a-12的位置.由上面的分析知，不論a是什么數(shù)，結(jié)果總是走到偶數(shù)的位置，不會走到7的位置. 【例 17】 對于任意一個自然數(shù) n，當(dāng) n為奇數(shù)時，加上121；當(dāng)n為偶數(shù)時，除以2，這算一次操作現(xiàn)在對231連續(xù)進(jìn)行這種操作，在操作過程中是否可能出現(xiàn)100？為什么？ 【解析】 同學(xué)們碰到這種題，可能會“具體操作”一下，得到 這個過程還可以繼續(xù)下去，雖然一直沒有得到100，但也不能肯定得不到100.當(dāng)然，連續(xù)操作下去會發(fā)現(xiàn)，數(shù)字一旦重復(fù)出現(xiàn)后，這一過程就進(jìn)入循環(huán)，這時就可以肯定不會出現(xiàn)100.因?yàn)檫@一過程很長，所以這不是好方法.因?yàn)?31和121都是11的倍

23、數(shù)，2不是11的倍數(shù)，所以在操作過程中產(chǎn)生的數(shù)也應(yīng)當(dāng)是11的倍數(shù). 100不是11的倍數(shù)，所以不可能出現(xiàn). 操作問題不要一味地去“操作”，而要找到解決問題的竅門. 練習(xí)1. 一只電動老鼠從左下圖的A點(diǎn)出發(fā)，沿格線奔跑，并且每到一個格點(diǎn)不是向左轉(zhuǎn)就是向右轉(zhuǎn)。當(dāng)這只電動老鼠又回到A點(diǎn)時，甲說它共轉(zhuǎn)了81次彎，乙說它共轉(zhuǎn)了82次彎。如果甲、乙二人有一人說對了，那么誰正確？ 【解析】 甲.如右下圖所示，將格點(diǎn)黑白相間染色，因?yàn)槔鲜笥龅礁顸c(diǎn)必須轉(zhuǎn)彎，所以經(jīng)過多少格點(diǎn)就轉(zhuǎn)了多少次彎。如左下圖所示，老鼠從黑點(diǎn)出發(fā)，到達(dá)任何一個黑點(diǎn)都轉(zhuǎn)了奇數(shù)次彎，所以甲正確 . 練習(xí)2. 如圖（1），對相鄰的兩格內(nèi)的數(shù)同時加上1或同時減去1叫做一次操作.經(jīng)過若干次操作后由1變成圖2，則圖2中A處的數(shù)是多少？ 【解析】 按圖中要求操作，圖3中陰影方格的數(shù)字之和與空白方格的數(shù)字之和的差不變.所以A=（1+1+1+1+1）-（0+0+