2019年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(天津卷)(含答案)

1、2019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）本試卷分為第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，共150 分，考試用時(shí) 120 分鐘。第卷 1 至 2 頁，第卷 3-5 頁。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效。考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 祝各位考生考試順利！第卷注意事項(xiàng)：1. 每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂 其他答案標(biāo)號(hào)。2. 本卷共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。參考公式：如果事件a、b互斥，

2、那么p ( a b ) =p ( a) +p ( b ).如果事件a、b相互獨(dú)立，那么p ( ab ) =p ( a) p( b).圓柱的體積公式 v =sh ，其中 s 表示圓柱的底面面積， h 表示圓柱的高.棱錐的體積公式v =13sh ，其中 s 表示棱錐的底面面積， h 表示棱錐的高.一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)集合a =-1,1,2,3,5, b =2,3,4, c = x r |1 x 3，則( a c ) b =a.2b.2,3c.-1,2,3d.1,2,3,4 x +y -2 0,2.設(shè)變量x, y 滿足約束條件 x -y +2 0,

3、x-1,則目標(biāo)函數(shù)z =-4x +y的最大值為y-1,a.2 b.3 c.5 d.63.設(shè) x r ，則“ x2-5 x 0 ”是“ | x -1| 0, b 0) a 2 b2的兩條漸近線分別交于點(diǎn)a和點(diǎn)b，且| ab |=4 | of |（o為原點(diǎn)），則雙曲線的離心率為a.2b.3c.2d.56.已知a =log 2 ， b =log 50.50.2 ， c =0.50.2，則a, b, c的大小關(guān)系為a.a c bb.a b cc.b c ad.c a 0,w0,| j|1,若關(guān)于x的不等式f ( x)0在r上恒成立，則a的取值范圍為a.0,1b.0,2c.0,ed.1,e第卷注意事項(xiàng)：

4、1用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。 2.本卷共 12 小題，共 110 分。二.填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分.9.i是虛數(shù)單位，則5 -i1 +i的值為 .10.2 x -18x38是展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 .11.已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長均為5.若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為 .12.設(shè) a r ，直線 ax -y +2 =0和圓 x =2 +2cos q, y =1 +2sin q（ q 為參數(shù)）相切，則a 的值為 .13.設(shè)x 0, y 0, x +2 y =5，則

5、( x +1)(2 y +1) xy的最小值為 .14.在四邊形abcd中，ad bc ,ab =2 3, ad =5, a =30，點(diǎn)e在線段cb的延長線上，且 ae =be ，則 bd ae =.三.解答題：本大題共 6 小題，共 80 分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. 15.（本小題滿分 13 分）在 abc 中，內(nèi)角 a, b , c cos b（）求的值；所對(duì)的邊分別為a, b, c .已知 b +c =2a ， 3c sin b =4a sin c.（）求sin 2b +p6的值.16.（本小題滿分 13 分）31 n設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天 7：30 之前到校的

6、概率均為23.假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立.（）用 x 表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中 7：30 之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量 x 的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）設(shè)m為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在 7：30 之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在 7：30 之前到校的天數(shù)恰好多 2”，求事件17.（本小題滿分 13 分）m發(fā)生的概率.如圖， ae 平面 abcd ， cf ae ,（）求證： bf 平面 ade ；ad bc ， ad ab , ab =ad =1, ae =bc =2.（）求直線ce與平面bde所成角的正弦值；（）若二面角e -bd -f的余弦值為13，求線段

7、cf的長.18.（本小題滿分 13 分）設(shè)橢圓x 2 y 2+ =1(a b 0) a 2 b 25的左焦點(diǎn)為 f ，上頂點(diǎn)為 b .已知橢圓的短軸長為 4，離心率為 .5（）求橢圓的方程；（）設(shè)點(diǎn)p在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點(diǎn)，點(diǎn)m為直線pb與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)n在y軸的負(fù)半軸上.若| on |=|of |（o為原點(diǎn)），且op mn，求直線pb的斜率.19.（本小題滿分 14 分）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列.已知a =4, b =6 ，b =2a -2, b =2 a +4 1 1 2 2 3 3.（）求an和bn的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列c滿足 n1, 2k n 2c =1, c =b

8、, n =2 k , kk +1,其中 k n *.4f ( x ) +g ( x ) -x 0 n（i）求數(shù)列a2nn(c-1)的通項(xiàng)公式； 2（ii）求2 na ci i(nn*).i =120.（本小題滿分 14 分）設(shè)函數(shù)f ( x) =e x cos x , g ( x )為f (x)的導(dǎo)函數(shù).（）求f (x)的單調(diào)區(qū)間；（）當(dāng)x pp p , 時(shí)，證明4 2 2 ；（ ） 設(shè)xn為 函 數(shù)u( x ) = f ( x )- 1在 區(qū) 間2m +p4, 2mp+p2內(nèi) 的 零 點(diǎn) ， 其 中n n， 證 明p e-2np 2 np+ -x 0)，（）證明：依題意，ab =(1,0,

9、0) 是平面 ade 的法向量，又bf =(0, 2, h )，可得bf ab =0，又因?yàn)橹本€ bf 平面 ade ，所以 bf 平面 ade .（）解：依題意，bd =( -1,1,0),be =( -1,0, 2), ce =( -1, -2, 2).設(shè)n =( x, y, z )為平面bde 的法向量，則 n bd =0, -x+y =0,即 不妨令 n be =0, -x+2z =0,z =1，可得n =(2,2,1).因此有cos ce , n =ce n 4=-| ce | n | 9.所以，直線 ce 與平面 bde 所成角的正弦值為49.（）解：設(shè)m =( x , y, z

10、)為平面bdf 的法向量，則 m bd =0, -x+y =0,即 m bf =0, 2y +hz =0,不妨令 y =1 ，可得 m = 1,1,-2h.7 由題意，有cosm,n=| m n| | m | n |=24 -h43 2 +h2=13，解得h =87.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.所以，線段 cf 的長為87.18.本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾橛么鷶?shù)方法研究圓錐曲面 的性質(zhì).考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力.滿分 13 分.（）解：設(shè)橢圓的半焦距為 c ，依題意，2b =4,x 2 y 2+ =1所以，橢圓的方程為.5 4c 5=a 5，又

11、 a 2 =b2 +c2 ，可得 a = 5 ，b =2, c =1.（）解：由題意，設(shè)p (x ，ypp)(x0),m(x,0)p m.設(shè)直線pb的斜率為k (k0)，又b(0,2)，則直線 pb 的方程為 y =kx +2y =kx +2, ，與橢圓方程聯(lián)立 x2 y 2+ =1,5 4整理得(4+5k2)x2+20kx =0，可得x =-p20k4 +5k2，代入y =kx +2得y =p8 -10 k 2 4 +5k 2，進(jìn)而直線op的斜率y 4 -5k p =x -10kp2.在y =kx +2中，令y =0，得xm=-2k. 由題意得n (0,-1)，所以直線mn的斜率為-k2.

12、由op mn，得4 -5k-10 k2 k 24 2 30 - =-1，化簡得 k 2 = ，從而 k = . 2 5 5所以，直線 pb 的斜率為2 30 2 30或 - .5 58n222222nnnn22( )19.本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前想和數(shù)列求和的基本方法以及運(yùn)算求解能力.滿分 14 分.n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識(shí).考查化歸與轉(zhuǎn)化思（）解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列b的公比為 q . 依題意得 6 q =6 +2 d , 6 q 2 =12 +4 d ,解得d =3,q =2,故a =4 +( n -1) 3 =3n +1, b =6 2 n nn -1=

13、3 2n.所以，an的通項(xiàng)公式為an=3n +1,b的通項(xiàng)公式為 nbn=3 2n.（）（i）解： 所以，數(shù)列aa (c-1)=a(b-1)=(32n+1)(32n-1)=94 n n x n(c-1)的通項(xiàng)公式為a(c-1)=94n-1.n-1.2n2n2n2n（ii）解：a c =a+a (c-1)=a+a(ci i i i i i i ii =1 i =1 i =1 i =1 2n (2n-1) n=2n 4 + 3 + 9 4i -1 2 i =1-1)=(322 n -1+5 2n -2)+94 (1-4n)1 -4-n=27 22 n -1+5 2n -1-n -12(nn*).2

14、0.本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、不等式證明、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和方法 .考查函數(shù) 思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想.考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力.滿分 14 分.（）解：由已知，有f ( x ) =ex(cos x -sin x).因此，當(dāng)x 2 kp+p4, 2kp+5p4( k z)時(shí)，有sin x cos x， 得f (x)0， 則f (x)單 調(diào) 遞 減 ； 當(dāng)x 2 kp-3p p, 2k p+ ( k z) 4 4 時(shí) ， 有sin x 0，則f (x)單調(diào)遞增.所 以 ，f (x)的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 為2kp-3p p, 2 k p+ ( k z), f

15、 ( x ) 4 4 的 單 調(diào) 遞 減 區(qū) 間 為2kp 5pp+ , 2 kp+ (k z) 4 4 .9,4 2 x,4 2p,4 2( ) ( )( ) ( ) n0nnnn=n（）證明：記h( x ) = f ( x) +g ( x )p -x2 . 依題意及（） ，有g(shù) ( x) =e x (cos x -sin x )，從而g ( x ) =-2exsin x .當(dāng) x pp 時(shí)，g (x)0，故p p h ( x ) = f ( x) +g ( x) -x +g ( x)(-1) =g ( x ) -x 02 2 .因此，h(x)在區(qū)間pp p p , 上單調(diào)遞減，進(jìn)而 h ( x)h = f4 2 2 2 =0.所以，當(dāng)x pp p , 時(shí)， f ( x) +g ( x) -x 04 2 2 .（）證明：依題意，u (x)=f(x)-1=0 n n，即encos x =1n.記y =x -2 np n n，則y npp ，且f (yn)=eyn cos y =e xn -2nncos (x-2npn)=e-2np(nn).由f (y)=e n-2np