電磁場(chǎng)與電磁波：第三章作業(yè)答案

1、題3.1圖 3.1 長(zhǎng)度為的細(xì)導(dǎo)線(xiàn)帶有均勻電荷，其電荷線(xiàn)密度為。（1）計(jì)算線(xiàn)電荷平分面上任意點(diǎn)的電位；（2）利用直接積分法計(jì)算線(xiàn)電荷平分面上任意點(diǎn)的電場(chǎng)，并用核對(duì)。解 （1）建立如題3.1圖所示坐標(biāo)系。根據(jù)電位的積分表達(dá)式，線(xiàn)電荷平分面上任意點(diǎn)的電位為（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得兩個(gè)對(duì)稱(chēng)線(xiàn)電荷元在點(diǎn)的電場(chǎng)為故長(zhǎng)為的線(xiàn)電荷在點(diǎn)的電場(chǎng)為由求，有可見(jiàn)得到的結(jié)果相同。3.3 電場(chǎng)中有一半徑為的圓柱體，已知柱內(nèi)外的電位函數(shù)分別為 （1）求圓柱內(nèi)、外的電場(chǎng)強(qiáng)度； （2）這個(gè)圓柱是什么材料制成的？表面有電荷分布嗎？試求之。解 （1）由，可得到時(shí)， 時(shí)， （2）該圓柱體為等位體，所以是由導(dǎo)體制成的，其表面有電荷分布

2、，電荷面密度為3.4 已知的空間中沒(méi)有電荷，下列幾個(gè)函數(shù)中哪些是可能的電位的解?（1）；（2）；（3）（4）。解 在電荷體密度的空間，電位函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足拉普拉斯方程（1）故此函數(shù)不是空間中的電位的解；（2）故此函數(shù)是空間中可能的電位的解；（3） 故此函數(shù)不是空間中的電位的解；（4） 故此函數(shù)不是空間中的電位的解。3.5 一半徑為的介質(zhì)球，介電常數(shù)為，其內(nèi)均勻分布自由電荷，試證明該介質(zhì)球中心點(diǎn)的電位為 解 根據(jù)高斯定理，得時(shí)， 即 ， 時(shí)， 故 ， 則得中心點(diǎn)的電位為 3.7 無(wú)限大導(dǎo)體平板分別置于x=0和x=d處，板間充滿(mǎn)電荷，其體電荷密度為，極板的電位分別為0和，如題3.7圖所示；求兩極板之間的

3、電位和電場(chǎng)強(qiáng)度。解 兩導(dǎo)體板之間的電位滿(mǎn)足泊松方程，故得x題3.7圖解此方程，得在處，故在處，故得故3.8 試證明：同軸線(xiàn)單位長(zhǎng)度的靜電儲(chǔ)能。式中為單位長(zhǎng)度上的電荷量，為單位長(zhǎng)度上的電容。解 由高斯定理可求得圓柱形電容器中的電場(chǎng)強(qiáng)度為內(nèi)外導(dǎo)體間的電壓為則同軸線(xiàn)單位長(zhǎng)度的電容為則得同軸線(xiàn)單位長(zhǎng)度的靜電儲(chǔ)能為3.9 有一半徑為、帶電量的導(dǎo)體球，其球心位于介電常數(shù)分別為和的兩種介質(zhì)的分界面上，該分界面為無(wú)限大平面。試求：（1）導(dǎo)體球的電容；（2） 總的靜電能量。解 （1）由于電場(chǎng)沿徑向分布，根據(jù)邊界條件，在兩種介質(zhì)的分界面上，故有 。由于、，所以。由高斯定理，得到 即 所以 導(dǎo)體球的電位故導(dǎo)體球的電

4、容（2） 總的靜電能量為3.11 同軸電纜的內(nèi)導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體內(nèi)半徑為；內(nèi)外導(dǎo)體之間填充兩層損耗介質(zhì)，其介電常數(shù)分別為和，電導(dǎo)率分布為和，兩層介質(zhì)的分界面為同軸圓柱面，分界面半徑為。當(dāng)外加電壓為時(shí)，試求：（1）介質(zhì)中的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分布；（2）同軸電纜單位長(zhǎng)度的電容及漏電阻。解 （1）設(shè)同軸電纜中單位長(zhǎng)度的徑向電流為，則由，得電流密度 介質(zhì)中的電場(chǎng) 而故則得到兩種介質(zhì)中的電流密度和電場(chǎng)強(qiáng)度分別為 （3）同軸電纜單位長(zhǎng)度的漏電阻為由靜電比擬，可得同軸電纜單位長(zhǎng)度的電容為3.13 在一塊厚度為的導(dǎo)電板上， 由兩個(gè)半徑分別為和的圓弧和夾角為的兩半徑割出的一塊扇形體，如題3.13圖所示。求：（1

5、）沿厚度方向的電阻；（2）兩圓弧面之間的電阻；(3) 沿方向的兩電極的電阻。設(shè)導(dǎo)電板的電導(dǎo)率為。解 （1）設(shè)沿厚度方向的兩電極的電壓為，則有題3.13 圖 故得到沿厚度方向的電阻為 （2）設(shè)內(nèi)外兩圓弧面電極之間的電流為，則故得到兩圓弧面之間的電阻為 （3）設(shè)沿方向的兩電極的電壓為，則有由于與無(wú)關(guān)，故得故得到沿方向的電阻為 3.14 有用圓柱坐標(biāo)系表示的電流分布，試求矢量磁位和磁感應(yīng)強(qiáng)度。解 由于電流只有分量，且僅為圓柱坐標(biāo)的函數(shù)，故也只有分量，且僅為的函數(shù)，即 （） （）由此可解得式中可由和滿(mǎn)足的邊界條件確定： 時(shí)，為有限值，若令此有限值為零，故得 時(shí)，、即由此可解得 ，故 （） （） 空間的

6、磁感應(yīng)強(qiáng)度為 （） （） 3.15無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)電流垂直于磁導(dǎo)率分別為和的兩種磁介質(zhì)的分界面，如題3.15圖所示。試求：（1）兩種磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度和；（2）磁化電流分布。題3.15圖解 （1）由安培環(huán)路定理，可得故得 （2）磁介質(zhì)的磁化強(qiáng)度則磁化電流體密度由看出，在處，具有奇異性，所以在磁介質(zhì)中處存在磁化線(xiàn)電流。以軸為中心、為半徑作一個(gè)圓形回路，由安培環(huán)路定理，有故得到在磁介質(zhì)的表面上，磁化電流面密度為 3.18 長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)附近有一矩形回路，此回路與導(dǎo)線(xiàn)不共面，如題3.18圖所示。試證明：直導(dǎo)線(xiàn)與矩形回路間的互感是（a）（b）題3.18圖解 設(shè)長(zhǎng)直導(dǎo)線(xiàn)中的電流為，則其產(chǎn)生的磁場(chǎng)為由題3.18圖可

7、知，與矩形回路交鏈的磁通為式中故直導(dǎo)線(xiàn)與矩形回路間的互感為3. 19 同軸線(xiàn)的內(nèi)導(dǎo)體是半徑為的圓柱，外導(dǎo)體是半徑為的薄圓柱面，其厚度可忽略不計(jì)。內(nèi)、外導(dǎo)體間填充有磁導(dǎo)率分別為和兩種不同的磁介質(zhì)，如題3.19圖所示。設(shè)同軸線(xiàn)中通過(guò)的電流為，試求：（1）同軸線(xiàn)中單位長(zhǎng)度所儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量；（2）單位長(zhǎng)度的自感。解 同軸線(xiàn)的內(nèi)外導(dǎo)體之間的磁場(chǎng)沿方向，在兩種磁介質(zhì)的分界面上，磁場(chǎng)只有法向分量。根據(jù)邊界條件可知，兩種磁介質(zhì)中的磁感應(yīng)強(qiáng)度，但磁場(chǎng)強(qiáng)度。（1）利用安培環(huán)路定律，當(dāng)時(shí)，有題3.19圖所以 在 區(qū)域內(nèi)，有 即故 同軸線(xiàn)中單位長(zhǎng)度儲(chǔ)存的磁場(chǎng)能量為 （2）由 ，得到單位長(zhǎng)度的自感為 題 3.21圖3.

8、21 一個(gè)點(diǎn)電荷與無(wú)限大導(dǎo)體平面距離為，如果把它移到無(wú)窮遠(yuǎn)處，需要作多少功？解 利用鏡像法求解。當(dāng)點(diǎn)電荷移動(dòng)到距離導(dǎo)體平面為的點(diǎn)時(shí)，其像電荷，位于點(diǎn)處，如題3.21圖所示。像電荷在點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)為所以將點(diǎn)電荷移到無(wú)窮遠(yuǎn)處時(shí)，電場(chǎng)所作的功為外力所作的功為3.24 一個(gè)半徑為的導(dǎo)體球帶有電荷量為，在球體外距離球心為處有一個(gè)點(diǎn)電荷。（1）求點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球之間的靜電力；（2）證明：當(dāng)與同號(hào)，且成立時(shí)，表現(xiàn)為吸引力。 題 3.24圖解 用鏡像法求解，像電荷和的大小和位置分別為， ，如題3.24圖所示。導(dǎo)體球自身所帶的電荷則用位于球心的點(diǎn)電荷等效。故點(diǎn)電荷受到的靜電力為（2）當(dāng)與同號(hào)，且表現(xiàn)為吸引力，即時(shí)，則應(yīng)有由此可得出 3.29 如題3.29圖所示的導(dǎo)體