第五章線性系統(tǒng)的頻域分析法2

1、5.3 控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性,5.3.1 開環(huán)極坐標(biāo)圖,開環(huán)極坐標(biāo)圖的近似繪制,(1) 起點(diǎn)和終點(diǎn)； (2) 與實(shí)軸的交點(diǎn)； (3) 變化范圍。,頻率特性可表示為：,將頻率特性安按典型環(huán)節(jié)分解,1.極坐標(biāo)圖的起點(diǎn), 0時(shí)，除 其他環(huán)節(jié)的頻率特性為,所以， 0時(shí)幅相曲線的起點(diǎn)只與 有關(guān),起點(diǎn)取決于比例環(huán)節(jié)k和積分或微分 環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)。,2.極坐標(biāo)圖的終點(diǎn), +時(shí)Gk(+j)在復(fù)平面上的位置與頻率特性分子分母多項(xiàng)式階次差（n-m）有關(guān)。,對(duì)于最小相位系統(tǒng),3.與實(shí)軸的交點(diǎn),例5-1 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,試?yán)L制系統(tǒng)概略極坐標(biāo)圖。,解：,系統(tǒng)開環(huán)頻率特性,起點(diǎn)：I型系統(tǒng)，A(0+) ,(0)=-90

2、,終點(diǎn)：n-m=3，A() 0,()=-270,與實(shí)軸交點(diǎn)：,由 解得,代入 得交點(diǎn)為,5.3.2 開環(huán)伯德圖,系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)作典型環(huán)節(jié)分解后，可先作出各典型環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)頻率特性曲線，然后采用疊加方法繪制系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性。,對(duì)于任意的開環(huán)傳遞函數(shù)，可按典型環(huán)節(jié)分解為三部分：,(2) 一階環(huán)節(jié)，包括慣性環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)及對(duì)應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)，交接頻率為1/T；,(3) 二階環(huán)節(jié)，包括振蕩環(huán)節(jié)、二階微分環(huán)節(jié)及對(duì)應(yīng)的非最小相位環(huán)節(jié)，交接頻率為n 。,(1) 積分環(huán)節(jié) 或 ；,記min為最小交接頻率，稱n的頻率范圍為低頻段。開環(huán)伯德圖的繪制按以下步驟進(jìn)行：,1) 開環(huán)傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)分解。,2)

3、 確定一階環(huán)節(jié)、二階環(huán)節(jié)的交接頻率，將各交接頻率標(biāo)注在對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的軸上。,3) 繪制低頻段漸近線：由于一階環(huán)節(jié)或二階環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻漸近曲線在交接頻率前斜率為0dB/dec，在交接頻率處斜率發(fā)生變化，故在min頻段內(nèi)，開環(huán)系統(tǒng)幅頻漸近特性曲線的斜率取決于微積分環(huán)節(jié)數(shù)，其斜率為-20vdB/dec。,4) 作min頻段漸近線：在min頻段，系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻漸近特性曲線表現(xiàn)為分段折線。每遇到一個(gè)交接頻率增加相應(yīng)的斜率。增加的斜率等于該交接頻率對(duì)應(yīng)環(huán)節(jié)的斜率。,低頻段直線的確定,由點(diǎn)斜式直線方程知：低頻段直線斜率為-20vdB/dec ，只需確定一點(diǎn)坐標(biāo)即可。,因?yàn)榈皖l段由 確定,方法一 在低頻段任選

4、一點(diǎn)0,方法二 選特定點(diǎn)0=1，則,方法三 選 特定值0，則,解：先將Gk(s)化成典型環(huán)節(jié)串聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn)形式,1)交接頻率：2，1，20,2)低頻段：,斜率：-20dB/dec;,位置：=1時(shí)，為20lgk=20dB,3)低頻向高頻延續(xù)，每經(jīng)過一個(gè)交接頻率，斜率作適當(dāng)修改,設(shè)復(fù)變函數(shù)為,一、映射定理,則對(duì)應(yīng)與S平面下除了有限的奇點(diǎn)之外的任意一點(diǎn)，F(xiàn)（S）為解析函數(shù)，即為單值、連續(xù)的函數(shù)。,S平面,F（S）平面,曲線的形狀：由F（S）的特性決定，無需關(guān)心 曲線的運(yùn)動(dòng)方向：可能是順時(shí)鐘，也可能是逆時(shí)鐘 曲線包圍原點(diǎn)的情況：包圍的次數(shù)，關(guān)心！,S平面,F（S）平面,映射定理,設(shè)S平面上的封閉曲線包圍了

5、復(fù)變函數(shù)F（S）的P個(gè)極點(diǎn)和Z個(gè)零點(diǎn)，并且此曲線不經(jīng)過F（S）的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)，當(dāng)復(fù)變量S沿封閉曲線順時(shí)鐘方向移動(dòng)一周時(shí)，在F（S）平面上的影射曲線包圍坐標(biāo)原點(diǎn)P-Z周。,二、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù),設(shè)系統(tǒng)的特征方程,F（S）的零點(diǎn)是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，極點(diǎn)則是開環(huán)極點(diǎn),系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：,特征方程的根都在S平面的左半平面，右面無極點(diǎn),F（S）的零點(diǎn)都在S平面的左半平面，右面無零點(diǎn),根據(jù)映射定理，S沿乃氏回線順時(shí)鐘移動(dòng)一周時(shí)，在 F（S）平面上的映射曲線將按逆時(shí)鐘圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)N=P-Z周。,系統(tǒng)是穩(wěn)定的，Z=0，N=P,穩(wěn)定性判據(jù)： 如果在S平面上，S沿乃奎斯特回線順時(shí)鐘移動(dòng)一周時(shí)，在F（S）平面上的

6、映射曲線圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)鐘旋轉(zhuǎn)N=P周，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。,映射曲線圍繞原點(diǎn)的情況相當(dāng)于G（S）H（S）的封閉曲線圍繞（-1，0）的運(yùn)動(dòng)情況。,繪制映射曲線的方法 （1）令S=j帶入G（S）H（S），得到開環(huán)頻率特性。 （2）畫出對(duì)應(yīng)于大半圓對(duì)應(yīng)的部分 實(shí)際物理系統(tǒng) n=m nm時(shí) G（S）H（S）趨于零 n=m時(shí) G（S）H（S）為常數(shù),乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)： 控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)從負(fù)無窮變化到正無窮大時(shí)，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)按逆時(shí)鐘方向包圍 (-1，j0)點(diǎn)P周，P為位于S平面右半部的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)。,例：繪制開環(huán)傳遞函數(shù),的乃奎斯特圖并判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,三、虛軸上有開環(huán)

7、極點(diǎn)時(shí)的乃奎斯特判據(jù),虛軸上含有開環(huán)極點(diǎn)的情況,不可直接應(yīng)用映射定理！,映射定理要求乃奎斯特回線不能經(jīng)過F（S）的奇點(diǎn)。,用半徑 0的半圓在虛軸上極點(diǎn)的右側(cè)繞過這些極點(diǎn)，即將這些極點(diǎn)劃到左半s平面。,在復(fù)平面的虛軸上，當(dāng)很小時(shí)，半圓弧的數(shù)學(xué)方程式rej,r0時(shí)，從0變到/2。,當(dāng)S沿著小半圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，映射曲線為無窮大的圓按順時(shí)鐘方向從,經(jīng)過0變化到,例：繪制開環(huán)傳遞函數(shù),的乃奎斯特圖并判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。,五、根據(jù)伯德圖判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性,原點(diǎn)為圓心的單位圓 0 分貝線。 單位圓以外L()0的部分； 單位圓內(nèi)部L()0的部分。,負(fù)實(shí)軸180線。,相連,(v 為開環(huán)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目),起始點(diǎn) (0+),Nyquist曲線的輔助線,(0+) +v 90線,正穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特曲線當(dāng)增大時(shí)從下向上穿越180線(相角滯后減小 )；,(-1, j0)點(diǎn)以左實(shí)軸的穿越點(diǎn) L()0范圍內(nèi)的與180線的穿越點(diǎn)。,負(fù)穿越對(duì)應(yīng)于對(duì)數(shù)相頻特性曲線當(dāng)增大時(shí)，從上向下穿越180線( 相角滯后增大)。,對(duì)數(shù)頻率特性穩(wěn)定判據(jù),若系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)m個(gè)位于右半s平面的特征根，則當(dāng)在L()0 的所有頻率范圍內(nèi)，對(duì)數(shù)