植樹問(wèn)題公式

1、植樹問(wèn)題公式單邊植樹（兩端都植）：距離+間隔長(zhǎng)+仁棵數(shù)單邊植樹（只植一端）：距離+間隔長(zhǎng)二棵數(shù)單邊植樹（兩端都不植）：距離+間隔長(zhǎng)1=棵數(shù)雙邊植樹（兩端都植）：（距離+間隔長(zhǎng)+1）X 2二棵數(shù) 雙邊植樹（只植一端）：（距離+間隔長(zhǎng)）X 2二棵數(shù) 雙邊植樹（兩端都不植）：（距離+間隔長(zhǎng)-1 ）X 2二棵數(shù) 循環(huán)植樹： 距離+間隔數(shù)二棵數(shù)解釋： 1 非封閉線路上的植樹問(wèn)題主要可分為以下三種情形 : 在非封閉線路的兩端都要植樹 , 那么 :株數(shù)二段數(shù)+1二全長(zhǎng)株距+1全長(zhǎng)二株距x （株數(shù)1）株距二全長(zhǎng)（株數(shù)1） 在非封閉線路的一端要植樹 ,另一端不要植樹 , 那么:株數(shù)二段數(shù)二全長(zhǎng)株距全長(zhǎng)二株距x株

2、數(shù)株距二全長(zhǎng)株數(shù) 在非封閉線路的兩端都不要植樹 , 那么 :株數(shù)二段數(shù)1二全長(zhǎng)株距1全長(zhǎng)二株距x （株數(shù)+1）株距二全長(zhǎng)（株數(shù)+1）2 封閉線路上的植樹問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系如下株數(shù)二段數(shù)二全長(zhǎng)株距 全長(zhǎng)二株距x株數(shù) 株距二全長(zhǎng)株數(shù)3、如果植樹路線的兩邊與兩端都植樹， 那么植樹的棵數(shù)應(yīng)比要分的段數(shù)多 1 ，再 乘二，即：棵樹二（段數(shù)+1）X 2。二、在封閉線路上植樹，棵數(shù)與段數(shù)相等，即：棵數(shù) =間隔數(shù)。三、在正方形線路上植樹， 如果每個(gè)頂點(diǎn)都要植樹。 則棵數(shù) =（每邊的棵數(shù) 1 ） x邊數(shù)。例1 長(zhǎng)方形場(chǎng)地：一個(gè)長(zhǎng) 84 米，寬 54 米的長(zhǎng)方形蘋果園中，蘋果樹的株距是2 米，行距是 3 米這個(gè)蘋果園

3、共種蘋果樹多少棵？解： 解法一： 一行能種多少棵？ 84寧2=42（棵）.|這塊地能種蘋果樹 多少行？ 54 - 3=18（行）. 這塊地共種蘋果樹多少棵？ 42 x 18=756（棵）. 如 果株距、行距的方向互換，結(jié)果相同： （84 - 3） x （54 - 2）=28 x 27=756（棵）.解法二：這塊地的面積是多少平方米呢？84 x 54=4536（平方米）.一棵蘋果樹占地多少平方米呢？2 x3=6（平方米）. 這塊地能種蘋果樹多少棵呢？ 4536 - 6=756（棵）.當(dāng)長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)、寬分別能被株距、行距整除時(shí)，可用上述兩種方法中 的任意一種來(lái)解；當(dāng)長(zhǎng)方形土地的長(zhǎng)、寬不能被株距、

4、行距整除時(shí)，就只能用第 二種解法來(lái)解但有些問(wèn)題從表面上看，并沒有出現(xiàn)“植樹”二字，但題目實(shí)質(zhì)上是反映 封閉線段或不封閉線段長(zhǎng)度、分隔點(diǎn)、每段長(zhǎng)度三者之間的關(guān)系。鋸木頭問(wèn)題 就是典型的不封閉線段上，兩頭不植樹問(wèn)題。 所鋸的段數(shù)總比 鋸的次數(shù)多一。上樓梯問(wèn)題 ，就是把每上一層樓梯所需的時(shí)間看成一個(gè)時(shí)間間隔， 那么： 上 樓所需總時(shí)間二（終點(diǎn)層一起始層）X每層所需時(shí)間。而方陣隊(duì)列問(wèn)題，看似與植樹問(wèn)題毫不相干，實(shí)質(zhì)上都是植樹問(wèn)題例2 直線場(chǎng)地：在一條公路的兩旁植樹，每隔 3 米植一棵，植到頭還剩 3 棵；每隔 2.5 米植 一棵，植到頭還缺少 37 棵，求這條公路的長(zhǎng)度。解法一：（代數(shù)解法） 設(shè)一共有

5、 x 棵樹 【（x-3）/2-1】X3=【（x+37）/2-1 】X2.5 x=205 公路長(zhǎng)：【（205-3） /2-1】X3=300得:公路長(zhǎng)度為300米解法二：（算術(shù)解法） 這道題可以用解盈虧問(wèn)題的思路來(lái)考慮：首先，我們?cè)趦蛇吰?點(diǎn)處各栽下一棵樹，這兩棵樹與路長(zhǎng)沒有關(guān)系，以后每栽下一棵樹，不論栽在哪一側(cè)， 植樹的路線（不是路）就增加一個(gè)間距，為了簡(jiǎn)單起見，我們按單側(cè)植樹來(lái)考慮。當(dāng)按 3 米的間距植樹時(shí)，最后剩下 3 棵，也就是說(shuō)植樹的路線要比路長(zhǎng)出 3 個(gè)間距， 3X 3=9 米，當(dāng)按 2.5 米的間距植樹時(shí)，最后還缺 37 棵樹，也就是說(shuō)植樹的路線比路短了 37 個(gè) 間距，2.5X 3

6、7=92.5米，兩次相差9+92.5=101.5米，兩次植樹的間距相差是 3- 2.5=0.5 米，據(jù)此可以求出樹的棵數(shù)：（不包括起點(diǎn)的2棵）101.5-0.5=203 （個(gè)）知道了樹的棵數(shù)，就可以求出植樹路線的長(zhǎng)度了：3 X （203- 3） =600（米） 或2.5X （203+37）=600 （米） 因?yàn)槭请p側(cè)植樹，所以路長(zhǎng)為： 600-2=300 （米） 綜合算式為： 3 X （3X 3+2.5X 37）十（3 2.5）-3 丨十2=300 （米） 或 2.5X （ 3X 3+2.5X 37） -（3- 2.5） +37 丨十 2=300 （米） 答：（略）例3 圓形場(chǎng)地（難題） ：有

7、一個(gè)圓形花壇，繞它走一圈是 120 米。如果在花壇周圍每隔 6 米 栽一株丁香花， 再在每相鄰的兩株丁香花之間等距離地栽 2株月季花?？稍远∠慊ǘ嗌?株？可栽月季花多少株？每 2 株緊相鄰的月季花相距多少米 解：解：根據(jù)棵數(shù) =全長(zhǎng)十間隔可求出栽丁香花的株數(shù)：120十6=20 （株）由于是在每相鄰的2株丁香花之間栽 2株月季花， 丁香花的株數(shù)與丁香花之間的間隔數(shù)相等， 因此，可栽月季花： 2 X 20=40 （株）由于2株丁香花之間的2株月季花是緊相鄰的，而2株丁香花之間的距離被2株月季花分為3等份，因此緊相鄰2株月季花之間距離為：6寧3=2（米）答： 可栽丁香花 20株，可栽月季花 40株，

8、 2株緊相鄰月季花之間相距 2米。例4 例 4 在圓形水池邊植樹，把樹植在距離岸邊均為 3 米的圓周上，按弧長(zhǎng)計(jì)算，每隔 2 米植一棵樹，共植了 314 棵。水池的周長(zhǎng)是多少米？（適于六年級(jí)程度） 解：先求出 植樹線路的長(zhǎng)。植樹線路是一個(gè)圓的周長(zhǎng)，這個(gè)圓的周長(zhǎng)是：2X 314=628（米） 這個(gè)圓的直徑是：628-3.14=200 （ 米）由于樹是植在距離岸邊均為 3米的圓周上，所以圓形水池的直徑是：200-3X 2=19（4 米） 圓形水池的周長(zhǎng)是： 194X3.14=609.16（米）綜合算式：（2X 314-3.14-3X 2）X 3.14 = （200-6）X 3.14 =194X 3

9、.14=609.16（米）例5 小明家門前有一條 10 米長(zhǎng)的水溝，在溝的一側(cè)每隔 2 米栽一棵樹，一共可栽幾棵？ （兩端都植樹）按常規(guī)解法，答案應(yīng)該是6 （10-2+1 ）棵，同理，如果小光家門前也有一段 10米長(zhǎng)的水溝，同樣可以栽 6棵，也就是兩家一共可以栽 12棵，這并看不出有什么不妥。但是，當(dāng)小明與小光家是鄰居時(shí)，我們?cè)儆?jì)算一下：兩家的水溝總長(zhǎng)是20米，20 - 2+1=11棵）,也就是兩家一共可以栽11棵樹，結(jié)果比上次計(jì)算少了一棵（本 人稱之為“鄰里沖突”），這是因?yàn)樵诙它c(diǎn)處有兩棵樹 “重合”了，這兩棵樹的間距為 0， 與題中要求間距 2 米不符，因此，可以看出兩端植樹是不妥當(dāng)?shù)摹?

10、但如果兩端都不植樹， 又會(huì)出現(xiàn)公共點(diǎn)沒有樹鄰近的兩棵樹間距 4米的情況， 仍與題意不符。 那么一端植樹又 會(huì)怎樣呢？這種要求是無(wú)法實(shí)現(xiàn)的， 因?yàn)楫?dāng)一方在與鄰家相接的端點(diǎn)上植上樹后， 就會(huì) 使鄰家地段兩端都有樹存在，還是不合題意。因此，要求在端點(diǎn)上植樹（或不植樹）都 會(huì)出現(xiàn)矛盾， 這樣的計(jì)算方法也不能正確的反映出各個(gè)數(shù)量間的關(guān)系。 數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn) 的科學(xué)，出題者固然可以任意給定條件， 但用不同的計(jì)算方法得出的結(jié)果應(yīng)該是相同的， 當(dāng)計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)矛盾時(shí)，應(yīng)該找出問(wèn)題的原因所在，不能簡(jiǎn)單的用“兩樹重合”來(lái)解釋 解釋。 再按照“棵樹=段數(shù)”的方法計(jì)算一下：小明家可栽樹：10十2=5 （棵） 小光家可栽樹：10十2=5（棵）兩家一共可栽樹10棵。當(dāng)兩家是鄰居時(shí)，可栽樹：（10+10） 寧2=10棵）兩次計(jì)算結(jié)果相同，因此可以說(shuō)這種計(jì)算方法才能正確的反映出各個(gè)數(shù)量 之間的關(guān)系。 為什么說(shuō)常規(guī)的解法不夠正確呢？那是因?yàn)樵诔Ｒ?guī)解法中， 只考慮了植 樹路段為一家獨(dú)有的情況，多栽或少栽一棵都不會(huì)出現(xiàn)“爭(zhēng)議” ，也就無(wú)法判定栽法是 否妥當(dāng)。然而當(dāng)植樹路段為多家共有時(shí)就會(huì)出現(xiàn)一方或雙方將樹栽到了公共端點(diǎn)上的情 況，從理論上講這是不正確的。相對(duì)于“路邊加一” ，“樓間減一”也無(wú)道理，因?yàn)橥耆?可以按“間距 2 米