完整版初中幾何知識點總結非常全20200930081045

1、沒有學不好的數學系列之二：初中幾何知識點詳解證明一，證明二，證明三，解直角三角形，圓證明（一）1、本套教材選用如下命題作為公理：（1）、兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。（2）、兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。（3）、兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等。（4）、兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等。（5）、三邊對應相等的兩個三角形全等。（6）、全等三角形的對應邊相等、對應角相等。此外，等式的有關性質和不等式的有關性質都可以看做公理。2、平行線的判定定理公理 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成：同位角相等，兩直線平行。定理

2、 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行。定理 兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行。簡單說成：內錯角相等，兩直線平行。3、平行線的性質定理公理兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。簡單說成：兩直線平行，同位角相等。定理兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。簡單說成：兩直線平行，內錯角相等。定理 兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。簡單說成：兩直線平行，同旁內角互補。如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。4、 三角形內角和定理三角形三個內角的和等于 180 :。5、三角形內角和定理

3、的推論三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。證明（二）一、 公理（1）三邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。（2） 兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“邊角邊”或“SAS ”）。（3） 兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角邊角”或“ASA ”）。（4）全等三角形的對應邊相等、對應角相等。推論：兩角及其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可簡寫成“角角邊”或“AAS ”）。二、等腰三角形1、等腰三角形的性質（1）等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）（2） 等腰三角形頂角的平分線、底

4、邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）。 等腰三角形的其他性質： 等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45 等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）。 等腰三角形的三邊關系：設腰長為a，底邊長為b，則- 寬=ab三、菱形1、菱形的定義有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形2、菱形的性質(1) 菱形的四條邊相等，對邊平行(2) 菱形的相鄰的角互補，對角相等(3) 菱形的對角線互相垂直平分，并且每一條對角線平分一組對角(4) 菱形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點(對稱中心到菱 形四條邊的距離相等)；對稱軸有兩條，是對角線所在的直線。3、菱形的判

5、定(1) 定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(2) 定理仁四邊都相等的四邊形是菱形(3) 定理2:對角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積3沒有學不好的數學系列之二：初中幾何知識點詳解S菱形=底邊長x高=兩條對角線乘積的一半四、正方形(310分)1 、正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質(1) 正方形四條邊都相等，對邊平行(2) 正方形的四個角都是直角(3) 正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角(4) 正方形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形；對稱中心是對角線的交點；對稱軸有四 條，是對角線所在的直線和對邊中點

6、連線所在的直線。3、正方形的判定判定一個四邊形是正方形的主要依據是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積設正方形邊長為a，對角線長為b證明一，證明二，證明三，解直角三角形，圓結論4:三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結論5:三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對的三角形的頂角相等。七、有關四邊形四邊中點問題的知識點：(1) 順次連接任意四邊形的四邊中點所得的四邊形是平行四邊形；(2) 順次連接 矩形的四邊中點所得的四邊形是 菱形；(3) 順次連接 菱形的四邊中點所得的四邊形是 矩形；(4) 順次連接等 腰梯形的四邊中點所得的四邊形是

7、 菱形；(5) 順次連接對角線相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是菱形；(6) 順次連接對角線互相垂直的四邊形四邊中點所得的四邊形是矩形；(7) 順次連接對角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點所得的四邊形是正方形;解直角三角形知識點總結考點一、直角三角形的性質(35 分)1、直角三角形的兩個銳角互余可表示如下：/ C=90 - / A+Z B=902、在直角三角形中，30 角所對的直角邊等于斜邊的一半。92正方形=a2可表示如下:Z A=30BCAB2五、等腰梯形1、等腰梯形的定義兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質(1) 等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。(2) 等腰梯形同一底上的兩個角相

8、等，同一腰上的兩個角互補。(3) 等腰梯形的對角線相等。(4) 等腰梯形是軸對稱圖形，它只有一條對稱軸，即兩底的垂直平分線。3、等腰梯形的判定(1) 定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形(2) 定理：在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形(3) 對角線相等的梯形是等腰梯形。(選擇題和填空題可直接用)六、三角形中的中位線1、三角形的中位線：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。2、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。3、常用結論：任一個三角形都有三條中位線，由此有：結論1:三條中位線組成一個三角形，其周長為原三角形周長的一半。結論2:三條中位線將原三角形分割成四個全等

9、的三角形。結論3:三條中位線將原三角形劃分出三個面積相等的平行四邊形。Z C=90 丿3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半Z ACB=9Cx一 1可表示如下：CD=AB=BD=AD2D為AB的中點丿4、勾股定理直角三角形兩直角邊 a，b的平方和等于斜邊 c的平方，即a2 b c25、攝影定理在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影 的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中 項Z ACB=90 打CD丄AB 6、常用關系式CD2 =AD ?BDAC2 二 AD ?ABBC2 =BD ?AB由三角形面積公式可得:AB? CD=A(?BC(3) 倒數關系tanA ?t

10、an(90 A)=1(4) 弦切關系sin AtanA=cos A5、銳角三角函數的增減性考點二、直角三角形的判定(35分)1 、有一個角是直角的三角形是直角三角形。2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長 a，b， c有關系a2 b2二c2，那么這個三角形是直角三角形?？键c三、銳角三角函數的概念(38分)1 、如圖，在 ABC中，/ C=90銳角A的對邊與斜邊的比叫做/A的正弦，記為 si nA，即sin A.A的對邊斜邊銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做/A的余弦，記為 cosA，即三型對邊3 NR的鄰遡cos A =.A的鄰邊斜

11、邊Ma蟲鄰邊Mb的對邊當角度在0 90之間變化時，(1 )正弦值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)(2 )余弦值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)(3 )正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)考點四、解直角三角形(35)1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形 中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理論依據在RtA ABC中，/ C=90，Z A，/ B，Z C所對的邊分別為 a，b，c銳角A的對邊與鄰邊的比叫做/A的正切，記為tanA，即 tan A = A的對邊.A的鄰邊(1

12、)三邊之間的關系：a2 b2 =c2 (勾股定理)(2)銳角之間的關系：/ A+Z B=902、銳角三角函數的概念銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做/A的銳角三角函數3、一些特殊角的三角函數值三角函數30 45 60 sin a12旦2也2cos a占2返212tan a也31v 34、各銳角三角函數之間的關系(1) 互余關系sinA=cos(90 A)， cosA=sin(90 A)(2) 平方關系.2 2 ,sin A cos A =1(3) 邊角之間的關系:sin A =空，cos A = P , tan A 二衛(wèi)，sin B =衛(wèi)，cos B =衛(wèi) ccbcc 知識點總結圓與三角形、

13、四邊形一樣都是研究相關圖形中的線、角、周長、面積等知識。包括性質 定理與判定定理及公式。集合： 圓：圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合； 圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合； 圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡：1、至龐點的距離等于定長的點的軌跡是：以定點為圓心，定長為半徑的圓；2、到線段兩端點距離相等的點的軌跡是：線段的中垂線；3、到角兩邊距離相等的點的軌跡是：角的平分線；4、 到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直 線；5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等 的一條直

14、線點在圓內dr點A在圓外直線與圓的位置關系直線與圓相離dr無交點直線與圓相切d=r有一個交點直線與圓相交dR+r外切（圖2)有一個交點d=R+r相交（圖3)有兩個交點R-rdR+r內切（圖4)有一個交點d=R-r內含（圖5)無交點dR-r圖5dR圖1dR圖2圖4dR圖3垂徑定理： 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧 推論1：（ 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條??；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧 以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共 5個結論中，只要知道

15、其中推出其它3個結論，即：B2個即可AB是直徑AB丄CD CE=DE Be 二 Bd Ac 二 Ad圓周角定理圓周角定理：同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半 即：/ AOB和/ ACB是所對的圓心角和圓周角/ AOB=2 / ACB圓周角定理的推論：推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周 角所對的弧是等弧即：在O O中，/ C、/ D都是所對的圓周角/ C=Z D推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑即：在O O中，T AB是直徑或I / C=90/ C=90 AB 是直徑推論3 :三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那

16、么這個三角形是直角三角形即：在 ABC 中，T OC=OA=OB ABC是直角三角形或/ C=90注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。弦切角定理：弦切角等于所夾弧所對的圓周角推論：如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等。即： MN是切線，AB是弦/ BAM= / BCANA沒有學不好的數學系列之二：初中幾何知識點詳解圓內接四邊形 圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補， 外角等于它的內對角。即：在O O中，四邊形 ABCD是內接四邊形 / C+Z BAD=180 B+ / D=180/ DAE= Z C 切線的性質定理與判

17、定定理(1) 判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線 兩個條件：過半徑外端且垂直半徑， 二者缺一不可即： MN丄OA且MN過半徑OA外端 MN是O O的切線(2) 性質定理：圓的切線垂直于過切點的半徑(如上圖) 推論1:過圓心垂直于切線的直線必過切點 推論2:過切點垂直于切線的直線必過圓心以上三個定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心、過切點、垂直切線中知道其中兩個條件推出最后一個條件/ MN是切線 MN 丄 OA證明一，證明二，證明三，解直角三角形，圓(4)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的 積相等(如上圖)即：在O O中，T PB、PE是割線 PC gPB = PD gPE圓公共弦定理：連心線垂直平分公共弦即：to O1、O O2相交于A、B兩點 O1O2垂直平分AB圓內正多邊形的計算(1 )正三角形在O O中 ABC是正三角形，有關計算在Rt BOD 中進行，OD:BD:OB= 1切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長 相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即： PA、PB是的兩條切線 PA=PB , PO 平分/ BPA圓內相交弦定理及其推論：(1)相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的 乘積相等即：在O O中，T弦AB、CD相交于點P PA PB=PC PA(2 )正四邊形同理，四邊形的有關計算在