完整自己整理圓錐曲線?？碱}型總結(jié)配有大題和練習推薦文檔

1、圓錐曲線大綜合第一部分 圓錐曲線常考題型和熱點問題- ?？碱}型題型一：數(shù)形結(jié)合確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系題型二：弦的垂直平分線問題題型三：動弦過定點問題題型四：過已知曲線上定點的弦的問題題型五：共線向量問題題型六：面積問題題型七：弦或弦長為定值的問題題型八：角度問題題型九：四點共線問題題型十：范圍為題（本質(zhì)是函數(shù)問題）題型一:存在性問題（存在點，存在直線y kx m，存在實數(shù)，三角形（等邊、等腰、直角），四邊形（矩形，菱形、正方形），圓） 二熱點問題1. 定義與軌跡方程問題2. 交點與中點弦問題3. 弦長及面積問題4. 對稱冋題5. 范圍問題6. 存在性問題7. 最值問題8. 定值，定點，定

2、直線問題第二部分知識儲備1.判別式:2.韋達定理:兒二次方程 ax2b2 4ac若一兀二次方程bx2axc 0(a0）相關(guān)的知識（三個“二次”問題）bx c0（a0）有兩個不等的實數(shù)根Xl,X2，則x-ix2bc,x! X2aa3.求根公式:若一兀二次方程2axbx c0（a0）有兩個不等的實數(shù)根xX2，則bxi,2.b2 4ac2a二與直線相關(guān)的知識1. 直線方程的五種形式：點斜式，斜截式，截距式，兩點式，一般式點到直線的距離公式：d AX0A2ByB2C I 或 d kX：i2y0k2b （斜截式）2.與直線相關(guān)的重要內(nèi)容：傾斜角與斜率:y tan ,0,）;ABk2 |x, x2.（廠k

3、2）（人X2）24XiX2】（或 AB4.兩直線li: yi匕為 bj2：y2 k2X2 b2的位置關(guān)系: liI2ki k21 li /I2kik2且bib23.弦長公式：直線 y kx b上兩點B（X2, y2）間的距離:5.中點坐標公式：已知兩點人（為，）弋區(qū)2），若點M x, y線段AB的中點，則Xi Xiyi y2x 1-,y 122 2三圓錐曲線的重要知識考綱要求：對它們的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(zhì)，文理要求有所不同。文科：掌握橢圓，了解雙曲線；理科：掌握橢圓及拋物線，了解雙曲線1. 圓錐曲線的定義及幾何圖形：橢圓、雙曲線及拋物線的定義及幾何性質(zhì)。2. 圓錐曲線的標準方程：

4、橢圓的標準方程 雙曲線的標準方程 拋物線的標準方程3. 圓錐曲線的基本性質(zhì)：特別是離心率，參數(shù)a,b,c三者的關(guān)系，p的幾何意義等2 b2o b24.圓錐曲線的其他知識：通徑：橢圓2p絲，雙曲線絲，拋物線a焦點三角形的面積：p在橢圓上時Svf-PF2b2 tan 22p在雙曲線上時 SvFiPF2 b2 / tan -四常結(jié)合其他知識進行綜合考查1. 圓的相關(guān)知識：兩種方程，特別是直線與圓，兩圓的位置關(guān)系2. 導數(shù)的相關(guān)知識：求導公式及運算法則，特別是與切線方程相關(guān)的知識3. 向量的相關(guān)知識：向量的數(shù)量積的定義及坐標運算，兩向量的平行與垂直的判斷條件等4. 三角函數(shù)的相關(guān)知識：各類公式及圖像與

5、性質(zhì)5. 不等式的相關(guān)知識：不等式的基本性質(zhì)，不等式的證明方法，均值定理等五.不同類型的大題（I）圓錐曲線與圓例I.（本小題共I4分）2 2已知雙曲線C:篤爲a b1(a 0,b 0)的離心率為、3，右準線方程為x,33(I)求雙曲線C的方程；(n)設(shè)直線|是圓o：x2 y2 2上動點P(x0, y0)(x0y0 0)處的切線，I與雙曲線C交于不同的兩點 A, B，證明AOB的大小為定值【解法1】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎(chǔ)知識，考查曲線和方程 的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力.a23(I)由題意，得c 3，解得a 1,c -.3 ,C運a2 b2 c2

6、a2 2 ,所求雙曲線C的方程為x2 1.22 2(n)點 P X0,y xy00 在圓 x y 2上，圓在點P x0, y0處的切線方程為y y00 x x0 ,y?；喌肵0X2 .2由x2y_212 2 2 2 2及 X0 y 2 得 3x0 4 x4x0x 8 2x0 0,x)xyy22切線I與雙曲線C交于不同的兩點 A、B,且0 X。2 ,2 2 2 2- 3x 4 0,且 16x2 4 3x2 4 8 2x；0 ,設(shè)A、B兩點的坐標分別為 捲1 , X2,y2 ,則x x24x03x：4公必8 2x23xo 4t cos AOB-ttuu-uuOTOAOBuuu uuuOA OB，

7、且uuu uuuOA OB mx2 y1y2mx2X0X2,y0XjX24 2x0 x-i x2 Xo2Xo Xi X2【解法2】（I）同解法1.28 2xp3xo 48 2富3x： 48 2xoAOB的大小為90 .(n)點 P Xo,yoXoyo0 在圓 x2程為yyo魚xyox0 ，化簡得XoXyoy3xox2 4x0x8 2xf3x：48yoX 82xo 0切線I與雙曲線C交于不同的兩點2yo_8x|3xT0.2上,A、B,2 3Xo 40 ,設(shè)A、B兩點的坐標分別為2則8 2xo則 X1X22 ；，Y1Y23xo 4uuu uuu- OA OB X1X22 且 Xoyo2Xo方程的判

8、別式均大于零）練習1:已知點A是橢圓2C:x-92 2Xo 8 2xo3xo圓在點PX2XoXXi,yiXo, yo處的切線方2y_2yoy 21 及 Xoyo2x22 ,X2, y2,22xo 82 ，3xo 42,oAOB的大小為9o .2yo2，從而當?shù)淖箜旤c，直線23xo 40時，方程和I: x my 1(m R)與橢圓C相交于E,F兩點，與x軸相交于點B .且當m o時， AEF的面積為.（I）求橢圓C的方程;(n)設(shè)直線 AE , AF與直線x 3分別交于 M , N兩點，試判斷以 MN為直徑的 圓是否經(jīng)過點B ?并請說明理由.(2) 圓錐曲線與圖形形狀問題x2例2.1已知A, B

9、, C是橢圓W:+ y2= 1上的三個點，0是坐標原點.4當點B是W的右頂點，且四邊形 OABC為菱形時，求此菱形的面積；(2)當點B不是W的頂點時，判斷四邊形 OABC是否可能為菱形，并說明理由.2x解：橢圓W 一 + y2= 1的右頂點B的坐標為(2,0).4因為四邊形 OABC菱形，所以 AC與 0B相互垂直平分.1 2所以可設(shè)A(1 , m)，代入橢圓方程得 F m= 1，即m=4所以菱形OABC勺面積是 丄| OBAC = - x2X2| m = 3.2 2(2)假設(shè)四邊形OABC為菱形.4y24,kx m因為點B不是 W勺頂點，且直線AC不過原點，所以可設(shè)AC的方程為y= kx +

10、 mjk0, 0).消 y 并整理得(1 + 4k2) x2 + 8kmx+ 4nn- 4= 0.設(shè) A(X1, y1) , Qx2, y2),則 x1 x224kmy1 y22 ,1 4k22m1 4k2所以AC的中點為M4km m1 4k2,1 4k21因為M為AC和OB的交點，所以直線 OB的斜率為 4k1因為k 工一1，所以AC與 OB不垂直.4k所以O(shè)AB(不是菱形，與假設(shè)矛盾.所以當點B不是W勺頂點時，四邊形 OAB(不可能是菱形.練習1:已知橢圓C:x22占 1(a b 0)過點C 2 , 1)，且以橢圓短軸的兩個端點和b2一個焦點為頂點的三角形是等腰直角三角形.(I)求橢圓的標

11、準方程；(n )設(shè)M (x, y)是橢圓C上的動點，P (p,0)是X軸上的定點，求值時點M的坐標.MP的最小值及取最小(3) 圓錐曲線與直線問題例3.1已知橢圓C : x2 2y24 ,(1)求橢圓C的離心率.(2)設(shè)0為原點，若點A在橢圓C上，點B在直線y2上，且OA 0B，求直線AB與圓2 2x y2的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論2 2 解析：橢圓的標準方程為： 土42直線b 2 則c . 2，離心率ec J2a 22 2 AB與圓x y 2相切.證明如下:法一:設(shè)點AB的坐標分別為luur因為OA丄OB，所以O(shè)Axo yot 2，其中UHOB o，即 txo 2yoXoxo t 時，yot

12、2-，代入橢圓C的方程，得2故直線AB的方程為x2此時直線AB與圓x解得2,-2 .圓心0到直線AB的距離dy22相切.當xo t時，直線AB的方程為yxxo t2yoX。2.即 y 2 xxo t y 2xotyo0.圓心O到直線AB的距離2xo tyo2Xo t又 x2 2y；紐，故xoc2心4 X2XoxoXo2x42x 8xo 16yO迤4Xo此時直線 AB與圓x2 y22相切.法二：由題意知，直線 OA的斜率存在，設(shè)為 k，則直線OA的方程為y kx，OA 丄 OB,當k 0時，A 2 0，易知B 0 2，此時直線AB的方程為x原點到直線AB的距離為、2，此時直線AB與圓x22相切;

13、當k 0時，直線OB的方程為y lx，k聯(lián)立kx2y22得點A的坐標1 2k242k.廠 2k222k22k.廠2加；1聯(lián)立xk得點B的坐標2由點A的坐標的對稱性知，無妨取點A1 2k22k12k2進行計算，于是直線AB的方程為:2k2 2y 22 x二2k1 2k22k:k.1 2R2 x 2k，即 k .1 2k2 x 1k 1 2k2 y 2k2202 k22原點到直線AB的距離2 . 21 2k21 k 1 2k2此時直線AB與圓2相切。綜上知，直線AB 一定與圓x2 y22相切.法三:當k 時，A 2 0，易知B 0 2，此時 OA 2 OBAB 廠2 2 2，原點到直線AB的距離d

14、OA OBAB2 2-2& ，此時直線 AB與圓x2 y22相切;當k 0時，直線OB的方程為yy22 1 k2，設(shè) m B x2 y2，則 OA VTpxi，OB2k2k聯(lián)立：2 :2 4得點A的坐標2*或1 2k21 2k2 ；于是 OA 1一k2|xA21 k2OB 2 1 k2 ,2AB4 1 k22 2 1 k2.1 2k2所以dOA OBAB2.2 1 k22,直線AB與圓x2 y22相切;.廠2k2綜上知，直線 AB 一定與圓x2 y22相切2 21(a b 0)過點(0,1)，且長軸長是焦距的練習1：已知橢圓c:篤爲a b左焦點F的直線交橢圓C于A，B兩點，O為坐標原點.(I)

15、求橢圓C的標準方程；(H)若直線AB垂直于x軸，判斷點O與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系， 并說明理由;(川)若點O在以線段AB為直徑的圓內(nèi)，求直線 AB的斜率k的取值范圍(4) 圓錐曲線定值與證明問題例4.1已知橢圓C的中心在原點 O，焦點在x軸上，離心率為3，且橢圓c上的點到2兩個焦點的距離之和為 4(I)求橢圓C的方程；(n)設(shè)A為橢圓C的左頂點，過點A的直線l與橢圓交于點 M ,與y軸交于點N ,過原點與I平行的直線與橢圓交于點 P 證明：| AM | | AN | 2 | OP |2 2 2解：(I)設(shè)橢圓C的標準方程為 冷吿 1(a b 0), a b2.22a b c ,由題意知

16、,解得a 2, b 1 a 22a 4,X22所以橢圓C的標準方程為y2 1. 5分4(n)設(shè)直線 AM的方程為：y k(x 2)，則N(0,2k).y k(X 2)，/曰川 m 2222由 22 得(1+4k )x 16k x 16k4 0 (*).x 4y 4,設(shè)A( 2,0) / M (石，yj，則2 /石是方程(*)的兩個根，所以X,2 8k21 4k2| AM |所以鵡命-4.1 k21 4k2| AN | .4 4k2 2.1 k2 .|AM| |AN|& 21&8(1 k2)1 4k24k2設(shè)直線OP的方程為：ykx .y kx,由；2 4y2 4 得(14k2 )x2設(shè) P(x

17、0,y。)，則 x0241 4k22y。4k21 4k2所以|OP|2/ 2|OP|28k21 4k22所以 |AM | | AN | 2|OP| .X 2例4.2:已知橢圓C：a2 y_ b2(ab0)的離心率為/ A( a,0 ) ,B(0,b)/ 0( 0 /0) / OAB的面積為1.(I )求橢圓C的方程；(I I)設(shè)P的橢圓C上一點/直線 PA與Y軸交于點 M直線PB與x軸交于點No求證：AN ? BM為定值。W.【1)由已如得.=|=1.” iftjka2 = h2 + c2.-由詢得滬2爐1則慚闘方弭為呂+屮二1,(ID設(shè)畫創(chuàng)上蟲卩的唯標為(2帥昭切皿八又已H Ap.O.R(O

18、J)t則亞線卩月的方林為y - (x 2)2cqf& - Z令就可以得到M點啪標為5,半7 *艮樣可厲得到N的坐標為【啟籍川)，則I刖1訂網(wǎng)彳需7q忡0珅一1+,礙 I 1 -fi n/f1-CPfl2x練習1 :已知橢圓C : -y ab21(a b 0)的離心率為橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為3(I)求橢圓C的方程；(n )已知動直線y k(x 1)與橢圓C相交于A、B兩點.若線段AB中點的橫坐標1 7uuuT uur為 ，求斜率k的值；若點M (,0),求證：MA MB為定值2 3練習2:已知拋物線C : y2 = 2 px ( p 0),其焦點為F, O為坐標原點，直

19、線 AB (不垂直 于x軸)過點F且拋物線C交于A , B兩點，直線OA與OB的斜率之積為p .(1 )求拋物線C的方程；(2)若M為線段AB的中點，射線OM交拋物線C于點 D ,求證：|OD| 2|OM |練習3:動點P(x, y)到定點F(1,0)的距離與它到定直線l: x 4的距離之比為-.2(I )求動點P的軌跡C的方程；(H) 已知定點A( 2,0)，B(2,0)，動點Q(4,t)在直線I上，作直線 AQ與軌跡C的另一個交點為 M，作直線BQ與軌跡C的另一個交點為 N，證明：M , N,F三點共線.(5) 圓錐曲線最值問題22燉例5：已知橢圓C:篤占1(a b 0)的離心率為，橢圓C

20、與y軸交于A，B兩點， a b2|AB| 2.(I)求橢圓C的方程；(H)設(shè)點P是橢圓C上的一個動點，且點P在y軸的右側(cè).直線PA, PB與直線x 4分別相交于M , N兩點.若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點E, F，求點P橫坐標的取值范圍及| EF |的最大值解：(I)由題意可得，b1 ,1分c2分e -a2/曰 a213得 23分a4解a24 ,4分橢圓C的標準方程為2 xy2 1.5分4(n)設(shè)P(x),y0)(0x2), A(0,1) , B(0,1),所以kPA山，直線PA的方程為y 丿x 1 ,6分X。X。同理：直線PB的方程為y1 ,x直線PA與直線x 4的交點為M (4, 1)

21、,X。直線PB與直線x 4的交點為N（4,_卩1）,Xo線段MN的中點（4, 4yo）,Xo所以圓的方程為(x 4)2 (y 4-y)2(1)2,令y0,則(x4)216y0 (1X。X027)因為2X01所以y 1214X4所以(X4)2850,X010分11分因為這個圓與X軸相交，該方程有兩個不同的實數(shù)解,所以50，解得x0(8,2.Xo512分設(shè)交點坐標（為,0）,&2,0），則|咅Xo14分2 2練習1：已知橢圓C養(yǎng)1a b的一個焦點為F（2，0），離心率為6。過焦3所以該圓被X軸截得的弦長為最大值為2.點F的直線I與橢圓C交于A, B兩點，線段 AB中點為D, O為坐標原點，過O, D的直線交 橢圓于M，N兩點。（1）求橢圓C的方程；（2）求四邊形AMBN面積的最大值。練習2：已知橢圓C : mx2 3my21（m 0）的長軸長為2 6， O為坐標原點（I）求橢圓C的方程和離心率；（H）設(shè)點 A（3,0），動點B在y軸上，動點P在橢圓C上，且P在y軸的右側(cè)，若 | BA| |BP|，求四邊形OPAB面積的最小值（6）圓錐曲線存在性問題2 2 .例6已知橢圓C : 篤每 1 a b 0的離心率為 ，點P 0,1和點A