高中理科數(shù)學(xué)必做100題-必修1

1、001. 試選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希海?）函數(shù)的函數(shù)值的集合； （2）與的圖象的交點(diǎn)集合.解：（1） ， 故所求集合為.（2）聯(lián)立， 解得，故所求集合為.002. 已知集合，求、. 解：，.003.設(shè)全集，. 求（1），； （2）， ， ，；（3）由上面的練習(xí)，你能得出什么結(jié)論？請(qǐng)結(jié)合Venn圖進(jìn)行分析.解：（1），.（2），. （3）， .004. 設(shè)集合，. （1）求，； （2）若，求實(shí)數(shù)a的值；（3）若，求的真子集個(gè)數(shù)及寫出滿足條件的所有可能的集合P.解：（1）當(dāng)時(shí)，故，；當(dāng)時(shí)，故，；當(dāng)且時(shí)，故，. （2）由（1）知，若，則或4. （3）若，則，故，此時(shí)的真子集有7個(gè).又，滿足條件的

2、所有集合有、. 005. 已知函數(shù).（1）求的定義域與值域（用區(qū)間表示）； （2）求證在上遞減.解：（1）要使函數(shù)有意義，則，解得. 所以原函數(shù)的定義域是.， 所以值域?yàn)?（2）在區(qū)間上任取，且，則，又， ，函數(shù)在上遞減. 006. 已知函數(shù)，（1）求的值；（2）判斷的奇偶性，并說明理由；（3）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：（1）當(dāng)，即時(shí)，；同理，當(dāng)，即時(shí)，.（2）當(dāng)時(shí)，則，那么；當(dāng)時(shí)，則，那么；又當(dāng)時(shí)，則；函數(shù)在上是偶函數(shù).（3）當(dāng)時(shí)，則，函數(shù)在上遞減，在上遞增。函數(shù)在上是偶函數(shù)，函數(shù)在上遞減，在上遞增。007. 已知函數(shù)其中 （1）求函數(shù)的定義域； （2）判斷的奇偶性，并說明理由；（3）求使成立

3、的的集合. 解：（1）.若要上式有意義，則，即. 所求定義域?yàn)?（2）設(shè)，則是偶函數(shù). （3），即 ，.當(dāng)時(shí)，上述不等式等價(jià)于，解得.當(dāng)時(shí)，原不等式等價(jià)于，解得.綜上所述, 當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.008.對(duì)于函數(shù). （1）探索函數(shù)的單調(diào)性；（2）是否存在實(shí)數(shù)a使得為奇函數(shù). 解: (1)判斷函數(shù)在上是增函數(shù). 的定義域?yàn)镽，設(shè)，則=, ,即,不論為何實(shí)數(shù)總為增函數(shù). （2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使為奇函數(shù), 當(dāng)且僅當(dāng)，即,，存在實(shí)數(shù)使得為奇函數(shù).009.（1）已知函數(shù)圖象是連續(xù)的，有如下表格，判斷函數(shù)在哪幾個(gè)區(qū)間上有零點(diǎn). x21.510.500.511.52 f (x)3.

4、511.022.371.560.381.232.773.454.89（2）已知二次方程的兩個(gè)根分別屬于(-1,0)和(0,2),求的取值范圍. 解：（1）， 函數(shù)在（2，1.5）、（0.5，0）、（0，0.5）內(nèi)有零點(diǎn). （2）設(shè)=，則=0的兩個(gè)根分別屬于(-1,0)和(1,2).所以，即， 解得， 所求的取值范圍是010.某商場經(jīng)銷一批進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品，銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如下表：銷售單價(jià)/元50515253545556日均銷售量/個(gè)48464442403836為了獲取最大利潤，售價(jià)定為多少時(shí)較為合理？ 解：由題可知，銷售單價(jià)增加1元，日均銷售量就減少2個(gè). 設(shè)銷售單價(jià)定為x元，

5、則每個(gè)利潤為（x40）元，日均銷量為個(gè).，且，.則日均銷售利潤為 .易知，當(dāng)，y有最大值. 為了獲取最大利潤，售價(jià)定為57元時(shí)較為合理.011.家用冰箱使用的氟化物的釋放破壞了大氣上層臭氧層. 臭氧含量Q呈指數(shù)函數(shù)型變化，滿足關(guān)系式，其中是臭氧的初始量. （1）隨時(shí)間的增加，臭氧的含量是增加還是減少？ （2）多少年以后將會(huì)有一半的臭氧消失？解：（1） ， 為減函數(shù). 隨時(shí)間的增加，臭氧的含量是減少. （2）設(shè)x年以后將會(huì)有一半的臭氧消失，則，即，兩邊取自然對(duì)數(shù)得，解得. 287年以后將會(huì)有一半的臭氧消失. 012.某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件，為了

6、以后估計(jì)每個(gè)月的產(chǎn)量，以這三個(gè)月的產(chǎn)品數(shù)據(jù)為依據(jù). 用一個(gè)函數(shù)模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量與月份數(shù)的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)（其中為常數(shù)，且）或指數(shù)型函數(shù)（其中為常數(shù)），已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，請(qǐng)問用上述哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說明理由. 解：當(dāng)選用二次函數(shù)的模型時(shí)，由，得， 解得， ，.當(dāng)選用指數(shù)型函數(shù)的模型時(shí)， 由 得 ，解得， ，.根據(jù)4月份的實(shí)際產(chǎn)量為1.37萬件可知，選用作模擬函數(shù)較好. 013.如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線左側(cè)的圖形的面積為. 試求函數(shù)的解析式，并畫出函數(shù)的圖象. 解：（1）當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)直線與分別交于、兩點(diǎn)，則，又， .（2）當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)直線

7、與分別交于、兩點(diǎn)，則，又， （3）當(dāng)時(shí)，. 函數(shù)的解析式為.函數(shù)的圖象為014.某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測：服藥后每毫升血液中的含藥量y（微克）與時(shí)間t（小時(shí)）之間近似滿足如圖所示的曲線. （1）寫出服藥后y與t之間的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f(t)；（2）據(jù)進(jìn)一步測定：每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時(shí)，治療疾病有效.求服藥一次治療疾病有效的時(shí)間？ 解：（1）當(dāng)0t1時(shí)，y=4t；當(dāng)t1時(shí)，此時(shí)在曲線上， ，這時(shí). 所以.（2），即，解得 ， . ， 服藥一次治療疾病有效的時(shí)間為個(gè)小時(shí). 015.（江蘇17）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒，如圖所示，ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒，E，F(xiàn)在AB上，是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)設(shè)AEFBx（cm）（1）某廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S（cm2）最大，試問x應(yīng)取何值？（2）某廠商要求包裝盒的容積V（cm3）最