高中數(shù)學論文：例說立體幾何探索型問題

1、例說立體幾何探索型問題隨著教育改革的不斷發(fā)展和高考改革的逐步深化,尤其是要在中學全面實施素質教育、創(chuàng)新教育的今天，數(shù)學“探索型題”越來越受到廣大中學教師的重視和命題人員的青睞。近幾年來，探索型題目也滲透到了立體幾何之中，現(xiàn)在將立體幾何中的探索型問題作些簡淺的歸類。一、條件追溯型這種題目中常用“當滿足什么條件時，能得到相應的結論”的語句，需在解題時，假想有了相應的結論，然后執(zhí)果索因，尋找能使該結論成立的條件。1、追溯兩線位置例1.(1998全國)如圖，在直四棱柱a1b1c1d1abcd中，當?shù)酌嫠倪呅蝍bcd滿足條件_時，有a1cb1d1（注：填上你認為正確的條件即可，不必考慮所有可能的情況）.

2、分析：本題要求尋找結論a1cb1d1成立的充分條件，由cc1平面a1c1以及a1cb1d1，容易聯(lián)想到三垂線定理及其逆定理。因此，欲使a1cb1d1，只需b1d1與ca1在平面a1c1上的射影垂直即可。顯然，ca1在平面a1c1上的射影為a1c1，故當b1d1a1c1時，有a1cb1d1，又由于直四棱柱的上、下底面互相平行，從而b1d1bd，a1c1ac。因此，當bdac時，有a1cb1d1。由于本題是要探求使a1cb1d1成立的充分條件，故當四邊形abcd為菱形或正方形時，依然有bdac，從而有a1cb1d1，故可以填：acbd或四邊形abcd為菱形，或四邊形abcd為正方形中的任一個條件即

3、可。2、追溯點位置例2.在棱長為a的正方體abcda1b1c1d1中，e、f分別是棱bc、cd上的點，且becf（1）當e、f在何位置時，b1fd1e；（2）當e、f在何位置時三棱錐c1cef的體積取得最大值分析：探求點的位置往往需要引入參數(shù),然后綜合已知和結論列出等式、解出參數(shù)。而空間向量的引入給點位置的探求帶來了方便，至少是運算上的方便。abcdd1a1b1c1efxyzg解： (1) 以a為原點，分別以 為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設bex，則有b1(a，0，a)，d1(0，a，a)，e(a，x，0)，f(ax，a，0) 恒成立.因此，無論e、f在何位置均有b1fd1e (2)

4、=當時，三棱錐c1cef的體積最大，這時e、f分別為bc、cd的中點.3、追溯線段長:例3.（2005江西）如圖，在長方體abcda1b1c1d1，中，ad=aa1=1，ab=2，點e在棱ad上移動. （1）證明：d1ea1d； （2）當e為ab的中點時，求點e到面acd1的距離； （3）ae等于何值時，二面角d1ecd的大小為.分析：第（3）小題就是要求探索線段的長度，解題時也可以設參數(shù)，運用空間向量進行解題，或設線段長，通過直角三角形解之。解法一：（1）（2）略（3）過d作dhce于h，連d1h、de，則d1hce， dhd1為二面角d1ecd的平面角.設ae=x，則be=2x解法二：以d

5、為坐標原點，直線da，dc，dd1分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標系，設ae=x，則a1（1，0，1），d1（0，0，1），e（1，x，0），a（1，0，0）c（0，2，0）（1）（2）略（3）設平面d1ec的法向量，由 令b=1, c=2,a=2x，依題意（不合，舍去）， .ae=時，二面角d1ecd的大小為.4、追溯線段比值例4（2005浙江）如圖，在三棱錐pabc中，abbc，ab=bc=kpa，點o、d分別是ac、pc的中點，op底面abc.（）求證od/平面pab； （）當時，求直線pa與平面pbc所成角的大小; （）當取何值時，o在平面pbc內的射影恰好為pbc的重心?解法一：

6、（）()略（）由（）知，of平面pbc，f是o在平面pbc內的射影。d是pc的中點， 若點f是的重心， 則b、f、d三點共線，直線ob在平面pbc內的射影為直線bd。obpc pcbd pb=bc，即k=1.反之，當k=1時，三棱錐o-pbc為正三棱錐，o在平面pbc內的射影為pbc的重心。解法二: op平面abc,oa=oc,ab=bcoaob,oaop,obop以o為原點，射線op為非負軸，建立空間直角坐標系o-xyz (如圖)，設，則.設(i) () 略()的重心 平面 又 反之，當k=1時，三棱椎o-pbc為正三棱錐，o在平面pbc內的射影為pbc的重心。 二、結論探索型這種題型往往沒

7、有給出結論或結論不唯一，因而要求解題者根據已有的信息去“觀察、聯(lián)想、類比、抽象、概括”出相應的結論。1、探索射影例5.（2000年全國）如圖，e、f分別為正方體的面add1a1和面bcc1b1的中心，則四邊形bfd1e在該正方體的面上的射影可能是 _（要求把可能的圖形的序號都填上）分析： 由于正方體的6個面可分為互為平行的三對，而四邊形bfd1e的在互為平行的平面上的射影相同，因此可把問題分為三類：a：在上、下兩面上的射影為圖；b：在前、后兩面上的射影為圖；c：在左、右兩面上的射影為圖.綜上可知，在正方體各面上的射影是圖或圖。本題為結論探索型的試題，要求有一定的空間想象能力。它的結論不唯一，應

8、從題設出發(fā)，通過分類以簡化思維，再利用射影的概念，得到正確的結論。2、探求數(shù)量例6（2004湖北）已知平面所成的二面角為800，p為、外一定點，過點p的一條直線與、所成的角都是300，則這樣的直線有且僅有（ ）a1條b2條c3條d4條分析：將點p平移到二面角的棱上，對于800的二面角可以得到兩條這樣的直線，對于1000的二面角同樣也可以得到兩條這樣的直線。故選d.3、探求軌跡例7（2004北京）如圖，在正方體abcd-a1b1c1d1中，p是側面bb1c1c內一動點，若p到直線bc與直線c1d1的距離相等，則動點p的軌跡所在的曲線是（ ）a直線 b圓 c 雙曲線 d 拋物線分析：一要學會問題的

9、轉化，二要綜合運用知識，本題要把點p到線段c1d1之距轉化為p到c1之距，從而聯(lián)想到拋物線的定義。故選d.4、探求等式例8（2003全國）在平面幾何里，有勾股定理：“設abc的兩邊ab、ac互相垂直，則ab2+ac2=bc2”，拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面積與底面面積間的關系，可以得出的正確結論是：“設三棱錐abcd的三個側面abc、acd、adb兩兩相互垂直，則 ”.分析：本題由線拓展到面，由二維到三維，因而可以通過類比聯(lián)想，由線段長想到三角形面積，由直角邊想到垂直面，由斜邊想到斜面，從而猜想結論為： .證略.5、探求最佳方案例9.（2002全國）（）給出兩塊相同的正

10、三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個正三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，并作簡要說明；（）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大?。唬ǎ┤绻o出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪拼成一個直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請設計一種剪拼方法，用虛線標示在圖3中，并作簡要說明.分析：這是一道實踐性很強的探索題，解題時從正面解決有些困難，可采用逆向思維，把三棱錐、三棱柱剪開，展成一個平面圖形，把它們解剖就可以看清問題的來龍去脈。解：（i）如圖1，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個正三棱錐.如圖2，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的，有一組對角為直角.余下部分按虛線折起，可成為一個缺上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱柱的上底.（）依上面剪拼的方法，有v柱v錐.推理如下：設給出正三角形紙片的邊長為2，那么，正三棱錐與正三棱柱的底面都是邊長為1的