奧賽天天練填三階幻方

1、奧賽天天練第25講巧填幻方。概念：如果一個(gè)nn 矩陣（教材中表現(xiàn)為方格圖）的每行，每列及兩條對(duì)角線的元素之和都相等，且這些元素都是從1到 nn 的自然數(shù)，這樣的矩陣就稱為n階幻方。有關(guān)幻方問(wèn)題的研究在我國(guó)已流傳了兩千多年，這是一類形式獨(dú)特的填數(shù)字問(wèn)題。本講主要介紹比較簡(jiǎn)單的三階幻方的填寫(xiě)，三階幻方就是n=3時(shí)的幻方。三階幻方的填法：三階幻方傳說(shuō)最早出現(xiàn)在夏禹時(shí)代的“洛書(shū)” ，在北周的甄彎注數(shù)術(shù)記遺一書(shū)中記有三階幻方的填法：九宮者，二四為肩，六八為足，左七右三，戴九履一，五居中央。三階幻方的構(gòu)造方法：我國(guó)南宋時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝，是最早系統(tǒng)研究幻方的數(shù)學(xué)家。他曾將幻方命名為“縱橫圖” (三階幻方

2、也叫絡(luò)書(shū)或九宮圖)， 并給出了三階、四階幻方構(gòu)造方法的說(shuō)明，四階以上幻方，楊輝只畫(huà)出圖形而未留下作法。但他所畫(huà)的五階、六階乃至十階幻方全都準(zhǔn)確無(wú)誤。楊輝在在續(xù)古摘奇算法中，總結(jié)出了三階幻方構(gòu)造的方法：“九子斜排，上下對(duì)易，左右相更，四維挺出?！币馑际牵合劝裭9九個(gè)數(shù)依次斜排（如下圖一），再把上l下9兩數(shù)對(duì)調(diào)（如下圖二），左7右3兩數(shù)對(duì)調(diào)（如下圖三），最后把四面的2、4、6、8向外面挺出（如下圖四），這樣就構(gòu)造了一個(gè)三階幻方。1 9 9 4 2 4 2 4 2 4 9 27 5 3 3 5 7 3 5 7 3 5 7 8 6 8 6 8 6 8 1 6 9 1 1 圖一 圖二 圖三 圖四三階幻方

3、的填法不是唯一的，矩陣的第一行與第三行對(duì)調(diào)，或第一列與第三列對(duì)調(diào)，可以得出4種填法，將其中的任意一種填法旋轉(zhuǎn)90，又可以得到另外的4種填法。例如，將上面圖四的第一列與第三列對(duì)調(diào)，就可以得出前面口訣中的填法。三階幻方的構(gòu)造原理：通常我們把幻方中每行3個(gè)數(shù)的和稱為幻方的幻和，幻方正中心的那個(gè)數(shù)叫做中心數(shù)，中心數(shù)也就是這9個(gè)數(shù)的中位數(shù)。從1到9這9個(gè)數(shù)的和為：1+2+3+8+9=45；則三階幻方每行3個(gè)數(shù)字之和即幻和為：453=15。在1到9這9個(gè)數(shù)中，和為15的3個(gè)數(shù)，只能是：9+5+1、9+4+2、8+6+1、8+5+2、8+4+3、7+6+2、7+5+3、6+5+4。因此每行、每列、每條對(duì)角線

4、上3個(gè)數(shù)只能是其中某個(gè)算式中的3個(gè)數(shù)。仔細(xì)分析九宮格，經(jīng)過(guò)中心數(shù)的有一行、一列和兩條對(duì)角線，即這個(gè)數(shù)必須在4個(gè)不同的算式中出現(xiàn)，在上面的算式中只有5符合要求。同理，經(jīng)過(guò)九宮格四個(gè)角上的數(shù)字都有一行、一列和一條對(duì)角線，即四個(gè)角上的數(shù)字必須同時(shí)在3個(gè)不同的算式中出現(xiàn)，只有2、4、6、8符合要求。先填好中心數(shù)和四個(gè)角上數(shù)字，再完成其它填空，就完成幻方填寫(xiě)了。在教學(xué)時(shí)，可引導(dǎo)孩子發(fā)現(xiàn)三階幻方中數(shù)字有趣的排列順序，如四個(gè)偶數(shù)在四角，從某個(gè)方向看奇偶數(shù)的是按大小有序排列的等等；讓孩子在了解構(gòu)造方法的基礎(chǔ)上熟記簡(jiǎn)單三階幻方的填法口訣，填寫(xiě)三階幻方的9個(gè)數(shù)，不論如何變化，只要將它們按大小的順序排列編號(hào)，均可按

5、口訣“對(duì)號(hào)入座”完成填空；理解并掌握幻方中的兩個(gè)公式：幻和中心數(shù)3；幻和總數(shù)3，可以在已知幻和的情況下，先求出中心數(shù)，或在已知中心數(shù)的情況下，先求出幻和，以便繼續(xù)求出其它的數(shù)；讓孩子初步了解幻方的構(gòu)造原理，這種推理方法在學(xué)習(xí)其它問(wèn)題時(shí)可以遷移使用。奧賽天天練第25講，模仿訓(xùn)練，練習(xí)2【題目】：將下面左邊方格中的9個(gè)數(shù)填入右邊幻方中，使每一行、每一列、每條對(duì)角線中的三個(gè)數(shù)相加的和相等。 【解析】：解法一：把這九個(gè)數(shù)按從小到大的順序依次編號(hào)，1、2、3號(hào)為“6”，4、5、6號(hào)為“8”，7、8、9號(hào)為“10”。按口訣：九宮者，二四為肩，六八為足，左七右三，戴九履一，五居中央。對(duì)號(hào)入座，如下圖可以填好

6、表格。 解法二：這個(gè)三階幻方的幻和為：10+8+6=24；中心數(shù)為：243=8。如上圖：首先可以填好中心數(shù)8。因?yàn)榛煤蜑?4，任意行列如果有2個(gè)6，3個(gè)數(shù)的和必定小于24，所以任意行列不可能有2個(gè)6，根據(jù)這點(diǎn)，第二步可以確定3個(gè)6的位置，保證任意2個(gè)6不同行不同列，不在同一條對(duì)角線上。第三步根據(jù)已填好的四個(gè)數(shù)，及幻和為24，可以完成余下的填空。奧賽天天練第25講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題1【題目】：將9個(gè)連續(xù)自然數(shù)填入33的方格內(nèi)，使每一橫行、每一豎行及兩條對(duì)角線的3個(gè)數(shù)之和都等于60?！窘馕觥浚河梢阎獥l件可知，這個(gè)幻方，幻和為60，中心數(shù)為：603=20。所以這9個(gè)連續(xù)的自然數(shù)為：16、17、18、1

7、9、20、21、22、23、24。把這九個(gè)數(shù)按從小到大的順序依次編號(hào)，按口訣對(duì)號(hào)入座，可完成表格。如下圖：奧賽天天練第25講，鞏固訓(xùn)練，習(xí)題2【題目】：下圖中，要使每一行，每一列，兩條對(duì)角線上三個(gè)數(shù)的和都是27，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G應(yīng)各是多少？【解析】：由題意可知，幻和為27，中心數(shù)為：273=9，所以C等于9。填好中心數(shù)后，根據(jù)幻和，可以用蠶食的方法依次求出其它方格里的數(shù)：D=27-6-9=12；G=27-5-12=10；A=27-10-9=8；B=27-8-5=14；E=27-6-8=13；F=27-9-14=4。答案圖略。奧賽天天練第25講，拓展提高，習(xí)題1【題目】：在下面一個(gè)三階

8、幻方中已填入了一個(gè)數(shù)，請(qǐng)?jiān)谄渌?個(gè)空格內(nèi)填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使得9個(gè)方格內(nèi)是9個(gè)連續(xù)自然數(shù)?！窘馕觥浚河梢阎獥l件可知，這個(gè)幻方的中心數(shù)為12。所以這9個(gè)連續(xù)的自然數(shù)為：8、9、10、11、12、13、14、15、16。把這九個(gè)數(shù)按從小到大的順序依次編號(hào)，按口訣對(duì)號(hào)入座，可完成表格。如下圖：奧賽天天練第25講，拓展提高，習(xí)題2【題目】：在下面兩個(gè)圖形中的空格內(nèi)填入不大于15且互不相同的自然數(shù)（其中已各填好一個(gè)數(shù)），使每一橫行、每一豎行及兩條對(duì)角線的3個(gè)數(shù)之和都等于30?！窘馕觥浚河深}意可知，幻和為30，中心數(shù)為：303=10。如下圖，可以分別填好兩個(gè)方格圖中的一條對(duì)角線。因?yàn)橹行臄?shù)是10，經(jīng)過(guò)中心數(shù)每

9、一組另外兩個(gè)數(shù)必須一個(gè)大于10，一個(gè)小于10，所以兩個(gè)方格圖中剩下6個(gè)數(shù)中有3個(gè)數(shù)大于10且不大于15。題目左圖中，大于10的數(shù)可能是11、13、14、15，數(shù)字14如果和8同行列，14+8+8=30，8重復(fù)出現(xiàn)與題意不符；如果數(shù)字14與12同行列，14+12+4=30，而4+10+16=30，必須出現(xiàn)16，與題意不符。所以，左圖中大于10的三個(gè)數(shù)只能是11、13、15，剩下的3個(gè)數(shù)是：9、7、5，通過(guò)嘗試檢驗(yàn)、或“對(duì)號(hào)入座”可以完成表格，如上圖一。同理，題目右圖中大于10的數(shù)可能是11、12、13、15，數(shù)字12如果和6同行列，12+6+12=30，12重復(fù)出現(xiàn)與題意不符；如果數(shù)字12與14同行列，12+14+4=30，而4+10+16=30，必須出現(xiàn)16，與題意不符。所以，右圖中大于10的三個(gè)數(shù)只能是11、13、15，剩下的3個(gè)數(shù)是：9、7、5，通過(guò)嘗試檢驗(yàn)、或“對(duì)號(hào)入座”可以完成表格，如上圖二。3階幻方的基本性質(zhì)：1、3階幻方的性質(zhì)之一：幻和值N=3中心格數(shù)。證明方法：兩條對(duì)角線和中間行的3組數(shù)之和=3N，變式為：1、3列之和+3中心格數(shù)=3N，即，2N+3中心格數(shù)=3N，得：N=3中心格數(shù)。證明方法：1（或3）行和一條對(duì)角線這2組數(shù)之和=2、32、3階幻方