空間向量和立體幾何練習題及答案

1、空間向量和立體幾何練習題及 答案1.如圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD為正方形，平面 PADL平面 ABCD點 M在線段 PB上, PD/平面 MAC PA=PD=, AB=4(1) 求證：M為PB的中點；(2)求二面角B- PD- A的大小;(3)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.【分析】(1)設ACH BD=O則0為BD的中點，連接0M利用線面平行的性質(zhì) 證明OM/ PD,再由平行線截線段成比例可得 M為PB的中點；(2) 取AD中點G,可得PGLAD,再由面面垂直的性質(zhì)可得 PGL平面ABCD貝UPGLAD,連接0G貝U PGL OG再證明OGLAD.以G為坐標原點，分別

2、以 GDGO GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標系,求出平面 PBD與平面PA 的一個法向量，由兩法向量所成角的大小可得二面角B- PD- A的大??；(3) 求出的坐標，由廠J與平面PBD的法向量所成角的余弦值的絕對值可得直線MC與平面BDP所成角的正弦值.【解答】(1)證明：如圖,設ACH BD=O ABCD正方形，二O為BD的中點，連接 OM PD/平面 MAC PD?平面 PBD 平面 PBDH平面 AMC=QM PD/ OM貝U，即M為PB的中點；BD BP(2)解：取AD中點G, PA=PD- PGLAD,平面PADL平面ABCD且平面 PAR 平面ABCD=AD PG!平面

3、 ABCD 貝U PG1 AD,連接 OG 貝U PG1 OG由G是AD的中點,O是AC的中點,可得 OG/ DC,貝U OGL AD以G為坐標原點，分別以GD GO GP所在直線為x、y、z軸距離空間直角坐標系，由 PA=PD|, AB=4 得 D (2, 0, 0), A ( - 2, 0, 0) , P (0, 0 , 2) , C (2 ,4,0),B(-2,4,0),M(-1,2警)設平面PBD的一個法向量為；，則由丿mDP-O,得-L mDB = O=2工+逅工=0-4i+4y=0取 z=.得ii 丨丄一 1.取平面PAD的一個法向量為.二 cos V=.=|m | | n| 2X

4、1m 5 n12二面角B- PD- A的大小為60;(3)解：.:，平面BDP的一個法向量為,.直線 MC與平面 BDP所成角的正弦值為|cos V頁，1=1冷=1-29+4+護 1【點評】本題考查線面角與面面角的求法，訓練了利用空間向量求空間角，屬 中檔題.2.如圖，在三棱錐 P- ABC中 PAL底面ABC / BAC=90 .點D, E, N分別為棱PA PC, BC的中點，M是線段AD的中點，PA=AC=4 AB=2(I)求證：MN/平面BDE(U)求二面角 C- EM- N的正弦值；(E)已知點H在棱PA上,且直線NH與直線BE所成角的余弦值為，求線段AH的長.【分析】(I)取AB中

5、點F,連接MF、NF,由已知可證 MF/平面BDE NF/平 面BDE得到平面 MF/平面BDE則MN/平面BDE(U)由PAL底面ABC / BAC=90 .可以A為原點，分別以AB AC AP所在 直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系.求出平面 MEN與平面CME的一個法向 量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角 C- EM- N的余弦值，進一步求得正弦 值；(川)設AH=t,則H(0, 0, t),求出兩竜的坐標，結合直線NH與直線BE所成角的余弦值為善列式求得線段AH的長.【解答】(I)證明：取AB中點F,連接MF NF, M為 AD中點，二 MF/ BD BD?平面 BDE MF?平面

6、 BDE 二 MF/ 平面 BDE N為 BC中點，二 NF/ AC,又D E分別為AP、PC的中點，二DE/ AC,則NF/ DEv DE?平面 BDE NF?平面 BDE 二 NF/ 平面 BDE又 ME NF=F平面 MFN/平面BDE則MN/平面BDE(U)解：v PA!底面 ABC / BAC=90 .以A為原點,分別以AB AC AP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系.v PA=AC=4 AB=2 A (0 , 0 , 0), B (2 , 0 , 0), C (0 , 4 , 0) , M( 0 , 0 , 1), N (1 , 2 , 0), E(0 , 2 , 2),設

7、平面MEN勺一個法向量為；,U而二0-jF，得L m*ME = 0L由2y+z=0，取 z=2，得；由圖可得平面CME勺一個法向量為1：ii | ,.：.二 cos V4W21ID j 11|n|nrV21xl 21二面角C- EW N的余弦值為，則正弦值為；;（川）解：設 AH=t,則 H （0, 0, t）,帚（-,-2. t），祝二（-2, 2、2） 直線NH與直線BE所成角的余弦值為屈血1=1I NH I I| 2Vs21 |cos V. | ,|=|解得：t語或匸丄.當H與P重合時直線NH與直線BE所成角的余弦值為721，此時線段AH的長為815【點評】本題考查直線與平面平行的判定，

8、考查了利用空間向量求解空間角, 考查計算能力，是中檔題.3.如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形 ABC（及其內(nèi)部）以AB邊所在 直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120得到的，G是I的中點.(I)設P是上的一點，且 API BE,求/ CBP的大小;(U)當AB=3 AD=2時，求二面角 E-AG- C的大小. =r_=.直線AC與平面CEF所成角的正弦值為r.【點評】本題考查了面面垂直的判定，線面角的計算，空間向量的應用，屬于中檔題.7.如圖，在四棱錐中 P ABCDPAL平面 ABCDAD/ BC, AD丄CD 且 AD=CD=2：BC=4 ：, PA=2(1) 求證：AB丄PC(2) 在線段PD上，是

9、否存在一點 M使得二面角M- AC- D的大小為45,如 果存在，求BM與平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，請說明理由.【分析】(1)利用直角梯形的性質(zhì)求出 AB AC的長，根據(jù)勾股定理的逆定理得出AB丄AC,由PAL平面 ABCD尋出AB丄PA 故AB丄平面PAC 于是AB丄PC(2)假設存在點M做出二面角的平面角，根據(jù)勾股定理求出 M到平面ABCD勺 距離從而確定M的位置，利用棱錐的體積求出B到平面MAC勺距離h，根據(jù)勾股 定理計算BM則善即為所求角的正弦值.Bfli【解答】解：(1)證明：四邊形ABCD是直角梯形，AD=CD砸，BCM，-AC=4 AB=肚犧) +C D ?遍匝=4,

10、 ABC是等腰直角三角形，即 AB丄AC, PAL平面 ABCD AB?平面 ABCD PAL AB, AB丄平面PAC又PC?平面PAC AB丄 PC.(2)假設存在符合條件的點 M,過點M作MNLAD于N,則MN/ PA MNL平面 ABCD - MNLAC過點M作MGL AC于 G 連接NG貝U ACL平面 MNG ACL NG即/ MGN是二面角M- AC- D的平面角.若/MGN=45 ,貝U NG=MN又 AN= :NG= :MN MN=1即M是線段PD的中點.存在點M使得二面角M- AC- D的大小為45在三棱錐M- ABg SBJzg 丄設點B到平面MAC勺距離是h,則Vb3邁

11、nx 1 -MA=p 1-.3 沁 MAC n/ MG= :MN= :,. Sama=-L丄-十丄，解得h=2.：.在厶 ABN中, AB=4 AN八，/ BAN=135，二 BN=L6+2+2X4XV2X=,BM=j；|忙；=3.1 ；,8.如圖，在各棱長均為 2的三棱柱 ABC- ABC中，側(cè)面 AACC丄底面ABC /AiAC=60 .(1) 求側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值的大??；(2) 已知點D滿足五菽+祝，在直線AA上是否存在點P,使DP/平面ABC?若存在，請確定點P的位置，若不存在，請說明理由.【分析】（1）推導出A0丄平面ABC BO1 AC,以0為坐標原點，建立如圖所示

12、 的空間直角坐標系O- xyz，利用向量法能求出側(cè)棱 AA與平面ABC所成角的正 弦值.（2）假設存在點 P符合題意，則點 P的坐標可設為 P （ 0, y , z），則 辰（五 斗2）.利用向量法能求出存在點P，使DP/平面ABC,其坐標為（0： 0，VI），即恰好為Ai點.【解答】解：（1）v側(cè)面AACC丄底面ABC作AO丄AC于點O, AO丄平面ABC又/ ABC=/ AiAC=60，且各棱長都相等， AO=1 OA=OB=5, BOLAC. （ 2 分）故以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系O- xyz ,則 A （0,- 1, 0）, B （V5, 0, 0）, Ai （0,

13、 0,弟），C （0, 1, 0）,；= （0, 1 , V 3）, AB；=（帀，! VS） , AC = （0, 2, 0）. （ 4 分）設平面ABC的法向量為 .,取 x=1，得11= (1, 0, 1).n-2yVs h 二 0 則 _1AC=2y=0設側(cè)棱AA與平面ABC所成角的為0,貝U sin 0 = |cos v, 1=1側(cè)棱AA與平面ABC所成角的正弦值為 .（ 6分）(2T 匸i - I，而-=.|. _.,假設存在點P符合題意，則點P的坐標可設為P(0,y,z), 尿礙 旳e)-DP/平面ABC,石=(-1, 0, 1)為平面ABC的法向量，, y=0.（10 分）又D

14、P?平面ABC,故存在點P,使DP/平面ABC,其坐標為(0, 0,；), 即恰好為Ai點.(12分)【點評】本題考查線面角的正弦值的求法，考查滿足條件的點是否存在的判斷 與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用.9.在三棱柱 ABC- A1B1C中，側(cè)面 ABBA1為矩形，AB=2 AA=, D是AA的中 點,BD與 AB交于點O,且COL平面ABBA .(I)證明：平面ABC丄平面BCD(U)若OC=OA ABC的重心為G,求直線GD與平面ABC所成角的正弦值.A D【分析】(I)通過證明AB丄BD, AB丄CO推出AB丄平面BCD然后證明平面ABC丄平面BCD（U）以O為

15、坐標原點，分別以OD OB, 0C所在直線為x, y, z軸，建立如圖 所示的空間直角坐標系 O- xyz 求出平面ABC的法向量，設直線GD與平面ABC 所成角a,利用空間向量的數(shù)量積求解直線 GD與平面ABC所成角的正弦值即可.,D是 AA的中點，/ BAD=90 ,【解答】（本小題滿分12分）解：（I）v ABBAi 為矩形，AB=2 -厶眄二90、盟嚴逅，二圈從而.-，Z厶B】B老-半,X-ZAB ZEA B ZABD+ZBAB t,從而AB丄BD（4 分）/ ABD=/ ABB,（2 分） ，.下二一v COL平面 ABBA ,AB?平面 ABBA，二 AB 丄CO ： BDA CO

16、=O - AB 丄平面 BCD / AB?平面 ABC,平面ABC丄平面BCD-（ 6分）（U）如圖，以O為坐標原點，分別以OD OB, OC所在直線為x, y, z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 O- xyz .在矩形ABBA1中，由于 AD/ BB,所以 AODPBiOB相似,從而些二QB B盼二：or_OD75_J又AB 1二岳J+扎（二沃打,BD=VZc”0竽），B/0,竽2+ab2=1 【解答】解：（1）在圖1中，過A作BD的垂線交BD于 E,交DC于 F,連接CEv AB=4 ., AD=2_ ，二 BD= ；=10.AE-AD-AEBD-：,cos / cbet在 BCE中，由

17、余弦定理得 CE= -.-十j. 打.=2. |;.V0 =90,二 A E丄平面 ABCD- A E丄 CE1 AC=廠一.（2） DE=匸H. tan / FDE丄， EF=1 DF* 禺=斗=-當3沁二+即 cos/A EF專時，卩=“梓+1二24訂8=77. AE2二AF2+EF ,/ AFE=90又 BDLAE, BD丄EF,a BDL平面 AEF,： BD丄AF AF 丄平面 ABCD以F為原點，以FC為x軸，以過F的AD的平行線為y軸，以FA為z軸建立 空間直角坐標系如圖所示：二 A（ 0,0,壓），D （礪，0,0）,B（疝,旃,0）,C（昕,0 ,0）.匝二（0,礙,0）,麗

18、二（師，2爲，0）,=（虧,0 ,負）.r*設平面A BD的法向量為n = （x , y , z）,則二巴二J ,V5i-h/15z=0令z=1得11=cos V BC與平面ABD所成角的正弦值為-.【點評】本題考查了空間角與空間距離的計算，空間向量的應用，屬于中檔題.11.如圖，由直三棱柱 ABC- A1B1C1和四棱錐 D-BBCC構成的幾何體中，/BAC=90，AB=1, BC=BE=2, GD=CDj，平面 CCD丄平面 ACCAi.(I)求證：AC丄DC;(U)若M為DC的中點，求證：AM/平面DBB;(E)在線段BC上是否存在點P,使直線DP與平面BBD所成的角為2L?若存【分析】

19、(I)證明ACLCG,得至U AC丄平面CCD,即可證明AC丄DC.(U)易得/ BAC=9，建立空間直角坐標系 A-xyz ,依據(jù)已知條件可得A(0, 0, 0), C 石，0), 5 血,0) , B(0, 0, 1),利用向量求得AM與平面DBB所成角為0,即AM/平面DBB.（川）利用向量求解【解答】解：（I）證明：在直三棱柱ABC- ABC中，CG丄平面ABC故Ad CG,由平面CCD丄平面ACGAi，且平面CCDG平面ACCAi=C（C,所以AC丄平面CCD,又CiD?平面CCD,所以AC丄DC.（U）證明：在直三棱柱 ABC- A1B1G中，AA丄平面ABC所以AA丄AB, AA

20、丄AC5 負 0），B（0, 0, 1）又/BAC=90，所以，如圖建立空間直角坐標系 A- xyz , 依據(jù)已知條件可得A（0, 0, 0）,C（Q,価，Q）,Bi （2, 0, 1）, 體，2）, 所以畫二他0,【），瓦二血，1）, 設平面DBB的法向量為 上yf工）,2-0二 o門BB二0Lnr3D-0令 y=1,則滬, x=0,于是=（0, 1,-伍），因為M為DC中點,由處所以川（斗），所以簡二（魯,）, n 二（尋 I 1 - I - - : - .1,可得汕 I,所以AM與平面DBB所成角為0,即AM/平面DBB.（川）解：由（U）可知平面 BBD的法向量為n=（0, 1, W設

21、 BP-Bq,X 0 , 1,則r-.JF若直線 DP 與平面 DBB 成角為 -|coS|- In-DPlIn |* |DP | M k 2-4 入十5解得 l=-|4Eo, 1,故不存在這樣的點.【點評】本題考查了空間線線垂直、線面平行的判定，向量法求二面角屬于 中檔題12.如圖，在多面體 ABCDE中，底面 ABCD為正方形，平面 AEDL平面 ABCDAB邁EA砸ED EF/ BD(I )證明：AE丄CD(II )在棱ED上是否存在點M使得直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為二亠？ 若存在，確定點M的位置；若不存在，請說明理由.【分析】(I )利用面面垂直的性質(zhì)得出 CDL平面AED

22、故而AE1 CD(II )取AD的中點0,連接EO以0為原點建立坐標系，設 禦二人，求出平面EDBDEF的法向量，令|cos V, F .，根據(jù)方程的解得出結論.-J【解答】(I )證明：四邊形ABCD是正方形，二CDLAD,又平面AEDL平面ABCD平面 AEDA平面ABCD=A,Ct?平面ABCD CD!平面 AED t AE?平面 AED AE! CD(II )解：取AD的中點O,過O作ON/ AB交BC于 N,連接EQt EA=ED： OELAD,又平面 AEDL平面 ABCD 平面 AEDA平面 ABCD=ADOE 平面AED OEL平面 ABCD以O為原點建立空間直角坐標系 O-

23、xyz，如圖所示：設正方形ACM邊長為2,舉二k ,ED則 A (1, 0 , 0), B (1 , 2 , 0), D (- 1 , 0 , 0)E( 0 , 0 , 1), M (-入，0 , 1 -入)U=(-入-1 , 0 , 1 -入)，DE= (1 , 0 , 1), DB= ( 2 , 2 , 0),設平面BDEF勺法向量為 i= (x , y , z),則匹雪。 lL n*DE=0,即.,令 x=1 得11=( 1, - 1, - 1),二 cos V= -2|n|后込入2十21=寧,解得入=0,Ur當M與點E重合時,直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為V6【點評】本題考查了

24、線面垂直的判定，空間向量與線面角的計算，屬于中檔題.13.如圖，在四棱錐 P ABCD中，/ ABC ACD=90，/ BACM CAD=60 , PA丄平面 ABCD PA=2 AB=1.（1）設點E為PD的中點，求證：CE/平面PAB（2）線段PD上是否存在一點N,使得直線CN與平面PAC所成的角9的正弦值 為？若存在，試確定點N的位置，若不存在，請說明理由.5【分析】（1）取AD中點M利用三角形的中位線證明 EM/平面PAB利用同位 角相等證明MC/ AB得到平面EM/平面PAB證得EC/平面PAB（2）建立坐標系，求出平面 PAC的法向量，禾I用直線 CN與平面PAC所成的角 9的正弦值為丄，可得結論.5【解答】（1）證明：取AD中點M,連EM CM貝U EM/ PA EM平面 PAB PA?平面 PAB EM/平面 PAB在 Rt ACD中, Z CAD=60，AC=AM=2 -Z ACM=6 .而/ BAC=60，二 MC/ AB. MC平面 PAB AB?平面 PAB 二 MC/ 平面 PAB EM? MC=M 二平面 EM/ 平面 PAB EC?平面 EMC - EC/ 平面 PAB（2）解：過A作AF丄AD,交BC于F,建立如圖所示的坐標系，則 A（ 0，0，0）B （乎，-寺，0 ），C3，1,